函数导数应用题.doc

函数导数应用题
1.根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率 ×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）
（1）将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数；
（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？
1．解：（1）由题意可知，

（2）考虑函数

当时，，函数在上单调减．
所以当时，取得极大值，也是最大值，
又是整数，，，所以当时，有最大值．
当时，，所以函数在上单调减，
所以当时，取得极大值，也是最大值．
由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．
答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．

2.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度成正比，与它的厚度的平方成正比，与它的长度的平方成反比.
(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为且翻转前后的比例系数相同都为）
(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为多少时，可使安全负荷最大？
a
d

d

2.解：（Ⅰ）安全负荷为正常数）翻转，
，
当时，安全负荷变大.
当 ，安全负荷变小；
当时，安全负荷不变.
（II）如图，设截取的宽为，厚度为，则.
= （
令 得：
当时 函数在上为增函数；
当时 函数在上为减函数；
当 时，安全负荷最大。此时厚度
答：当问截取枕木的厚度为时，可使安全负荷最大。
3.某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf(x)，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.
（Ⅰ）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?
（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.
3.解：（Ⅰ）由题设：投放的药剂质量为，
渔场的水质达到有效净化
或
或，即：，
所以如果投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共可持续8天

4.如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =．
（1）求居民区A与C的距离；
（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ <），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．
① 求w关于θ的函数表达式；
② 求w的最小值及此时的值．

O

A
B
C

5.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大．
5.解：（1）如图，连接，设圆心为，连接．
在直角三角形中，，，
所以．
由于，所以弧的长为．
所以，
即，．
（2），
令，则，
列表如下：

+
0

极大值

所以，当时，取极大值，即为最大值．
当时，绿化带总长度最大．