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三相电路的基本计算方法
( 老头儿的博客)
目录
一.对称三相电路的计算方法 1
1 计算三相对称电路的基本方法概述 1
2. Y-Y结线的三相对称电路的计算 2
3. Y-Δ 结线的三相对称电路的计算 3
4. 对称电源的转换和对称负载的转换 5
5. Δ-Y结线的三相对称电路的计算 6
6. 结线的三相对称电路的计算 7
二．非对称三相电路的计算 8
1. 有中性线的非对称三相四线电路的计算 8
2. 无中性线的 Y-Y非对称三相电路的计算 9
3. 结线的非对称三相电路的计算 12
4．非对称三相负载结线的转换 14
5. 和形不对称三相电路的计算 14
6．计算非对称三相电路计算方法的小结 16
三．三相功率的计算方法和测量方法 16
1. 对称三相电路的功率 16
2 三相功率和三相电能的测量方法 17
附：参考文献 18

一. 对称三相电路的计算方法
1．计算三相对称电路的基本方法概述
所谓对称电路是指三相电路的各相负载相等、供电的三相电压也对称的情况。在电力系统中，多数情况下是对称的电力系统。计算对称的三相电路时，有许多方法可用。最基本的方法是KVL、KCL、网孔法和节点电压法等。但是，三相电路本身有很强的规律性，当计算对称的三相电路时，如果能善于利用这些规律，将可能使计算过程大为简化。甚至可以把所有问题都作为单相电路计算。
计算对称的三相电路时，有以下事项需要考虑：
① 计算时，首先要审视负载是怎样结线的。至于电源是怎样结线的，是星形，还是三角形？并不重要。因为只要知道了电源的线电压，我们都可以根据负载的结线方式对它的结线方式进行假设。当然，如果在题目中已经明确了电源的结线方式，就没有必要进行假设了。
② 如果负载是星形结线的，可以假设电源的结线也是星形的。因为计算三相电路时必须首先选定参考电压，选哪个呢？一般都是选线电压，因为不管是星形结线，还是三角形结线，其线电压的大小和方向都是一致的。这样一来，A相的相电压就是。为什么这样计算，请参考图5。
但是，也可以选相电压作参考电压。这样一来，就有。
如果只是对某一个电路进行计算，选择哪个电压作参考相量都是可以的，只是在计算结果的相量表达上有30度的相位差。
②　如果负载是三角形，而且电源和负载间的阻抗可以忽视时，不妨把电源也认为是三角形的。这样假设，就是选电源的线电压作参考电压。会使计算简化。但是，当线路的阻抗不能忽视时，就应该用的公式把负载阻抗转换为星形后，再按Y-Y结线进行计算。
③ 无论电源和负载的结线是按三角形结线的，还是按星形结线的；也不管电源是发电机，还是变压器，只要电路是对称的，都可以把它们转换成Y形结线的电源和Y形结线的负载。并且最后按单相电路计算。如果线路较复杂时，在计算过程中，还可能有把星形结线转换为三角形的过渡情况。
④　因为本节介绍的是对称的三相电路，所以，在计算过程中应该充分利用对称三相电路的基本规律，不需要一一进行计算。例如，对于星形结线的负载来说，如果已经知道A相电流是，那么，B相电流就是；C相电流就是。对于三角形负载来说，如果已经计算出以后，另外两个相电流和三个线电流就都可以根据他们之间的相位关系和数值的根号三倍关系直接推算出来，不必一一细算。
上面只是介绍了一些计算原则，下面将具体介绍常见三相电路的计算方法。

2. Y-Y结线的三相对称电路的计算
对于Y-Y形结线（指电源为Y形结线，负载也是Y形结线）的对称电路，应该选一相（多选A相）电压作为参考相量，然后按单相电路进行计算。如果没有中线，可以加上；如果有中线，且有阻抗，也不要管它。因为对称三相电路中电流为零，有没有阻抗不影响计算。
对于另外两相，不必再一一演算，按它们之间的相量关系推算就可以了。
例1：有一个三相电路如图1所示。求三相电流。已知电源的线电压是三相173伏，相负载是欧姆。

图1 三相四线电路的结线图
答：因为有中线，而且是对称负载，所以，可以按计算单相电路的方法进行计算。计算此类问题时，必须首先作出相量图。按图1的结线方式可以作出如图2（a）所示的相量图。

图2 三相四线电路的相量图和等效电路图
其次，要选一个量作为参考相量（Reference phasor），因为负载是接于相电压的，所以，我们可以选作参考相量。由相量图可以看出，的大小是线电压的，在本题里，等于100伏。
因为我们要把它定为参考相量，所以，取它的相位是0度， a相电流为

另外两个电流，可以根据相量关系直接写出，即有

和
因为负载是Y形接线，相电流等于线电流。 因为是对称负载，中相电流之和应该等于零。
如果没有中性线，只要负载是对称的，也都可以利用上述方法进行计算。

3. 　Y-Δ 结线的三相对称电路的计算
对于对称的Y-Δ结线的三相电路，推荐两种算法。第一种算法是不理电源是怎样结线的，只按负载的三角结线进行计算；第二种计算方法是把三角形负载转换为星形接法后再计算（见例４）。这样计算的好处是计算简单，而且当传输线路中有阻抗需要考虑时，更显得方便。各举一例如下：
例2：有一个三相电路如图3所示。求三相线电流。已知电源线电压173伏，相负载是欧姆。
答：由图3可知，电源供给负载的电压依次是，因此，对称的三角形负载的相量图如图4所示。

图3 Y形三相电路求电流

图4 三角形负载的电流和电压相量图

由图3可知，

但是，当将作参考相量时，相电压和线电压的相位差是30度（见图4），因此有

由图4可知，负载的线电流依次是：

其实，各个线电流都是落后于相应相电压30度的，因此，不必经过运算，也可以直接写出这个结果的。

4.　对称电源的转换和对称负载的转换
图5（a）的实线是三角形结线的三相电源图的示意图，虚线是等效的Y结线电源的示意图。图（b）是它们的相量图。结线图中的三角形电压，经转换后应该跟星形负载的线电压同相；应该跟同相；应该跟同相。

（a） (b)
图5 将三角形电源转换为等效的星形电源
从图5的图（b）可以看出，三角形的线电压、和跟转换后的星形结线的相电压、和之间的对应关系是：
、和
因此，当把三角形电源转换为星形时，有
、和
对称的三角形结线的负载和星形结线的负载之间也可以互相转换。设三角形结线的阻抗是；星形结线的阻抗是，则有
和
因为转换前后只有大小的变化，所以，转换前后的阻抗角没有发生变化。

例３：把例2用负载结线方式转换的方法计算。
答：例2是结线。所以，应该首先把三角形负载转换为星形结线法，计算公式是

此时的电路图就是Y-Y形结线了（可参考图1）。设以为参考相量，则线电流是

因为电路是对称的，而且是按正序计算的，所以，另外两个线电流可以直接写出来，它们是

可见，两种计算方法得到的结果是一致的。如果题目中给出了线路的阻抗，当计算时，把它们加到上后再计算就行了。

5．Δ-Y接线的三相对称电路的计算
对结线，可以把其中的结线的电源转换为Y形结线，然后按Y-Y结线进行计算。也可以把Y形负载和线路阻抗一起，按公式转换为形结线，然后按结线进行计算，有时反而更简单。
例４：有一个三相电路，如图6所示。请计算三相电流和负载端的电压。给定条件：电源电压：三相220伏；线路阻抗：；每相的负载阻抗是。

图6 电路求电流
答： 首先可以把对称的三角形电源转换为星形结线的电源。若以为参考相量时，三角形电源转换为星形时，星形接线电源的A相电压是

因此，A相电流为

因为电路是对称的，所以，对正序来说，有

注：如果把参考电压设为时，电流的相位将改变30度。
如果把星形负载转换为三角形的算法：
把线路的阻抗认为是负载的一部分，则可以认为每相负载的阻抗为

当把它转换为三角形负载后，每相的阻抗为

如果以为参考相量，则有

因此，

可见，两种计算方法完全相符。

6. 形结线的三相对称电路的计算
对于形结线的对称电路，如果不需要考虑线路的阻抗，可以直接进行计算。但是，如果需要计入线路阻抗，就应该把电源和负载都转化为星形后再计算。各举一例如下：
例５．有一条三相电路如图7所示。已知三相对称电压是220伏，每相的阻抗是10+j5欧姆，求三相电流。

图7 形电路的计算
答：因为电源和负载都是三角形结线，而且又不需要考虑线路阻抗，且有，所以，可以直接计算电流。
设选为参考相量，则有

又因为各个线电流都是相应相电流的倍，而且相位上落后30度，由此推论：

下面再用转换结线方式的方法来计算：
例６：试用转换结线形式的方法求例５。
答：例５的结线图如图7所示。是形电路，题意是把电源和负载都转换为Y形。
如果以三角形电源的AB相电压作参考相量，则有

三角形结线的负载转换为Y形时，有

因此，A相电流为

可见，这个计算结果跟例５的计算结果完全相符。但是，如果以三角形电源转换后的相电压作参考相量时，计算结果将跟例５有30度角的差别。

二．非对称三相电路的计算
所谓非对称电路是指两种情况，一种情况是电源不对称，即三相电压不相等或相电压之间的相位差不相等。第二种情况是各相负载阻抗不相等。第二种情况多见。因此，我们只讨论电源对称，只是负载不对称的情况。
三相电路不对称的表现是：负载的各相电压不相等、各相电流不相等、各相功率不相等。对Y-Y形结线来说，中线电流不再为零，有零线电压降，因此，将产生中性点位移。
计算非对称的三相电路时，基本的方法是利用电路的基本定理进行计算。但是，当计算电力系统时，还有一种专门的计算手段——对称分量法。我们将在以后予以介绍。
现举几个例题来说明计算非对称电路的一般方法：

1. 有中性线的三相四线非对称电路的计算
例７：有一个非对称的三相电路如下图所示，求各线电流。

图8 有中线的非对称三相四线电路
答：这是一个有中性线的Y-Y电路，也称为三相四线电路。它的特点是加于负载的相电压是对称的；但是相电流是不对称的。因此，在中线中有电流。当计算这种电路的电流时，仍然分别采用单相法计算就可以了。
设以为参考电压，则有

相量图如图8所示 。

2. 无中性线的 Y-Y非对称三相电路的计算
当Y-Y结线的电路中没有中线的时候，电路有以下特点：加于负载的相电压不再保持对称、产生所谓的中性点位移、三个线电流虽然不对称，但是，它们的和却为零、因为没有了中线，所以，中相电流也为零。但是，在三相电路中，线电压之和始终为零。
例８ 当例７的电路中没有中线时（见图9），应该如何计算电流和电压？
答：我们首先用网孔法计算这个问题。从题目对角度的设置看，实际上是选为参考电压的，因此：
对于网孔1，有

即有

图9 用网孔法计算电路
对于网孔2，有

即有

式（1）和式（2）构成的矩阵方程是

其行列式为

于是，网孔电流为

由此可得

核验合成电流是否为零：

不对称三相Y-Y电路的各相电流之和为零，说明计算正确。
让我们再来计算加于负载上的各相电压：如果是对称负载的话，各相电压是 120伏，各线电流是,但是，因为负载不对称，有中性点位移，因此，负载上的各相电压不对称。其各相负载上的压降依次是：

相电压值竟然这么大，令人生疑。因为线电压只有207.8伏，可是，负载的相电压怎么会这样高呢？似乎不够合理。但是，经作者再三计算，这个计算结果是无误的。
为什么会出现这种情况？是因为各相的负载严重不对称，引起了负载电路的中性点位移造成的。中性点位移可能造成事故。但是，相序指示表，就是利用了这种特性制成的。为了使读者进一步了解中性点位移的特性，我们再举利用节点电压法来计算例８的方法。
例９ 试用节点电压法来计算例８。
答：例8的结线图见图9。我们可以把这个结线图看作是以电源中性点n和负载中性点N为首尾端的三个电路相并联。根据节点电压计算方法，有

图10 中性点位移示例

当Y-Y电路完全对称时，电源的中点n跟负载的中点 N是重合的。但是，当出现不对称情况时，二者不重合了（见图10的a图），这时就称为中性点位移。
在这里，上述公式实际上是计算中性点位移的公式。
我们这个题中有：

所以，中性点位移为

如果把这个结果用相量表示的话，将如图10(b)所示。
由图10（b）的相量图可知，中性点位移后的各相电压关系是依次是：

可见，中性点位移后，各相电压的大小和相位跟例８的计算结果是完全一致的。
再计算各相的电流：

可见，这个计算结果跟用网孔法计算的结果完全相同。

3. 结线的非对称三相电路的计算
例1０ 如下述三角形结线的电路，线电压为100伏，试计算其各线电流。

图11 计算不对称的三角形电路

答：因为没有给出线路阻抗，因此，计算此类电路时，可以首先计算出其相电流，然后再计算线电流。为此，可以选电压作为参考电压。有

图12 三角形电路的相量图
所以，有

验算：
可见，计算正确。其正序相量图如图12所示。

4．非对称三相负载结线的转换方法
当计算三相电路时，经常需要把对称的三角形电源转换为对称的星形电源。其转换方法在介绍对称电路计算方法时已经作过介绍。可参见图5及其说明。只消记住改为Y结线后，其A相电压为。
为了计算方便，也可以把不对称的负载结线进行转换，转换公式是：
→Y的转换公式：

当负载对称时，转换公式是 。
Y→的转换公式：

和
当负载对称时，是。

５. 和形不对称三相电路的计算
当电源是Y形结线，而负载是形结线时，只消把三角形负载转换为Y形结线就可以了。当电源是三角形，而负载是Y形时，应该把三角形电源转换为Y形。经过这样转换之后就都可以按Y-Y结线进行计算了。
例1１　把例10的三角形电源和负载转换为星形后再计算。
答：例10的结线图是图11。是形的三相不对称电路。当用电源和负载转换法计算时，首先进行负载转换。根据上题的数据有

把三角形线电源转换为星形电源的公式是。当然，另两相的电压相位也要随之变化（见下述相量图a）。
我们虽然把三角形电源和负载都转换为星形了，但是，因为没有中线，因此，会发生中性点位移，要想求出各相电流，还必须求出中性点位移后才能计算出加给每个负载的实际电压和电流。中性点位移是：

图13 电源的转换示意 图14 负载转换后的相量图

这样，就有

可见，计算结果跟例10的计算结果是完全相同的，但是，这个方法要复杂一些。

6．计算非对称三相电路计算方法的小结
当计算三相四线电路时，最简单的方法是分相计算；当计算Y-Y结线的不对称三相电路时，比较常用的方法是网孔电流法、回路电流法或节点电压法等，究竟采取哪个方法，要因人而异；如果是结线，而且可以不计算线路阻抗时，直接计算就比较简便。但是，如果需要计及线路阻抗时，就应该把它们都转换为Y形结线；当计算结线时，应该把负载转换为Y形；当计算形结线时，应该把A相电源电压定为后再计算。但是，当作单一电路计算时，也可以直接把A相电压作参考电压。

三．三相功率的计算方法和测量方法

1. 对称三相电路的功率
由于三相负载是对称的，每相的阻抗都是相等的。所以，不管负载是星形还是三角形，三相总功率都是各相功率之和，即有

式中的代表相电压，将用代表线电压。代表相电流，将用代表线电流。
对于Y形结线的负载来说，有；对于结线来说，有
，所以，不管负载是星形还是三角形，三相总功率都是

要特别注意的是：角并不是线电压和线电流之间的夹角，而是负载的阻抗角。当然，它也是相电流跟相电压之间的夹角。
同理，对于三相对称电路的三相无功功率就是

视在功率为

在三相电路对称的情况下，有

如果用复数表示功率，只有电压跟电流的共轭复数的乘积才符合功率的定义，见下述的相量图。这时有：

图15 复功率的相量图
二者直接相乘（即）的结果，是没有什么意义的。
对于三相对称电路来说，有

由此可得：

和

2．三相功率和三相电能的测量方法
测量交流功率时，一般都是用功率表，俗称瓦特表；测量电能时都是采用电能表，俗称电度表。功率反映的是作功的本领，电能则反映作功的数量——电量。功率跟时间的乘积就是电能，所以，这两种表计的结构原理往往是不相同的。
对三相对称电路的功率和电能，可以用单相表进行测量，把测量结果乘以3就可以了。
对于非对称的三相四线电路，也可以用单相表分别进行测量。各家庭用户使用的都是三相电能，因为每个家庭只引进一相电压。所以各个家庭用户都是采用单相电能表记录用电量的。但是，供电部门统计供电量时却是用三相电能表的。
对于具有中性线的三相四线制供电线路应该采用三相三元件电能表测量。但是，对于三相三线的电路，一般都是采用具有两个测量元件的三相功率表或三相电能表，可以证明，不论是对称的三相电路或非对称的三相电路，也不论电源和负载是星形还是三角形结线，用这种结线方式构成的仪表，对三相功率或三相电能都能正确测量。
下图给出的就是三相两元件功率表或电能表的结线方法和相量图。

图16 两功率表法测量三相功率的结线和相量图
当三相电路对称时，三相表反映的功率是

当、和时，有

也就是说，当在三相对称电路按图16所示方式测量时，测量的是三相有功功率。可以证明，当三相电路不对称时，用这种测量方式也可以正确地测量功率。
（2012-09-09）

附：参考文献
1. J.DUNCAN GLOVER ，MULUKUTLA S. SARMA ，THOMAS J .
OVERBYE Power System Analysis and Design (Fifth Edition)
2. F. A. BENSON and D. HARRISON Electric-Circuit Theory (Second Edition) LONDON
3．邱关源，罗先觉 电 路 第5版 北京 高等教育出版社 2006

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