随机过程第一章习题解答.docx

第一章习题解答
1． 设随机变量X服从几何分布，即：。求X的特征函数，EX及DX。其中是已知参数。
解

=
又

（其中 ）
令
则

同理
令 则
）

2、（1） 求参数为的分布的特征函数，其概率密度函数为

（2） 其期望和方差；
（3） 证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。
解 （1）设X服从分布，则

（2）

（4） 若 则

同理可得：
3、设X是一随机变量，是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）
（2）
解 （1） （）
在区间[0，1]上服从均匀分布
的特征函数为

（2）
=
=

4、设相互独立，且有相同的几何分布，试求的分布。
解
=
=
=
=

5、 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量
的分布。
证 （1）

为连续函数

=
=
=
=

非负定
（2）
=
=
（）
6、证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
解 （1）

= （）
且连续 为特征函数
（2）
=
=
=

7、设相互独立同服从正态分布，试求n 维随机向量的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的率密度函数。
解

又 的特征函数为：

均值向量为
协方差矩阵为
又
8、设X．Y相互独立，且（1）分别具有参数为及分布；（2）分别服从参数为。求X+Y的分布。
解（1）
=
=
=
=
则

（2）

9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为

求其特征函数。
解　　
　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　 ＝
　　　　　　　　　＝
10、已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为
　　　　　解　
　　　　　　　　又
　　　　　　　　　　　　　　　＝
　　　　　其中　　　　　

11、设相互独立，且都服从，试求随机变量组成的随机向量的特征函数。
　　　　解　
　　　　　　　　　　　　 ＝
　　　　　　　　 ＝
＝
12、设相互独立，都服正态分布，试求：
（1） 随机向量的特征函数。
（2） 设，求随机向量的特征函数。
（3） 组成的随机向量的特征函数。
解（１）
　（２）
　　　　　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　　　＝
（３）
　　　　　　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　　　　＝
13、设服从三维正态分布，其中协方差矩阵为，且试求。
解
　　　＝
　　　又

　同理可得　　

14、设相互独立同服从分布。试求的期望。
解　　
　　令　　　　
则　　　　

　　　　＝　
　　　　＝　　　　　
15、设X．Y相互独立同分布的随机变量，讨论的独立性。
解
有 或
则
又

服从指数分布，　服从柯西分布，且
对有

相互独立。
16、设X． Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论的独立性。
解（1）

(2)
(3)

对均成立
相互独立
17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求
（1）
（2）
证 （1）
=
（2）
18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。试求（1）X与X+Y的联合概率密度；（2）
解

令 则

（2）

19、设是一列随机变量，且，其中K 是正常数。试证：
（1） 当。
（2） 当均方收敛于0；
（3） 当
证 令

0

(当，) 几乎肯定
收敛于0

当
均方收敛于0
当时，
即
20、设
证
=