高一数学第九届希望杯全国数学邀请赛试题.doc

第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试
班级 姓名
x
y
O
一、选择题
1、如图是函数的图象，那么--（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成米要--------------------------------（ ）
（A）天 （B）5天 （C）16天 （D）12天
3、函数，若，则的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（ ）
（A）2 （B） （C）1 （D）
4、平面外一直线和这个平面所成的角为q，则q的范围是-------------------------（ ）
（A）0°<q<180° （B）0°<q<90° （C）0°<q£90° （D）0°£q£90°
5、P、Q、R、S分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）
（A）RÉQÉPÉS（B）RÉQÉSÉP（C）SÌP=QÌR（D）SÌR,PÌQ,RÍQ,QÍR
6、，，，则------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、是定义域为R的奇函数，方程的解集为M，且M中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（ ）
（A）M可能是
（B）M中元素的个数是偶数
（C）M中元素的个数是奇数
（D）M中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。
8、 （1） （2） （3） （4）
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以上都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中有两个完全一样的是-（ ）
（A）（1）与（2） （B）（1）与（3） （C）（2）与（4） （D）（3）与（4）
9、已知是第二象限的角，且，则等于-------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、若函数的图象C与直线相交于点（-1，-1），则C与该直线交点的个数是-------------------------------------------------------------------（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
二、填空题（A组）
11、若，则的值是 。
12、若不共面的四条直线两两相交，则它们共有 个交点。
13、直线与平面所成角为50°，交点为P，a是内不过P点的任意一条直线，那么与a所成角的取值范围是 。
14、函数的单调递增区间为 。
15、方程的解为 。
16、函数与的图象关于直线对称，则函数的定义域为 。
17、一个长方体的长、宽、高的比为4∶3∶2，它的对角线与一个正方体的体对角线等长，则这个长方体与正方体表面积之比为 。
18、平面^平面，直线a∥，a与成45°角，直线b∥，b与成45°角，则直线a与b所成的角的大小为 。
19、若，则的最大值为 。
20、二面角的大小为60°，，且，点到的距离为1，则直线与平面所成的角的大小等于 。
三、填空题（B组）
21、若，则的值是 。
22、关于的方程的解为 。
23、如果，那么所在的象限是 。
24、函数的值域为[-2，1]，在区间上是单调递减函数，则常数与的值分别为 。
25、函数在区间[0，1]上的最小值为0，则的值为 。
1998年“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试
班级 姓名
一、选择题
1、正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BD1垂直的面对角线的条数是-------------------------------------（ ）
（A）0 （B）3 （C）6 （D）9
2、若函数的反函数为，则-------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、若，则------------------------------------------------------------（ ）
（A）（B）（C）（D）
4、如图所示是一个5´4´4的长方体，上面有2´1´4，2´1´5，3´1´4的穿透的洞，剩下部分的体积为----------------------------------（ ）
（A）50 （B）54
（C）56 （D）58
5、设函数是周期为2的偶函数，
且在区间[0，1]内单调递减，则的大小关系是------（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6、P是DABC所在平面外一点，且PA^平面ABC，则在以下结论中正确的是-（ ）
（A）ÐBPC<ÐBAC （B）ÐBPC>ÐBAC
（C）ÐBPC=ÐBAC （D）ÐBPC与ÐBAC的大小关系不确定
7、在锐角三角形ABC中，一定有-----------------------------------------------------（ ）
（A）cosA<sinB （B）cosA>sinB
（C）tgA>sinB （D）cosA与sinB的大小关系不确定
8、在正五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1的侧棱CC1上有一点P，若截面PAE1与侧面AEE1A1互相垂直，则这样的P点------------------------------------------------------（ ）
（A）一般有两个，特殊情况下仅有一个。 （B）有且仅有一个
（C）有两个 （D）有时不存在
9、在区间[2，3]上，方程的实根个数是-----------------（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数个
10、四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体。用一个平面去切正四面体，使它成为形状大小都相同的两个几何体，这样的平面的个数为--------------------（ ）
（A）3 （B）6 （C）10 （D）无数个

二、填空题
11、关于的方程，的解集为 。
12、空间四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=CD=3，则BD与AC所成的角的正弦值为 。
13、函数的反函数为 。
14、函数的值域为 。
15、若，则 。
16、若在区间[2，3）上是减函数，则实数的取值范围是 。
17、函数对于任意实数都满足，且，则 。
18、关于的方程有两个实根，一个比2大，另一个比1小，则的取值范围是 。
19、在长方体ABCE-A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，P是对角线AC1上的一个动点，Q是底面ABCD上的一个动点，则B1P+PQ的最小值为 。
20、三棱锥P-ABC中，ÐAPB=ÐBPC=ÐCPA=90°，D为底面ABC内的一点，ÐAPD=45°，ÐBPD=60°，则ÐCPD的余弦值为 。
三、解答题
21、已知且，，试比较的大小，并说明理由。

22、DABC是边长为1的正三角形，PA^平面ABC，且PA=，A点关于平面PBC的对称点为A’，求直线A’C与AB所成角的余弦值。
答案：

第一试：ACADACCDDD
，1，[50°，90°]，2，，26：29，60°，，30°，2或0，或，二、四，