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解三角形中的范围问题
淮海中学 2016.10.26
1、教学内容分析
“解三角形”是高中数学的基本内容，有较强的应用性，也是三角函数和平面向量在解三角形中的应用.其本身不仅与日常生活问题紧密联系，也是高考一个重要且必考的考点。在近几年的高考或模考中，解三角形经常考查范围问题。
2、教学目标分析
知识目标:掌握正弦定理、余弦定理及基本不等式，会用它们求解解三角形中的范围问题.
能力与方法:通过问题的辨析与探究，加强学生的自主学习能力，培养学生的逻辑思维能力和运算求解能力，提高学生分析问题解决问题的能力 .
情感、态度与价值观：通过引导学生观察分析，合作交流，让学生经历知识的形成过程，体会解题过程中转化与化归等数学思想，增强学生学习的成就感，提升学生研究性学习数学的品质。
3．教学重点：会用正弦定理、余弦定理、基本不等式（三角）解决解三角形中的范围问题.
教学难点：如何正确选用正、余弦定理解决解三角形中的范围问题.
4:知识梳理,温故知新
（1）正，余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
= =
(其中R是△ABC )
a2＝_______________；b2＝ _____________ ；
c2＝ ______________
变形公式
(1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶ ∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cos A＝ ____________；
cos B＝_____________；
cos C=______________
（2）．三角形常用面积公式
S＝a·ha(ha表示边a上的高) ＝absin C＝__________＝acsin B＝r(a＋b＋c) ＝
(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径)．
（3）．基本不等式
①若a，b∈R＋，则≥，当且仅当 时取“＝”．
②若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当 时取“＝”．
③ ≥2≥ab a2＋b2≥2|ab|. ≥2
④如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)，那么当 时，x＋y有最小值2.
⑤如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当 时，xy有最大值.

解三角形中的范围问题

一:回归教材，巩固基础
引题（必修5P24页第7题改编）：如图，已知A =，分别在的两边上，.当处于什么位置时，的面积最大？并求最大值.

2、方法总结：
解法一：（余弦定理与基本不等式结合）
解法二：（正弦定理与三角函数结合）
解法三：（初中的轨迹问题）（不是本节重点）

3、感悟：
①知识层面：本题用到了什么知识？
②方法层面：本题用到了什么方法？
③突破解题入口关键是什么，处理问题中有何细节易被忽视?

【设计意图】本题考查了正余弦定理解三角形最值问题，以问题形式引入课题，勾起学生的求知欲。例题强调一题多解，发散思维，让学生体会正弦定理、余弦定理在解三角形最值中的应用。
【处理过程】先让学生独立完成,然后小组内部交流答案,派两名代表展示答案, 其他小组成员有质疑的地方提出质疑,代表解答疑难.必要之处老师作补充.例题处理完以后,引导学生反思总结:
解法一是利用余弦定理得到两边关系，再结合基本不等式求出b + c的最大值；解法二是利用正弦定理把边转化成了角，再把B与C其中一个用另一个表示，减少变量，进而借助三角函数值域求出b + c的最大值.两种方法比较，很明显利用余弦定理和基本不等式更简单直接.

二:变式研究，揭示规律
1.如图，已知A =，分别在的两边上，。求的周长最大值？

2.如图，已知A =，分别在的两边上，。求的周长取值范围？

3.如图，已知A =，分别在的两边上，。求锐角的周长取值范围？

4.已知A =，分别在的两边上，。若为的中点，求的取值范围？

【设计意图】变式题的设计,通过比较，稍加变动条件，层层深入，激发学生的求知欲望，让学生能更好的解决此类题型，明白如何适当的选择正弦定理、余弦定理解决解三角形中的范围问题。从而突出重点，化解难点。
【处理过程】先让学生独立完成,然后小组内部交流答案,派代表展示答案, 其他小组成员有质疑的地方提出质疑,代表解答疑难.必要之处老师作补充.
对于变式1，学生采用余弦定理和基本不等式，只能确定b + c右侧的范围，对于左侧的范围，多数同学无从下手。也有部分同学采用两边之和大于第三边，求出了左侧的范围。由此我提出了一个问题：如果将问题改为“求b － c或b +2 c的范围”那怎么办？学生经过激烈的探讨研究，发现此时只能用正弦定理来解决。可见：正弦定理解决解三角形中的范围问题是通法。
有了上面的基础，学生很快学会了用正弦定理来解决变式，不过，仍然有一部分学生没有注意到角的范围，从而导致出错。
题目处理完之后，引导学生归纳总结：
【归纳总结】1、对于解三角形的最值问题，有两种方法，一种是余弦定理和基本不等式，另一种是正弦定理和三角函数。但是相比较而言，余弦定理和基本不等式更简单直接。
2、对于解三角形的范围问题，正弦定理和三角函数更为通用，多采用这种方法来解决。解题中，一定要注意角的范围。
四:训练反馈，深化理解

1.（必修5课本21页第7题）7．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=1200.如何锯断木条，才能使第三边最短？

3、锐角△ABC中，A=2C，则的取值范围是______________.

4.【2016年高考北京理数】
在ABC中，.
（1）求 的大小；
（2）求 的最大值.

5.（2016届苏锡常镇调研一）若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是 5 .
答案：

6.（盐城三模）在中，角所对的边分别为，已知,．
（1）当成等差数列时，求的面积；
（2）设为边的中点，求线段长的最小值．

7. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．

8.（2014届淮安市三模）17．(本小题满分14分)
A
P
M
N
B
C
(第17题图)
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

问题1：是什么在影响着工厂与村庄的距离AP？主动点（幕后的黑手）是谁？[来源:学§科§网Z§X§X§K]
问题2：如何把这种“影响”用一个变量来体现？
问题3：可以用选好的变量来算出工厂与村庄的距离AP吗？
问题4：你选择的变量是“好”变量吗？

2、在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为____．