补充材料：空间向量在立体几何解题中的应用讲座.doc

戴氏教育簇桥校区 空间向量在立体几何解题中的应用 授课老师:唐老师空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1空间向量的坐标运算(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当与i方向相同时，x0，反之x0同理确定y、z点P的坐标与坐标相同(2)向量的直角坐标运算设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；ab=a1b1+a2b2+a3b3，aba1=lb1，a2=lb2，a3=lb3(lR )或，aba1b1+a2b2+a3b3=0(3)夹角和距离公式夹角公式cos=距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|=定比分点公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则若M分为定比l(l-1)，则M的坐标为x=，y=，z=，特别地，当l=1即M为中点时得中点坐标公式：x=，y=，z=由中点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心公式：x=，y=，z=2平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作aa平面的法向量：如果aa，那么向量a叫做平面a的法向量一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面a的法向量n=(x，y，z)或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)，在平面a内任选定两个不共线的向量a，b由na，得na=0且nb=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到nzA1yxAC1BCD1B1D图1例1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0二、空间向量在立体几何解题中的应用(一)空间角1异面直线所成的角设点A，B直线a，C，D直线b，构造向量，cos=，所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角例2在例1中，设ACBD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角的余弦值zA1yxAC1BCD1B1D图12线面所成的角jqanBA如图，AB为平面的斜线，n为平面a的法向量，如果与n之间所成的角j为锐角，则斜线AB与平面a之间所成的角q=-j即利用向量与n求出的是角j，实际上所求的角是q若j为锐角，则q=-j，sinq=cosj；若j为钝角，则q=-(p-j)=j-，sinq=-cosj总之有，sinq=|cos|=zxBA1yEFB1C1D1DCA图2例3. 在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求A1D与平面EFBD所成的角3二面角的求法l二面角alb，平面a的法向量m，平面b的法向量n则二面角alb的平面角q=所以，cos=若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则为二面角的平面角zA1yxAC1BCD1B1D图1例4. 在例1中，求二面角D1ACD的大小的余弦值(二)空间距离点到面的距离线到面的距离线到线的距离面到面的距离1点到面的距离设A是平面a外一点，AB是a的一条斜线，交平面a于点B，而n是平面a的法向量，那么向量在n方向上的正射影长就是点A到平面a的距离h，qAaBh所以h=zA1yxAC1BCD1B1D图1例5. 例1中，设G、H分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AGC1H的距离练习：在例1中，求点A1到平面ACD1的距离2异面直线间的距离如图3，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点令向量na，nb，则nABCD图3=+，n=n+n+n，n=n，|n|=|n|，|=两异面直线a、b间的距离为：d=其中n与a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分别为两异面直线上的任意两点另外：假设异面直线a、b，平移直线a至a且交b于点A，那么直线a和b确定平面a，且直线aa，设n是平面a的法向量，那么na，nb所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面a的距离例6在例1中，求直线DA1和AC间的距离zA1yxAC1BCD1B1D图1ABCDOS图4练习如图4，正四棱锥SABCD的高SO=2，底边长AB=，求异面直线BD和SC之间的距离例7长方体ABCDA1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，求(1)异面直线D1F与B1E所成角大小的余弦值；(2)二面角D1AED大小的余弦值；zyxFCBEAA1B1C1D1D(3)异面直线B1E与D1F的距离3线面距离直线a与平面a平行时，直线上任意一点A到平面a的距离就是直线a与平面a之间的距离其求法与点到面的距离求法相同例8在例1中，设P、Q、R分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，QyPRxzD1C1B1A1CDBA(1)求证：平面A1PQ平面B1RC；(2)求平面A1PQ与平面B1RC间的距离例9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱长为，D是CB延长线上一点，且BD=BCA1C1B1BACD(1)求直线BC1与平面AB1D之间的距离；(2)求二面角B1ADB的大小；(3)求三棱锥C1ABB1的体积4平面与平面间的距离平面a与平面b平行时，其中一个平面a上任意一点到平面b的距离就是平面a与平面b间的距离其求法与点到面的距离求法相同用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题图8ABCDNPM例10如图8，已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，AD=a，M、N分别是AD、PB的中点求证：平面MNC平面PBC(三)证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等若两平面a、b的法向量分别为n1、n2，则(1)当n1n2=0时，平面a平面b；(2)当n1=ln2，即它们共线时，平面a平面b若平面a的一法向量为n，直线AB在平面a外，则(1)当n=0时，AB平面a；(2)当n=l，即它们共线时，AB平面aAB平面a内的两条相交直线，则AB平面a若ab，则；反之也成立若ab，则；反之也成立练习题：1如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点AB1C1ABCDEFKD1(1)求二面角BFB1E的大小；(2)求点D到平面B1EF的距离；(3)在棱DD1上能否找一个点M，使BM平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由2如图，四棱锥SABCD的底面ABCD是直角梯形，DAB=ABC=90，AB=BC=a，AD=2a，侧棱SA底面ABCD，SA=a(1)证明四棱锥SABCD的四个侧面都是直角三角形；(2)求点C到平面SBD的距离四、利用法向量解立体几何试题纵观近几年全国各地高考试卷，立体几何试题基本保持了相对稳定，一般有1至2道选择题或填空题，1道解答题，且大多为中等难度或容易题1如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1()证明：AB=AC；()设二面角ABDC为60，求B1C与平面BCD所成的角的大小ACBA1B1C1DE2xMSDCzABy如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM=60()证明：M在侧棱SC的中点；()求二面角SAMB的大小3如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=AB，ABC=60，BCA=90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC()求证：BC平面PAC；()当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；()是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由4如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点()求证：ACSD；()若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；SBPDCA()在()的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由5如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=la(0l2)()求证：对任意的l(0，2，都有ACBE；()设二面角CAED的大小为q，直线BE与平面ABCD所成的角为j，若tanqtanj=1，求l的值BCSDA6如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点EABCFE1A1B1C1D1D()证明：直线EE1平面FCC1；()求二面角BFC1C的余弦值7如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，ABC=60()证明：ABA1C；CBAC1B1A1()求二面角AA1CB的大小8如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，AEF=45()求证：EF平面BCE；()设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；DCBPMEFA()求二面角FBDA的大小9如图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，AS=求：()点A到平面BCS的距离；()二面角ECDA的大小BAFDACMAEA10如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD()求异面直线BF与DE所成的角的大小；()证明平面AMD平面CDE；()求二面角ACDE的余弦值11. 在直三棱柱中，ABBC，D、E分别为的中点（1）证明：ED为异面直线与的公垂线；（2）设，求二面角的大小12. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1. （I）求证：A1C/平面AB1D； （II）求二面角BAB1D的余弦值是； （III）求点c到平面AB1D的距离.13. 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点ABCD（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离14. 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.()求与底面所成角的大小；()求证：平面；()求二面角的余弦值. 15.如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上。（）求直线与平面所成的角的大小；（）求二面角的大小。1.直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于（ ）(A)30 (B)45 (C)60 (D)902.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） （D）(第4题)F1ABCD1C1A1B1B1(第3题)A1ABC1D1CDMN3.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )4.如图，A1B1C1ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，BCA=90，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) 5.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为( )（A） (B) (C) (D) ABCSEF22