第18届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题及答案.doc

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛
初一 第2试
2007年4月15日 上午8：30至10：30
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、 假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水，每滴水约0.05毫升，现有一个水龙头未拧紧，4小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（ ）（用科学记数法表示，结果保留两位有效数字）
（A）1440毫升。 （B）毫升。 （C）毫升。 （D）毫升。
2、 如图1，直线L与∠O的两边分别交于点A、B，则图中以O、A、B为端点的射线的条数总和是（ ）。
（A）5． （B）6. （C）7. (D)8.
3、 整数a,b满足：ab≠O且a+b＝O，有以下判断：
a,b之间没有正分数； a,b之间没有负分数；
a,b之间至多有一个整数； a,b之间至少有一个整数 。
其中，正确判断的个数为（ ）
（A）1． （B）2. (C)3. (D)4.
4、 方程的解是 x＝（ ）
（A） （B） (C) (D)
5、 如图2，边长为1的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（ ）。
（A）1. (B)3. (C)6. (D)9.

6、 在9个数：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3中，能使不等式－3＜－14成立的数的个数是（ ）
（A）2. (B)3. (C)4. (D)5.

7、 韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图3（a）放置，然后又如图3（b）放置，则图3（b）中四个底面正方形中的点数之和为（ ）
（A）11. (B)13. (C)14. (D)16.

图3
8、 对于彼此互质的三个正整数，有以下判断：
①均为奇数 ②中必有一个偶数 ③没有公因数 ④必有公因数
其中，不正确的判断的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

9、 将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体。如果长方体底面的周长为18厘米，那么这个长方体的高是（ ）
（A）2厘米 （B）3厘米 （C）6厘米 （D）7厘米
10、 If ,then ( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
11、 若有理数满足，则
12、 今天（2007年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么几天以后的第天是星期
13、 孔子诞生在公元前551年9月28日，则2007年9月28日是孔子诞辰 周年。（注：不存在公元0年）
14、 In Fig。4，ABCD is a rectangle.，The area of the shaded rectangle is

15、 下表是某中学初一（5）班2007年第一学期期末考试数学成绩统计表：
分数
40------59
60-------70
71-------85
86------100
人数
5
19
12
14
这个班数学成绩的平均分不低于 分，不高于 分。（精确到）
16、 已知，其中代表非0数字，那么
17、 某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月平均5吨，由于6，7，8月天热，每户每月多用水1吨，为了不超过全年用水定额，则全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均 吨之内。如果每户每天节约用水2千克，则全市一年（按365天计）节约的水量约占全年用水定额的 %（保留三位有效数字）
18、 都是质数，且满足，则
19、 一项机械加工作业，用4台A型车床，5天可以完成：用4台A型车床和2台B型车床，3天可以完成；用3台B型车床和9台C型车床，2天可以完成。若A型、B型和C型车床各一台一起工作6天后，只余下一台A型车床继续工作，则再用 天就可以完成这项作业
20、 设，则和四个式子中，值最大的是
值最小的是
三、解答题（本大题共3小题，共40分） 要求：写出推算过程。
21、 （本题满分10分）
小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线L，他发现：这2007个点中的每一点关于直线L的对称点，仍在这2007个点中，请你说明：这2007个点中至少有1个点在直线L上。

22、 （本题满分15分）
小明和哥哥在环形跑道上练习长跑。他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：
（1） 哥哥速度是小明速度的多少倍？
（2） 哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？

23、 （本题满分15分）
满足1＋3n≤2007，且使得1＋5n是完全平方数的正整数n共有多少个？

答案：
一、 选择题（每小题4分。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
C
C
C
D
C
B
D
二、 填空题（每小题4分；两个空的小题，每个空2分。）
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案

三

2557

18
67；9；80；9

98
；1.22

2

三．解答题
21．假设这2007个点都不在直线L上，由于其中每个点（i＝1，2，……，2007）关于直线L的对称点仍在这2007个点中，所以不在直线L上。
也就是说，不在直线L上点（i＝1，2，……，2007）与关于直线L对称的点成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾！
因此，“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有1个点在直线L上。
22．设哥哥的速度是米/秒，小明的速度是米/秒。环形跑道长s米。
（1）由“经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了20圈”，知
经过分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了1圈。所以

整理，得，
所以， .
(2)根据题意，得
即解得，
故经过了25分钟小明跑了

（2）另解 由，知小明每跑1圈，哥哥就比小明多跑1圈，所以当哥哥比小明多跑20圈时，小明也跑了20圈。
23．由条件1＋3n≤2007得
n≤668,n是正整数。
设1＋5n＝（m是正整数），则
，这是正整数。
故可设m＋1＝5k，或m-1=5k（k是正整数）
当m+1=5k是，，由
，得，k≤11
当k=12时，＞668。
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数；
当m－1＝5k时，，
又＜，且当k＝11时＜668，
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数。
因此，满足1＋3n≤2007且使1＋5n使完全平方数的正整数n共有22个。

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