用Jacobi 迭代法,Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组,讨论收敛性.doc

数值分析实验指导
实验六 解线性方程组的迭代法
一、实验目标
1、 理解求解线性方程组的两种迭代法的求解思想：Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。
2、 掌握迭代法收敛的条件，并会判断Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。
3、 学会编程实现Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，掌握终止迭代的技术（< 或k >（予给的迭代次数））与发散性判断的方法。
4、 体会初始解 X，松弛因子的选取，对计算结果的影响。
二、实验问题
解线性方程组
(1) ;
(2) ;
(3)
，
精确解：X= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 ) .

(4) 对称正定阵系数阵

精确解：X = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 ).

(5) 三对角形系数矩阵

精确解：X= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 ).

三、实验要求
1、试用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组(1)，(2)，讨论收敛性。
2、编写Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法解线性方程组的一般程序，对不同精度要求，如，求解线性方程组(1)，(2)，由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢。
3、使用SOR方法求解方程组(3)，(4)，(5)，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，观察松弛因子的不同取法对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者。

附录一：
《数值分析》实验报告（模板）
【实验课题】 用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组，讨论收敛性
【实验目标】
1、 理解求解线性方程组的Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法的求解思想。
2、 了解迭代法收敛的条件，会判断Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。
3、 学会编程实现Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，掌握终止迭代的技术（ < 或k >（予给的迭代次数））与发散性判断的方法。
【理论概述与算法描述】
1. 雅可比迭代法
对于矩阵A，A=D-L-U，令M=D，则A=D-N，则雅克比迭代法
=B+f，其中B-I-1/DA=D^-1(L+U)=J,，由雅可比迭代法得分量计算公式。计=,所以
,因此雅可比迭代法得计算公式

i=1,2,3.......,k=0,1,2.....
2. 高斯塞德尔迭代法
令M=D-L,A=M-N,得B=(D-L)^-1U=G,G为高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵，得到，所以高斯塞德尔计算公式为
，
=（），i=1,2,3.......,k=0,1,2.....

【实验问题】
用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组，判断收敛性
【实验过程与结果】
1. 理解两种迭代法的计算思想，掌握方法推到计算公式
2. 用matlab编程实现
3. 对实验结果进行分析，比较两种方法，并判断收敛性

【结果分析、讨论与结论】

两种方法得到的结果一样，
雅可比
k =

17

x =

-0.1348
-1.0829
3.9203
2. 高斯塞德尔
k =

17

x =

-0.1348
-1.0829
3.9203
【附程序】
1. 雅可比程序算法
function x=jacobi(A,b,x0,tol)
n=length(b);
x=zeros(n,1);
x=x0+1;
k=0;
while norm(x-x0)>tol
if k>20

disp('jacobi fails')
break;
end
k=k+1;
for i=1:n
x0=x;
x(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x0+A(i,i)*x(i))/A(i,i);

end

end
k
2. 高斯塞德尔程序算法
function x=gaussseided(A,b,x0,tol)
n=length(b);
x=zeros(n,1);
x=x0+1;
k=0;
while norm(x-x0)>tol
if k>20

disp('gaussseided fails:')
break;
end
k=k+1;
for i=1:n
x0=x;
x(i)=(b(i)-A(i,1:(i-1))*x(1:(i-1))-A(i,(i+1):n)*x((i+1):n))/A(i,i);

end

end
k
3. 主函数
A=[1 0.4 0.4;0.4 1 0.8;0.4 0.8 1];
b=[1;2;3];
tol=1e-3;
x0=[3;1;6];
%x=jacobi(A,b,x0,tol)
x=gaussseided(A,b,x0,tol)
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