省扬高中2016届高三数学暑期学习情况调研试卷.doc

　省扬高中高三数学一轮复习试卷 　使用时间：2015-08-22
省扬高中2016届高三数学暑期学习情况调研试卷
第Ⅰ卷 2015年4月
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合，，则 ▲ .
次数
频率
组距
0.004
0.008
0.012
0.016
0
50
75
100
125
150
（第3题）
2．复数的模等于 ▲ .
3．为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n名学生进行跳绳
测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是100，则 ▲ .
4．从这五个数中任取两个数，这两个数的和
是奇数的概率为 ▲ .
5． 抛物线的准线方程为 ▲ .
6．在中，已知，则 ▲ .
7. 若函数是偶函数，则实数的值为 ▲ .
8．函数的最小值是 ▲ .
9．在等比数列中，已知，，
则 ▲ .
10.已知，则的最小值是 ▲ .
11. 已知是第二象限角，且，则的值为 ▲ .
12．已知一个三棱锥的每个面均是等边△，且表面积为，则其体积为 ▲ .
（第13题）
13．如图，椭圆(a＞b＞)的离心率，
左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与
AB交于D，则tan∠BDC的值为 ▲ .
14．若实数、、、满足，
则的最小值为 ▲ .

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）
已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．

16．(本小题满分14分)
P
A
B
C
D
F
E
第16题
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：直线∥平面；
（Ⅱ）求证：平面 平面.

17．（本小题满分5分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收 益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单
位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）请分析函数模型是否符合该公司的奖励函数模型，并说明理由；
（2）若该公司采用函数模型作为奖励函数模型，试确定最小正整数的值．

18．（本小题满分15分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A右侧），点， x 轴上方的动点 P 使直线 PA，PQ，PB 的斜率存在且依次成等差数列．
（1） 求证：动点 P 的横坐标为定值；
（2）设直线 PA，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S，T，
求证：点 Q，S，T 三点共线．

19．（本小题满分16分）
已知数列{an}成等比数列，且an＞0.
(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；
(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．

20．（本小题满分16分）
函数，其中为常数．
（1）证明：对任意，函数图像恒过定点；
（2）当时，不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若对任意时，函数在定义域上恒单调递增，求的最小值．

省扬高中2016届高三数学暑期学习情况调研试卷
参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1． ；　　；　　2． ；　　3． 1000；　　4． ；　　5．
6．120°；　　7. 1 ；　　8． ；　　9． ；　　10. 7；　　11. ；
12． ；　　13． ；　　14．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）
已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
15．解：（1）∵，∴，
又，且，
∴，． …………………………6分
（2）∵，，
∴，又，
∴， …………………………10分
∴
． …………………………14分

16．(本小题满分14分)
P
A
B
C
D
F
E
第16题
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：直线∥平面；
（Ⅱ）求证：平面 平面.

证明：（Ⅰ）连结,在中,因为,分别为,的中点,
所以// …3分　
而平面，平面,……………6分
∴直线∥平面……………………………7分
（Ⅱ）因为面面,面面,
面,且,
所以平面,……………………………10分
又，，且、面,所以面…12分
　　而平面,所以平面 平面. ………………14分

17．（本小题满分5分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收 益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单
位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）请分析函数模型是否符合该公司的奖励函数模型，并说明理由；
（2）若该公司采用函数模型作为奖励函数模型，试确定最小正整数的值．

18．（本小题满分15分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A右侧），点， x 轴上方的动点 P 使直线 PA，PQ，PB 的斜率存在且依次成等差数列．
（1） 求证：动点 P 的横坐标为定值；
（2）设直线 PA，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S，T，
求证：点 Q，S，T 三点共线．

19．（本小题满分16分）
已知数列{an}成等比数列，且an＞0.
(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；
(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．
解　设数列{an}公比为q，则由题意，得q＞0.
(1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得
解之，得或…………4分
所以数列{an}的通项公式为
an＝8(2－)(3＋)n－1，或an＝8(2＋)(3－)n－1. …………6分
②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．
由Δ＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2.
经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2. …………10分
(2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，
得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q＞1.
a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝8≥32，
…………14分
当且仅当qk－1＝，
即q＝，a1＝8(－1)时，
a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32. …………16分
20．（本小题满分16分）
函数，其中为常数．
（1）证明：对任意，函数图像恒过定点；
（2）当时，不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若对任意时，函数在定义域上恒单调递增，求的最小值．
解：（1）令，得，且，
∴函数图像恒过定点． …………………………2分
（2）当时，，
∴，即，
令，得．
x
(0，1)
1
（1，＋∞）

－
0
＋
f(x)

极小值

∴，
∵在）上有解，
∴，即，∴实数b的取值范围为．…………………9分
（3），即，令，
由题意可知，对任意，在恒成立，
即在恒成立．
∵，令，得（舍）或．
列表如下：
x
(0，)

（，＋∞）

－
0
＋
h(x)

极小值

∴，解得．
∴m的最小值为． …………………16分

省扬高中2016届高三数学暑期学习情况调研试卷
参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合，，则 　 .
2．复数的模等于______.
次数
频率
组距
0.004
0.008
0.012
0.016
0
50
75
100
125
150
（第3题）
3．为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n名学生进行跳绳 测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是100，则 . 1000．
4．从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．

5． 抛物线的准线方程为 ．
6．在中，已知，
则 　 . 120°
7. 若函数是偶函数，则实数的值为 ________．1 ；
8．函数的最小值是______.
9．在等比数列中，已知，，则 　 .
10.已知，则的最小值是 。7
11. 已知是第二象限角，且，则的值为________． ；
12．已知一个三棱锥的每个面均是等边△，且表面积为，则其体积为 　 .
（第13题）
13．如图，椭圆(a＞b＞)的离心率，
左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与
AB交于D，则tan∠BDC的值为 ．

14．若实数、、、满足，则的最小值为　　。
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）
已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
15．解：（1）∵，∴，
又，且，
∴，． …………………………6分
（2）∵，，
∴，又，
∴， …………………………10分
∴
． …………………………14分
16．(本小题满分14分)
P
A
B
C
D
F
E
第16题
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：直线∥平面；
（Ⅱ）求证：平面 平面.

证明：（Ⅰ）连结,在中,因为,分别为,的中点,
所以// …3分　
而平面，平面,……………6分
∴直线∥平面……………………………7分
（Ⅱ）因为面面,面面,
面,且,
所以平面,……………………………10分
又，，且、面,所以面…12分
　　而平面,所以平面 平面. ………………14分

17．（本小题满分5分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收 益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单
位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）请分析函数模型是否符合该公司的奖励函数模型，并说明理由；
（2）若该公司采用函数模型作为奖励函数模型，试确定最小正整数的值．

18．（本小题满分15分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A右侧），点， x 轴上方的动点 P 使直线 PA，PQ，PB 的斜率存在且依次成等差数列．
（1） 求证：动点 P 的横坐标为定值；
（2）设直线 PA，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S，T，
求证：点 Q，S，T 三点共线．

19．（本小题满分16分）
已知数列{an}成等比数列，且an＞0.
(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；
(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．
解　设数列{an}公比为q，则由题意，得q＞0.
(1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得
解之，得或
所以数列{an}的通项公式为
an＝8(2－)(3＋)n－1，或an＝8(2＋)(3－)n－1.
②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．
由Δ＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2.
经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2.
(2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，
得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q＞1.
a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝8≥32，
当且仅当qk－1＝，
即q＝，a1＝8(－1)时，
a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32.
20．（本小题满分16分）
函数，其中为常数．
（1）证明：对任意，函数图像恒过定点；
（2）当时，不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若对任意时，函数在定义域上恒单调递增，求的最小值．
解：（1）令，得，且，
∴函数图像恒过定点． …………………………2分
（2）当时，，
∴，即，
令，得．
x
(0，1)
1
（1，＋∞）

－
0
＋
f(x)

极小值

∴，
∵在）上有解，
∴，即，∴实数b的取值范围为．…………………9分
（3），即，令，
由题意可知，对任意，在恒成立，
即在恒成立．
∵，令，得（舍）或．
列表如下：
x
(0，)

（，＋∞）

－
0
＋
h(x)

极小值

∴，解得．
∴m的最小值为． …………………16分

高三数学试卷 　　第17页