用十字相乘法把二次三项式分解因式.doc

因式分解补充方法：十字相乘法
一、 知识归纳和例子讲解：
（1） 对于某些首项系数是1的二次三项式【】的因式分解：
一般地，∵，∴．
这就是说，对于二次三项式，若能找到两个数、，使
则就有．
（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。）
如对于二次三项式，其中，，能找到两个数、，使 故有．
(2) x2 – 3x –10；
解：1 –5 （x – 5）
1 2 （x + 2）
–5 *2 = 9；1*（–5）+1*2= –3
∴x2 – 3x –10 = （x – 5）（x + 2）毛
例1：因式分解
(2) x2 －3x －10；
解：1 －5 （x － 5）
1 2 （x + 2）
－5 ×2 = 9；1×（－5）+1×2= －3
∴x2 －3x －10 = （x － 5）（x + 2）毛
(1) x2 + 10x + 9 ；
解：1 1 （x + 1）
1 9 （x + 9）
1×9=9；1×9+1×1=10
∴x2 + 10x + 9=（x + 1）（x + 9）

说明：用十字相乖法分解二次三项式，式中的、通常是整数，要找的、两数也通常是在整数中去找．由于把拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把分解成两个整数之积只有有限几种可能，故应先把分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和得．
练习题（因式分解）：
（1）___ __ __ ____. （2）___ __ __ _____

（3）___ __ __ ____ （4）___ __ __ ____

　提问：请观察以上练习中的各题，你能发现把分解成两个整数、之积时的符号规律吗？
　　⑴若＞，则、同号．当＞时、同为正，当＜时、同为负．
⑵若＜，则、异号．当＞时、中的正数绝对值较大，当＜时、中的负数绝对值较大．
（2） 对于二次三项【】（a、b、c都是整数，且）的因式分解：
一般地，∵=，
∴=．
这就是说，对于二次三项式，若能找到四个整数，使
则就有==，通常要借助画多个十字交叉线的办法来确定。
例2　分解因式：（1）； （2）

（1）解：

∴=
（2）解：所有可能的十字形式：

∴
说明：⑴二次项系数为正时，只考虑分解成两个正因数之积；
⑵在二次项系数为正时，常数项的分解，符号规律同上节、的符号规律；
⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；
⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解．
练习题（因式分解）：
（1）2x2 ＋7x＋3=___ __ __ ____ （2）3x2 －5x＋2=___ __ __ ____

（3）2x2 ＋5x－7=___ __ __ ____ （4）5x2 －3x－2=___ __ __ ____

二、练一练、做一做：
1、把下列各式分解因式：
（1） （2）

（3） （4）(a＋b)2 ＋5(a＋b)－36

2、将下列各式因式分解
（1） （2）

（3） （4）

3、将下列各式因式分解
（1）； （2）2x2 ＋5x＋2；

（3）)3x2 ＋7x－6 ； （4）2x2－5xy＋2y2

4、用因式分解法列下列方程:
（1）x2 + 2x－3 = 0  （2）2x2－7x + 6 = 0

（3）x(x－2) = 3 （4） (2x－3)2 + 3(2x－3) + 2 = 0.