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抛物线解题技巧的探讨

【编著】黄勇权

充分利用抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，巧妙巧用抛物线的对称性，常常达到简单、快捷、直通答案的佳境。
【例1】
已知抛物线与x轴两交点A、B其间距为6，与y轴交于点C，其顶点为（2，-9），求△ABC的面积。
【分析】
　 要求△ABC的面积，
只要求出点C的y坐标即可。

【解】
步骤① 由题目可知，抛物线的对称轴是x = 2。
│AB│=6,由抛物线的对称性可知，
A、B两点的x坐标分别为x= 2±3
即 得到A、B两点坐标为（5，0）、（-1，0）。
步骤②又因为顶点为（2，-9），故可设抛物线的解析式为：
y = a(x-2)2 - 9 ..........⑴
步骤③∵B点（-1，0）在抛物线上，将其代入⑴
化简得：9a -9 = 0。∴a = 1。
步骤③ 抛物线的解析式为y =（x-2)2 - 9.........⑵
把x=0代入⑵
得到y= - 5
∴点C的坐标为（0，-5）。
∴S△ABC = 1/2×（6×│-5│）= 15。

【例2】
已知抛物线的对称轴是x =6，抛物线与y轴交于点（0，26），与x轴两交点间的距离为14，求此抛物线的解析式。
　【分析】
如果死搬抛物线的一般解析式y = ax2 + bx + c 。则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，其过程及其繁杂；
若巧用抛物线的对称性，解法就轻松简捷多了。
【解】
步骤①因为抛物线的对称轴为x =6，
│AB│=14,由抛物线的对称性可知，
A、B两点的x坐标分别为x= 6±7
即 得到A、B两点坐标为（13，0）、（-1，0）。
步骤②抛物线的解析式可设为
y = a（x-13）（x+1）..........⑴

步骤③又因为抛物线与y轴交于点（0，26），
将其代入⑴
化简得：26 = -13a。故a = - 2。
步骤④∴y = -2（x- 13）（x +1），展开得：
y = - 2x2 + 24x -26。

【例3】
已知抛物线y=-2x2+8x-15,求与它关于直线y=-3对称的抛物线。
　【分析】
此题的突破口：将抛物线的一般形式转变成顶点形式。
【解】
步骤①y=-2x2+8x-15,
y=- 2(x - 2)2 - 7
得到：顶点（2，- 7）
步骤②顶点（2 ，- 7）关于y=-3对称的点C的y坐标
y=2×(-3）-（-7）=1
即C（2, 1）..........⑴
步骤③因为两抛物线关于直线y=-2对称,
它们的开口方向相反。
即a= -（- 2）=2........⑵
步骤④ 由⑴、⑵得到所求抛物线
y=2(x-2)2+1

【例4】
　 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A，与y轴交于点B（0，10），与x轴交于C、D两点，如果方程ax2 + bx + c =0的两个根是1和5，求四边形ABCD的面积。
【分析】
要求四边形ABCD的面积，求出顶点A的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。
【解】
步骤①因为方程ax2 + bx + c =0的两个根是1和5
得C、D两点的坐标分别为（1，0）、（5，0）。
从而可设抛物线的解析式为
y = a（x-1)（x-5）.........⑴
步骤②∵y轴交点（0，8）在抛物线上，将其代入⑴
化简得：∴5a = 10。故a =2。
∴抛物线的解析式为y = 2（x-1)（x-5），
即y=2(x-3)2 - 8
∴顶点A的坐标为（3，- 8）。
步骤③连结OA ，
CD=5 - 1=4
YB=10
┃YA┃=┃-8┃=8
则S四边形ABCD
= S△BDC + S△ACB
= 1/2×4×10+1/2×8×4
=36