传输线基本公式2008.1.12.doc

传输线基本公式
1、电报方程
对于一段均匀传输线，在有关书上可查到，等效电路如下图所示。

根据线的微分参数可列出经典的电报方程，解出的结果为：

V1=(V2+I2Z0)eγχ+(V2－I2Z0)e-γχ
I1=(V2+I2Z0)eγχ-(V2－I2Z0) e-γχ
式中，x是传输线上距离的坐标，它由负载端起算，即负载端的x为0。
γ为传输线的传输系统，γ=α+jβ，α为衰减常数，β为相移常数。无耗时γ=jβ。一般情况下常用无耗线来进行分析，这样公式简单一些，也明确一些，或者说理想化一些。而这样做实际上是可行的，真要计算衰减时，再把衰减常数加上。
Z0为传输线的特性阻抗。
Zi为源的输出阻抗（或源内阻），通常假定亦为Z0；若不是Z0，其数值仅影响线上电压的幅度大小，并不影响其分布曲线形状。
上述两式中，前一项x越大值越大，相位也越领先，即为入射波。后一项x越大值越小，相位也越落后，即为反射波。
由于一般只对线上的电压、电流的空间分布感兴趣，因此上式中没有写时间因子ejωt (下同)。
2、无耗线上的电压电流分布
上面式（1.1）和式（1.2）中，下标2为负载端，下标1为源端，而x可为任意值，那么V1、I1可以泛指线上任意一点的电压与电流，因此下面将V1、I1的下标1字省掉。
V=(V2+I2Z0)ejβχ +(V2－I2Z0) e-jβχ
=(V2+I2Z0)ejβχ｛1+e-j(2βχ－ψ)｝
I=｛ (V2+I2Z0)/ Z0｝ejβχ｛1－e-j(2βχ－ψ)｝
式中，发射系数Γ＝∠ψ＝＝
≤1，要想反射为零，只要Z2 =Z0即成。
上式中，首项不是x的函数，而ejβχ为相位因子，不影响幅度。只是末项影响幅度分布。
现在让我们看看电压分布：
Vx ＝V(1+ e-j(2βχ－ψ)
显然：2βx－ψ＝０或２Ｎπ时，电压最大，VMAX=V（1+）
2βx－ψ＝π或（２Ｎ－1）π时，电压最小，VMIN=V（1－）
　　　　　　　　　　　　　驻波比 ρ==
当＜＜ 1时，ρ=1+2，有时也会用到=(ρ-1)/2。
驻波比ρ是天馈线中最常见的一个技术指标，英文缩写为SWR，也有用VSWR，即强调是电压之比。线上电压因反射的存在而出现有高有低的现象并不是我们希望的，我们希望 →0，也就是ρ→1。一般应用时ρ≤1.5即可，有的场合要求ρ≤1.1。
也有人用行波系数（即驻波比的倒数）来描述线上的反射状态，应该说是很合理的，因为它避免了∞的出现，但由于传输线上电压最小点的输入阻抗为Z0/ρ（见式（1.16）），而最大点的输入阻抗为ρZ0（见式（1.15）），因此用ρ还是有实际意义的。至于真正驻波比与行波的概念请参见本章1.4节之5，一般只要求知道指标所代表的含义以及合格范围即可。
作为运算，用反射系数Γ更合适一些。也有人定义返回损失（回损）RL为：
RL=20㏒ (dB)
返回损失（Return Loss,RL）也有人译成回波损耗。由于≤1，因此为负值，但习惯上不管这个负号，有时会讲出驻波比多少dB之类的话，其实是在讲回损。
不同行业有不同的习惯用语，驻波比ρ、回损RL与反射系数Γ的常用数值见附录D。
3、对特性阻抗Z0的理解
（1）Z0的定义
在解电报方程中令
Z0=
式中R为传输线单位长度的电阻（导体本身电阻与长度的比值）；
L为传输线单位长度的电感（导体本身电感与长度的比值）；
G为传输线单位长度的电导（两导体间的电导与长度的比值）；
C为传输线单位长度的电容（两导体间的电容与长度的比值）。
在频率较低时，Z0随频率而变化，频率高时（射频）
Z0≈
Z0就与频率关系不大了。通常Z0在射频端是用测一段传输线的电感与电容后算出的，直接测Z0是测不出来的。

（2）Z0是一种结构尺寸决定的电参数

如同轴线的Z0为
Z0=㏑

式中，εr为同轴线内充填介质的相对介电常数；D为外导体内径；d为内导体外径，如上图所示。
双线的Z0为
Z0=120㏑≈120㏑(2D/d)

式中，D为两导线之间的中心距；d为导线直径，如上图所示。
其他形状的传输线的Z0可查其他书如[2]得到其计算公式或图表。
尺寸均匀的传输线本身不产生反射，只是在尺寸不连续处才会产生反射。
2、常用同轴电缆的型号代码
·第一个字母一般为S，即同轴射频电缆之意。
·第二个字母代表绝缘种类：Y为聚乙烯，F为氟塑料，D为稳定聚乙烯支撑的空心电缆，U为聚四氟乙烯等。
·第三个字母表示护套材料：V为聚氯乙烯，B为编织套，T为半硬铜管等。其他最好见产品说明。
字母后为用连接号（口语称扛，也有称划的）分开的数字。
Δ第一组数字一般不是50就是75，表示特性阻抗。
Δ第二组数字表示外导体内径（或绝缘支撑的外径）。
Δ第三组数字为结构序号。
如一般最常用的电缆为实心聚乙稀绝缘的SYV-50-3，它比较便宜，比较软，但屏蔽性能不太好。好一些的为氟塑料的SFF-50-3，但价格贵10倍。内部连线在频率较高时（比如2GHz以上）最好采用半硬同轴线SFT系列或半软SM系列。功率较大时只好用皱纹铜管SDY系列。
电缆越粗，损耗越小，但不能粗到同轴线平均周长等于使用波长(请见下式)，此时将出现搞次模，破坏正常工作。
π(D+d)/2=λ
式中，为有效相对介电常数；d与D分别为内外导体直径。

3.1 辐射的基本知识
1.电流元的远区电场强度
由麦氏方程可解出一小段电流元在远区的场强为

Eθ=jSinθe-jβr
HΦ= Eθ/120π

式中，假定电流元强度为I，长度为dl→0（用箭头→表示趋于，下同），放在球坐标原点Z轴上。由于性能与方位角φ无关，为绘图简单起见，只在Y0Z平面内来看
上式说明电场方向为θ方向，而磁场只有φ分量，在远区磁场与电场只差一个常数，因此只需要研究电场即可。
上式中无ejωt项，因为研究天线时只对空间特性感兴趣，故省去了时间项。
上式说明只要有一小段线上有电流在来回流动，则远处某一点不但有电场，而且大小都可用公式算出。两点之间不用线即可联系，这就是无线电的基础，这就叫辐射。
这里我们直接有文献[10]中引用了电流线元辐射公式，它是个基础。任何线天线都可看成是一小段一小段连成的；正如面天线式面电流元组成的一样。线元与面元是基础，经过数学处理，可以进行多种天线的理论设计。但这里只是引出个辐射概念，由此引出天线的基本参数。按实验研究的方法对常规天线进行开发或研制，不涉及过多的理论。

2.为什么双线传输线基本不辐射

一段开路的双线传输线，若长度为λ/4，则其输入阻抗Zab→0，它上面有电流，为什么辐射不大呢？由于双线对称，两根线上的电流幅度相等，但方向相反。在远区P点，由于距离很远，可简化为r2=r1+DSinθ，而DSinθ很小，因此不影响幅度，只影响相位。这一项叫程差或路径差，假若D〈〈λ的话，则两根线在远区的辐射基本相消（或者就说基本不辐射）。假如D继续增大，或频率继续增高，再用双线传输线就不行了，双线仅用于较低频段。
3.半波振子的出现
作为传输线希望辐射越小越好，但作为天线就希望加强辐射。假如我们将
前述λ/4开路线掰开成180°（共线），即形成了一个半波振子（也称偶极子dipole），上下两段电流原本式反向的，现在变成同方向了，如下图，因此两段电流在远区的电场叠加了起来。若线很细，上面电流分布为正弦波。通过电流元辐射公式对Idl积分可得半波振子场强为

E(θ)=j× e-jβr

此公式可参见文献[10]，也可以自己根据积分表公式推出。此时a、b两点的输入阻抗Zab约73Ω左右，这可以由计算得到，也可由仪器直接测出。输入阻抗由计算得出的数据差别不大，而由于引出得结构不同，实测结果会大相径庭。实用中以测试为准。
半波振子时对称线天线中得以种最基本的结构，经常会用到它。
3.收发互易性
一个常规的天线（即其中并未加入开关器件，或不可逆器件），它在作发射与作接收时，所表现出的特性时相同的，这叫收发互易性，譬如测一个天线的方向图，可以在作发射天线时测，也可在作接收天线时测，看怎样作方便怎样有利于测试精度即可。下面对天线的描述通常是当成发射天线来讲的。
3.2天线方向图
1.什么叫天线方向图
天线向各个方向的辐射通常都是不同的，在自由空间形成了一个立体波束，譬如半波振子的立体波束就像一个苹果形，沿振子方向的辐射凹进去，甚至小到零。可是用立体波束表示是不方便的，因此用两个剖面来表示是适宜的。让我们采用常用的球坐标而让半波振子与Z轴重合，中心落在原点上，这时两个剖面就很好画了；在方位面上（即XOY面上，或θ=90°面上）立体波束的剖面为一个圆。而沿Z轴剖开垂直方向图为8字形，如下图。由于垂直方向图不是φ的函数，立体波束是绕Z轴的旋转对称体。
假如半波振子水平放置，则水平面为8字形，而垂直在自由空间为圆。实际上，由于脱离不了地球，不管怎样放置由地面反射干涉会形成多种花瓣，实际的垂直方向图是比较复杂的，而水平方向图与自由空间差别不大。方向图又称波瓣图，有时称为场型。

用公式来表示的话，对于简单可分离变量情况
F(θ,φ)=F(θ) ×F(φ)
式种，F（θ,φ）为立体波束；F(θ)为垂直波束；F(φ)为水平波束。
对于不好分离变量情况
F(θ)=F(θ,φ=C
F(φ)=F(θ=C，φ)
式中，C表示某一常数，一般为0或90°，通常是取最大值方向。
垂直方向图是不太好测的，办得到的话只需将天线转90°来测试即可。水平方向图式比较容易测的，但θ=0的条件不易满足，尤其是有地面影响以后，因为真正θ=0时是收不到信号的，只好用θ为某一角度的锥面来替代，雷达天线的实际情况就是如此。
由于方向图绘制在极坐标上类似花瓣，常称波瓣图，方向图在极坐标上是很直观的，但不太好画，常用直角坐标来绘制。
2.方向图的基本类型
（1）水平方向图
主要有两大类：
·全向波束 所谓全向即方位面3600内基本是均匀的；一般用于电视、广播或中心基地台。通常场强不均匀性在±3dB以内是足够的，更高要求，似无必要。
·定向类 对于某些系统，服务可能是分区的，而对于雷达类则由于要求定位精度高，则希望方位面内波束尽量窄，甚至为了跟踪还会要求同时存在差波束（利用差波束的零点附近很尖锐，来提高定向精度）。
（2）垂直方向图
也分两大类：
·常规波束（或锐波束）一般无特殊要求的即为常规波束，若为了提高定向精度也有可能采用和差波束体制。
·赋形波束 指对垂直方向图有一定形状要求的波束，一般波束为扇形（即方位面窄，垂直面宽），有所谓余割平方与超余割平方等波束，这时为了雷达全空域覆盖的要求。
3.有关方向图要求的几个参数
即使将立体波束简化成两个剖面来表示已经简单多了,但为了给定要求,画个图仍然麻烦,除赋形波束有时不得不画图外,一般采用下面一些参数来简单而明确地提出对方向图的要求:
(1)波束宽度
在主波束最强点两边下降3dB(半功率点)处的夹角θ-3dB,即定义为波束宽度，或主瓣宽度（如下图）。注意符号有时会省掉。

3.3.天线的方向性与增益
方向性是一种表示天线能量集中程度的一个参数，其概念是这样的：
假定在整个自由空间各向同性的辐射功率，而每单位立体角的功率为1，则共需功率4π。然后，再用一具有F(θ,φ)方向图的天线去发，而此时只要最大方向功率流量为1（如点对点通信，或雷达等只要求F（0，0）=1）显然具有方向图的天线所耗的总功率要小，两者之比即方向性D。
D=
方向性公式中用Sinθ并且上下限用0与π者，适于对Z轴旋转对称的波瓣，如针状或全向类。常见的半波振子的方向性为1.64，而电流元方向性为1.5。
若为扇形波束，方向面很窄，垂直面很宽而且在低仰角上，这时上式中分母中适于Cosθ, θ上下限用±π/2，而Φ方向只积很小一个角度。
方向性是个算出来的参数，只与方向图有关。但由于形成方向图的作法不同，效率η不同，单从方向性去比较，并不代表天线的水平，只有考虑了效率后的方向性才有相互比较价值。故定义：增益=方向性×效率。
G=ηD
假如损耗很小或者效率很高的话，G≈D。如半波振子的方向性为1.64，由于结构很简单没有什么损耗，故其增益亦为1.64，用dBi表示，即2.15dBi或略作2dBi（i即以各相同性的点源为参考：i为isotropic的字头）。
增益是一个很实际而且能够测量的参数，一般常用比较法，在相同条件下，某天线收到的功率与半波振子收到的功率之比即相对于半波振子的增益dBd（d为dipole的字头），再加2dB即得dBi。

（1）两元阵
让我们看看最简单的等幅两元阵。两振子A、B垂直于纸面（θ面），P点很远，因此两振子到P点的由距离引起的幅度差很小，可以视为等幅。而相位差却要进行计算，以原点为准，A点振子到P点与O点到P点的路程差为-sinθ，B点振子到P点与O点到P点的路程差为sinθ。

假定馈电相位分别为±φ，则P点的电场矢量和为（路程差乘上相移常数β即得相位差）
E=IBej(Sinθ-ψ)+ IAe-j(Sinθ-ψ)
对于等幅情况，IA=IB=I，则
E=2Icos (sinθ-ψ)

①同相阵`
所谓同相阵（即φ=0），则得
E=2Icos
最大点指向θ=0°此即边射。方向图为8字形。当d≤λ/2时，在±90°内只有一个波瓣，即称主瓣。而当d＞λ/2时，会出现另外的波瓣，称边瓣。当d≥λ时会出现与主瓣一样大的边瓣，称作栅瓣。
②电扫天线
当φ≠0，则最大辐射方向将不是0°，而可以指向任意方向，这只要解出
ψ=β(d/2)sinθ
方程即可，这是电扫天线或相控阵的基础。
③端射天线
当φ=βd/2时，最大辐射方向将指向θ=90°（与阵列轴线一致）时称为端射，方向图为心形。常用的端射天线已如前述八木天线与等比结构振子阵天线。除此以外，专门按阵列设计端射的尚不多见。

先看两元，假定各元功率相同，则远场将叠加而为1元的2倍，功率流为4倍，而两元消耗功率为2，所以与一元相比，增益为2。
对于元数为n的等幅同相阵，若每个元电流为I，则远场将为n个场强叠加而正比于nI，而功率消耗每元为I2 ，n元则正比于nI2，即
G==n
也就是说不考虑互耦的情况下，阵列的增益正比于元数n。