第十一章习题一解答.doc

《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________
第十一章　习题一
曲线积分与格林公式
一．选择题
1．设为圆周，为该圆周在第一象限的部分，则 （ D ）
（A）； 　　　 （B）；
（C）； （D）．
2．设为沿右半圆周从点经点到点的路径，为上从点到点的路径，则积分等于 （ A ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．设为一个平面单连通区域，、在上具有一阶连续偏导数，则积分与路径无关的充分必要条件是 （ C ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
4．设为下列曲线所围有界闭区域的边界正向，则可直接使用格林公式计算曲线积分的是　 （ C ）
（A）；（B）；（C）；（D）．
5．已知为某函数的全微分，则等于 （ D ）
（A）； （B）； （C）； （D）．

二．填空题
1．设是从点经到点的折线段，则．
2．设是连续函数且，则．
3．设为从点沿圆右行至点的半圆，则．
4．已知在全平面上积分与路径无关，且，则 ．
5．设为从点沿至点的曲线段，则．

三．计算题
1．求，其中为以为顶点的三角形闭曲线．
解：
．
2．求，其中为圆周．
解：：，，．
．
3．求，其中为曲线上自点到原点的一段弧．
解：．
4．设有一个空间力场，其中任一点处力的大小与此点到面的距离成反比，方向指向原点．若一质点在此力场中沿螺旋线：，，（其中，，），从的点运动到的点，求在此过程中力场所做的功．
解：由题意可知，力场，故所求功为

．
5．把第二类曲线积分化为第一类曲线积分，其中L 为圆周在第一象限的部分，取逆时针方向．
解：L的方程为，，从变到，则，．
L的切向量为，因此
，．
所以
．

6．计算，其中为圆周，取顺时针方向．
解：
．
7．求，其中：由点沿上半圆周到点．
解：．
8．设曲线积分在整个面上与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，求．
解：由题设可知，有
，即．
故是微分方程满足的特解．
．
9．求微分方程满足初始条件的特解．
解：、，且，在整个面上是全微分方程．由

，
得通解．
又由，得．故所求特解为．

四．证明题
证明：在上有原函数，并求出一个原函数．
证：在单连通区域上，、有连续的偏导数，且
，
在上是某个二元函数的全微分，即有原函数．它的一个原函数为

．
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