三角恒等变换学案.doc

(完整)三角恒等变换学案
三角恒等变换导学案
一、两角和与差的余弦公式
1. cos（α+β)=
以—β代β得:
2。cos（α+β)≠cosα+cosβ
反例:
cos =cos（ + )≠cos + cos
3. 不查表，求下列各式的值.
（1）cos105° （2）cos15°

(3）cos （4)cos80°cos20°+sin80°sin20°

（5)cos215°—sin215° (6）cos80°cos35°+cos10°cos55°

4. 已知sinα= ，α ,cosβ= - ,β是第三象限角,求cos（α-β)的值.

5．求cos75°的值
6。计算:cos65°cos115°—cos25°sin115°
7.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°
8。已知锐角α，β满足cosα= ，cos(α—β）= - ,求cosβ.

二、两角和与差的正弦公式
1、两角和的正弦公式:
sin（α+β）=
sin（α-β）=sinαcosβ-sinαcosβ
2、典型例题选讲：
求值sin（+60°）+2sin(-60°)—cos（120°-）
3、已知sin（2α+β）=3sinβ,tanα=1,求tan（α-β）的值.

4、 已知sin（α+β）= ，sin(α-β)= 求 的值.

5、变式： 已知sin（α—β）= ，sin(α+β）= ，求tanα:tanβ）的值.

6、在△ABC中，已知cosA = ,cosB= ，则cosC的值为

7。已知sinα+sinβ= cosα+cosβ= ， 求cos(α—β）

8。化简cos-sin
解：

我们得到一组有用的公式：
（1）sinα±cosα=sin =cos .

（3）sinαcosα=2sin =2cos

（4）αsinα+bcosα=sin（α+)=cos(α-）
9、化简cos

三、两角和与差的正切公式
（一)预习指导：
1。两角和与差的正、余弦公式
cos（α+β)= cos(α—β）=
sin（α+β）= sin（α-β）=
2。新知
tan(α+β）的公式的推导：
(α+β)≠0
tan(α+β）

注意：
1°必须在定义域范围内使用上述公式tanα，tanβ,tan(α+β）只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。
2°注意公式的结构，尤其是符号.
（二)典型例题选讲：
例1：已知tanα= ,tanβ=—2 求①tan（α+β），②tan(α—β), ③α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180°

例2：求下列各式的值：
(1）
（2)tan17°+tan28°+tan17°tan28°
(3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°

【课堂练习】
1.若tantan=tan+tan+1，则cos(+)的值为 .
2.在△ABC中,若0＜tanA·tanB＜1则△ABC一定是 .
3. = .

四．二倍角的三角函数（1)
（一）预习指导:
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式:
sin（α+β）= （S）
cos(α+β）= （C)
tan（α+β)= （T） （α，β, α+β≠kπ+ ,)
（二）基本概念
2.二倍角公式的推导
在公式（S），(C），(T）中，当α=β时，得到相应的一组公式：
sin2α= (S)
cos2α= （C）
tan2α= （T）
注意：1°在（T)中2α≠ +，α≠ +(）
2°在因为sin2α+cos2α=1,所以公式（C）可以变形为
cos2α= 或cos2α= (C′）
公式(S），（C），（C′），（T)统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。
（二）典型例题选讲:
例1不查表，求下列各式的值
(1)（ ) (2)
（3) （4）1+2

例2求tan=3，求sin2—cos2的值

例3已知sin (0＜＜ ），求cos2,cos（ +）的值。

二、sinα,cosα,sinα±cosα，sinα·cosα之间的关系
例4已知sin+cos= , ,求cos，cos·cos,sin2,cos2，sin，
cos的值。

练习：
1.求值：
(1）sin22°30’cos22°30’=
（2)2 =
（3） =
（4） =
2.已知sin ， ，求sin2α,cos2α，tan2α的值。

3。已知tan2α= ，求tanα的值。

五．二倍角的三角函数（2）
【学习目标】
　　1。熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角-—升次）
2.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形:
，
这两个形式今后常用！
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力
【学习过程】
（一）预习指导
1.有关公式：
（1） = ；
(2） = ；
（3） = ；
（二）典型例题选讲：
1.化简：
2．利用三角公式化简：sin50°（1+）

3。若 ≤α≤ ,则等于 。
4。的值等于 .
5。已知 ，则 的值等于 。
6.求 的值。

一、选择题
【2017，9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+）,则下面结正确的是( ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
【2015，8】函数=的部分图象如图所示,则的单调递减区间为( ）
A． B．
C． D．
【2015，2】( ）
A． B． C． D．
【2014，8】设，，且，则（ ）
． ． ． ．
【2011，5】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=
A． B． C． D．
（2016·7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A． B．
C． D．
（2016·9）若,则sin 2α =（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【2011，16】在中，，则的最大值为 ．
（2017·14)函数（）的最大值是 ．
(2016·13）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，a = 1，则b = .
（2014·14）函数的最大值为_________。
（2013·15）设为第二象限角，若,则_________。
三、解答题
【2017，17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c，已知△ABC的面积为
（1)求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长

【2016，17】的内角的对边分别为,已知．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为,求的周长．

【2013，17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．

（1）若PB＝，求PA;（2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．

【2012,17】已知,，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；(2）若,△ABC的面积为，求，．

（2017·17)的内角的对边分别为 ，已知．
(1）求；
（2）若 ， 面积为2,求．

（2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍．
（Ⅰ）求 ;
（Ⅱ） 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长．

（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.

(2012·17)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B,C的对边,。
（Ⅰ）求A；
(Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.

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