高中数学导数在实际应用的应用问题教案.doc

一. 教学内容：

导数在实际生活中的应用

二. 重点、难点：

教学重点：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．

教学难点：实际问题转化为数学问题的能力．

三. 主要知识点：

1. 基本方法：

（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的减函数.

（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.

（3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.

（4）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）. ②求方程f'（x）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值.

（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值.

2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.

解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.

根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．

【典型例题】

例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

思路一：设箱底边长为x cm，则箱高cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？

变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？

提示：答案：．

评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解：设∠BCD＝Q，则BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝，

∴AC＝50－40cotθ

设总的水管费用为f（θ），依题意，有

f（θ）＝3a（50－40·cotθ）+5a·

＝150a+40a·

∴f′（θ）＝40a·

令f′（θ）＝0，得cosθ＝

根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值，

此时sinθ＝，∴cotθ＝，

∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一、选择题

1. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）

A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒

2. 如果为偶函数，且导数存在，则的值为 （ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. －1

3. 是函数值的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4. 当时，有不等式 （ ）

A.

B. 当时 ，当时

C.

D. 当时，当时

5. 方程在的实根个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 设函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

二、填空题

7. 曲线在点处的切线方程为_______________.

8. 若函数有三个单调区间，则的取值范围是 .

9. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为______________

三、解答题

10. 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，

（1）求的值；（2）求函数的递减区间.

11. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：，且生产x吨的成本为（元）. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本）

12. 已知在与时，都取得极值.

（1）求的值；

（2）若，求的单调区间和极值；

（3）若对都有恒成立，求的取值范围．

【试题答案】

1. C 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D

7.

8.

9. 解析：设底面边长为x，则高为h＝，

∴S表＝3×·x+2×x2＝+x2．

∴S′＝－+x．令S′＝0，得x＝．

答案：

10. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点

∴ c＝0，又图象与x轴相切于（0，0）点，＝3x2+2ax+b

∴ 0＝3×02+2a×0+b，得b＝0

∴ y＝x3+ax2，＝3x2+2ax

当时，，当时，

当x＝时，函数有极小值－4

∴ ，得a＝－3

（2）＝3x2－6x＜0，解得0＜x＜2

∴ 递减区间是（0，2）

11. 解：每月生产x吨时的利润为

，故它就是最大值点，且最大值为：

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．

12. 解：（1）f′（x）＝3x2＋2a x＋b＝0.

由题设，x＝1，x＝－为f ′（x）＝0的解.

－a＝1－，＝1×（－）. ∴a＝－，b＝－2.

（2）f（x）＝x3－x2－2 x＋c，由f （－1）＝－1－＋2＋c＝，c＝1.

∴f（x）＝x3－x2－2 x＋1.

x
（－∞，－）
（－，1）
（1，＋∞）

f ′（x）
＋
－
＋

∴f （x）的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）.

当x＝－时，f （x）有极大值，f （－）＝；

当x＝1时，f （x）有极小值，f （1）＝－.

（3）由上，f ′（x）＝（x－1）（3x＋2），f （x）＝x3－x2－2 x＋c，

f （x）在[－1，－]及（1，2）上递增，在（－，1）递减.

f （－）＝－－＋＋c＝c＋. f （2）＝8－2－4＋c＝c＋2.

由题设，c＋2＜恒成立，＜0，

∴c＜－3，或0＜c＜1 .