补充材料：空间向量在立体几何解题中的应用讲座.doc

戴氏教育簇桥校区 空间向量在立体几何解题中的应用 授课老师:唐老师
空间向量在立体几何解题中的应用

一、空间向量的基础知识
1．空间向量的坐标运算
(1)空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同．空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当与i方向相同时，x>0，反之x<0．同理确定y、z．点P的坐标与坐标相同．

(2)向量的直角坐标运算
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则
a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3，
a∥bÛa1=lb1，a2=lb2，a3=lb3(lÎR )．或，
a⊥bÛa1b1+a2b2+a3b3=0．

(3)夹角和距离公式
①夹角公式
cos<a，b>=．
②距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
||=．
③定比分点公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
若M分为定比l(l≠-1)，则M的坐标为
x=，y=，z=，
特别地，当l=1即M为中点时得中点坐标公式：
x=，y=，z=．
由中点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心公式：x=，y=，z=．

2．平面法向量的概念和求法
向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作a⊥a．

平面的法向量：如果a⊥a，那么向量a叫做平面a的法向量．
一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反．
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题．推导平面法向量的方法如下：
在选定的空间直角坐标系中，设平面a的法向量n=(x，y，z)[或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)]，在平面a内任选定两个不共线的向量a，b．由n⊥a，得n·a=0且n·b=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到n．

z
A1
y
x
A
C1
B
C
D1
B1
D
图1
例1．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0．

二、空间向量在立体几何解题中的应用
(一)空间角
1．异面直线所成的角
设点A，BÎ直线a，C，DÎ直线b，构造向量，．
cos<，>=，
<，>所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角．

例2．在例1中，设AC∩BD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角的余弦值．
z
A1
y
x
A
C1
B
C
D1
B1
D
图1

2．线面所成的角
j
q
a
n
B
A
如图，AB为平面的斜线，n为平面a的法向量，如果与n之间所成的角j为锐角，则斜线AB与平面a之间所成的角q=-j．
即利用向量与n求出的是角j，实际上所求的角是q．
若j为锐角，则q=-j，sinq=cosj；
若j为钝角，则q=-(p-j)=j-，sinq=-cosj．

总之有，sinq=|cos<，n>|=．

z
x
B
A1
y
E
F
B1
C1
D1
D
C
A
图2
例3. 在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，
(1)求证：E、F、B、D共面；
(2)求A1D与平面EFBD所成的角．

3．二面角的求法
l
二面角a—l—b，平面a的法向量m，平面b的法向量n．则二面角a—l—b的平面角q=<m，n>．

所以，cos<m，n>=．

若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则<m，n>为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则<m，n>为二面角的平面角．

z
A1
y
x
A
C1
B
C
D1
B1
D
图1
例4. 在例1中，求二面角D1—AC—D的大小的余弦值．

(二)空间距离
点到面的距离
线到面的距离
线到线的距离
面到面的距离

1．点到面的距离

设A是平面a外一点，AB是a的一条斜线，交平面a于点B，而n是平面a的法向量，那么向量在n方向上的正射影长就是点A到平面a的距离h，

q
A
a
B
h

所以h=

z
A1
y
x
A
C1
B
C
D1
B1
D
图1
例5. 例1中，设G、H分别是A1B1、CD的中点，
求点B到截面AGC1H的距离．

练习：在例1中，求点A1到平面ACD1的距离．

2．异面直线间的距离
如图3，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点．令向量n⊥a，n⊥b，则n∥．
A
B
C
D

图3
∵=++，
∴×n=×n+×n+×n，
∴×n=×n，
∴|×n|=||×|n|，∴||=．
∴两异面直线a、b间的距离为：d=．
其中n与a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分别为两异面直线上的任意两点．
另外：假设异面直线a、b，平移直线a至a′且交b于点A，那么直线a′和b确定平面a，且直线a∥a，设n是平面a的法向量，那么n⊥a，n⊥b．所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面a的距离．
例6．在例1中，求直线DA1和AC间的距离．
z
A1
y
x
A
C1
B
C
D1
B1
D
图1

A
B
C
D
O
S

图4
练习．如图4，正四棱锥S—ABCD的高SO=2，底边长AB=，求异面直线BD和SC之间的距离．

例7．长方体ABCD—A1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，求
(1)异面直线D1F与B1E所成角大小的余弦值；
(2)二面角D1—AE—D大小的余弦值；
z
y
x
F
C
B
E
A
A1
B1
C1
D1
D
(3)异面直线B1E与D1F的距离．

3．线面距离
直线a与平面a平行时，直线上任意一点A到平面a的距离就是直线a与平面a之间的距离．其求法与点到面的距离求法相同．

例8．在例1中，设P、Q、R分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，
Q
y
P
R
x
z
D1
C1
B1
A1
C
D
B
A
(1)求证：平面A1PQ∥平面B1RC；
(2)求平面A1PQ与平面B1RC间的距离．

例9．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
A1
C1
B1
B
A
C
D
(1)求直线BC1与平面AB1D之间的距离；
(2)求二面角B1—AD—B的大小；
(3)求三棱锥C1—ABB1的体积．

4．平面与平面间的距离
平面a与平面b平行时，其中一个平面a上任意一点到平面b的距离就是平面a与平面b间的距离．其求法与点到面的距离求法相同．
用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题．
用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题．

图8
A
B
C
D
N
P
M
例10．如图8，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，AD=a，M、N分别是AD、PB的中点．
求证：平面MNC⊥平面PBC．

(三)证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等
若两平面a、b的法向量分别为n1、n2，则
(1)当n1·n2=0时，平面a⊥平面b；
(2)当n1=ln2，即它们共线时，平面a∥平面b．
若平面a的一法向量为n，直线AB在平面a外，则
(1)当n·=0时，AB∥平面a；
(2)①当n=l，即它们共线时，AB⊥平面a．
②AB⊥平面a内的两条相交直线，则AB⊥平面a．
若a∥b，则∥；反之也成立．若a⊥b，则⊥；反之也成立．
练习题：
1．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点．
A
B1
C1
A
B
C
D
E
F
K
D1
(1)求二面角B—FB1—E的大小；
(2)求点D到平面B1EF的距离；
(3)在棱DD1上能否找一个点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．

2．如图，四棱锥S—ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，侧棱SA⊥底面ABCD，SA=a．
(1)证明四棱锥S—ABCD的四个侧面都是直角三角形；
(2)求点C到平面SBD的距离．

四、利用法向量解立体几何试题
纵观近几年全国各地高考试卷，立体几何试题基本保持了相对稳定，一般有1至2道选择题或填空题，1道解答题，且大多为中等难度或容易题．

1．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．
(Ⅰ)证明：AB=AC；
(Ⅱ)设二面角A－BD－C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．
A
C
B
A1
B1
C1
D
E

2．x
M
S
D
C
z
A
B
y
如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．
(Ⅰ)证明：M在侧棱SC的中点；
(Ⅱ)求二面角S－AM－B的大小．

3．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．
(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAC；
(Ⅱ)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；
(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．

4．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(Ⅰ)求证：AC⊥SD；
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；
S
B
P
D
C
A
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

5．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=la(0<l≤2)．
(Ⅰ)求证：对任意的lÎ(0，2]，都有AC⊥BE；
(Ⅱ)设二面角C—AE—D的大小为q，直线BE与平面ABCD所成的角为j，若tanq·tanj=1，求l的值．
B
C
S
D
A

6．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点．
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
(Ⅰ)证明：直线EE1∥平面FCC1；
(Ⅱ)求二面角B－FC1－C的余弦值．

7．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．
(Ⅰ)证明：AB⊥A1C；C
B

A
C1
B1
A1

(Ⅱ)求二面角A—A1C—B的大小．

8．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
(Ⅰ)求证：EF⊥平面BCE；
(Ⅱ)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
D
C
B
P
M
E
F
A
(Ⅲ)求二面角F－BD－A的大小．

9．如图，在四棱锥S－ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，AS=．求：
(Ⅰ)点A到平面BCS的距离；
(Ⅱ)二面角E－CD－A的大小．

B
A
F
DA
C

MA
EA
10．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD．
(Ⅰ)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(Ⅱ)证明平面AMD⊥平面CDE；
(Ⅲ)求二面角A－CD－E的余弦值．

11. 在直三棱柱中，AB＝BC，D、E分别为的中点．
（1）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（2）设，求二面角的大小．

12. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.
（I）求证：A1C//平面AB1D；
（II）求二面角B—AB1—D的余弦值是；
（III）求点c到平面AB1D的距离.

13. 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
A
B
C
D

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

14. 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
(Ⅰ)求与底面所成角的大小；
(Ⅱ)求证：平面；
(Ⅲ)求二面角的余弦值.

15.如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小。

1.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

2.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）
（A） （B） （C） （D）

(第4题)
F1
A
B
C
D1
C1
A1
B1
B1
(第3题)
A1
A
B
C1
D1
C
D
M
N
3.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )

4.如图，A1B1C1—ABC是直
三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1
分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则
BD1与AF1所成角的余弦值是( )


5.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为( )
（A） (B) (C) (D)
A
B
C
S
E
F

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