探索傅里叶级数的一致收敛性,逐项积分性和逐项微分性.doc

探索傅里叶级数的一致收敛性，逐项微分性和逐项积分性
在第15章的第1节和第3节分别建立和证明了傅里叶级数的收敛定理（定理15.3）：
设是以为周期的周期函数，若在上按段光滑，则对任意，的傅里叶级数在处收敛于，即
，
其中
，，（）
为的傅里叶系数．
以此定理为基础，请同学们按照下面的步骤进一步探索傅里叶级数的一致收敛性、逐项微分性和逐项积分性．
一、几个引理
我们知道，若在上按段光滑，【即在上除有限个第一类间断点外连续（此时也称在上按段连续），在上除有限个点外可导且在上也除有限个第一类间断点外连续，简单地讲：在上按段光滑也就是和都在上按段连续】，则和都在上可积，并且除上有限个点外，可作为的原函数，于是，根据定积分的定义，当我们进一步要求在上连续的情况下，注意到拉格朗日中值公式，可得
引理1（定积分的牛顿—莱布尼茨公式的推广）若在上连续，且按段光滑，则
．
提示：选择包含使不存在的点为分点的的分割，
由拉格朗日中值公式推出，存在，使
（），
．
最后，注意到在上可积，利用定积分的定义即可．
引理2（推广的分部积分公式）若，都在上连续，且按段光滑，则
．
提示：首先，注意到由条件可得在上连续，且按段光滑，和都在上可积，且除上的有限个点外，
．
其次，对应用引理1即可．
引理3（与的傅里叶系数的关系）设在上连续，按段光滑，且

（注：根据周期函数的特点，上述条件意味着可看成按段光滑且以为周期的连续函数），记，，为的傅里叶系数；，，为的傅里叶系数，则
，，．
提示：直接根据傅里叶系数公式，利用引理1或引理2进行计算即可，例如由引理1
．
除上面的三个引理外，在探索的过程中，还要用到关于傅里叶系数的贝塞尔不等式．
引理4（贝塞尔不等式）设在上可积，记，，为的傅里叶系数，则
级数收敛，且
．

二、傅里叶级数的一致收敛性，逐项积分性和逐项微分性

1、傅里叶级数的一致收敛性
定理1（傅里叶级数的一致收敛性）设是以为周期的连续函数，且在上按段光滑，则的傅里叶级数

在上绝对收敛且一致收敛于，其中，，为的傅里叶系数．
提示：首先，由定理15.3并注意到连续推出收敛于；
其次，由引理3推出
；
最后，注意到引理4以及，由一致收敛的优级数判别法即可．

2、傅里叶级数的逐项积分性
定理2 设是以为周期的函数，且在上按段连续，，记
，
则
（1）是以为周期的连续函数，且在上按段光滑；
（2）记，，为的傅里叶系数，有，（）；
（3）．
提示：（1）首先，由变限函数的连续性易得是连续函数；
其次，由变限函数的导数公式，并注意到在上按段连续可推出在上按段光滑，且除上的有限个点外，；
最后，注意到定积分的区间可加性，周期函数的积分特征和傅里叶系数的计算公式推出

即以为周期．
（2）利用傅里叶系数的计算公式和引理2直接计算即可，例如，

（3）首先，由（1）和（2）可对运用傅里叶级数的收敛定理（定理15.3）推出，
，
其次，取，并注意到即可．
定理3（傅里叶级数的逐项积分）设是以为周期的函数，且在上按段连续，记为的傅里叶级数（它不一定收敛，更不一定收敛于），则对任意，有
．
提示：由定理2的（1）和（2）对运用傅里叶级数的收敛定理（定理15.3），并注意到定理2的（3）即可．

3、傅里叶级数的逐项微分性
定理4（傅里叶级数的逐项微分性）设是以为周期的连续函数，且在上按段光滑，记为的傅里叶级数（注：由条件及定理1易得，此时收敛且一致收敛于），则
，
特别，当连续时，
．
提示：首先，由条件可对运用傅里叶级数的收敛定理（定理15.3）推出，
；
其次，在利用引理3即可．