经典三角函数变换的技巧与方法最终版.docx

三角函数变换的方法与技巧 (1)
一、 凑角法
在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；；；等等。
例1、已知，求证：。
分析：在条件中的角和 与求证结论中的角是有联系的，可以考虑配凑角。
解：，，

例2　求的值．
解析　原式=sin20°+4sin20°cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin20°+2sin⁡（60°-20°）cos20°=3．
评注　三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．
练一练：1、已知cos(2A-B)=-1114，sin(A-2B)=437,0<B<π4<A<π2,求A+B
2、2cos10°-sin20°cos20°=
3.若tanα=13，tanβ-α=-2，则tanβ=

二、 去异化同
三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。
例3（2010北京文数）（15）（本小题共13分）已知函数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值
解：（Ⅰ）=
（Ⅱ）

因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。

练习（2010北京理数）（15）（本小题共13分）www.@ks@
已知函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值。
解：（I）
（II）
=
=,
因为，
所以，当时，取最大值6；当时，取最小值

三、 常数“1”的变换
在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，等等。
例4、求函数的最小正周期，最大值和最小值。
分析：由所给的式子可联想到。
解：

。
所以函数的最小正周期是，最大值为，最小值为。
例5（2010上海文数）19.（本题满分12分）
已知，化简：lgcosx∙tanx+1-2sin2x2+lg2cosx-π4-lg⁡(1+sin2x).
解析：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．
练习：1、已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（β-γ）的值等于 (过河拆桥)
2、已知α+β=45°，求（1+tanα）（1+tanβ）的值
3、求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…(1+tan44°)（1+tan45°）

四、 降幂法（逆用公式）
在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由可以变通为与；由可变形为等等。
例6（2010湖南文数）16. （本小题满分12分）已知函数
（I）求函数的最小正周期。
(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。

例7（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：由，得

所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）解：由（1）可知
又因为，所以
由，得
从而
所以

练习（2010湖北文数）16.（本小题满分12分）
已知函数
(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。

练习（2010山东文数）

这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。
三角函数变换的方法与技巧(2)
[上期回顾练习]
（1）已知，，那么的值是_____
（答：）；
（2）已知为锐角，，，则与的函数关系为______
（答：）
（3）已知A、B为锐角，且满足，则＝___
（答：）；
（4）设中，，，则此三角形是____三角形
（答：等边）
（5）若，化简为_____
（答：）；
（6）函数的单调递增区间为____
（答：）

在上一部分我们介绍了部分三角函数的变换技巧与方法，下面我们再介绍两种变换的方法与技巧：
五、 消元法
如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。
例7、求函数的最值。
解：原函数可变形为：，即
，
解得：，。
六、图像转化法
对于一道题，思路不同，方法出随之不同。
求函数 的最大值。
解：由于，则为点与点()连线的斜率。则斜率最大为当连线与半单位圆相切时，如图所示：
O
(－２，０)
此时， 。
捷的方法。

总结：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

三角函数最值与综合应用
一、求三角函数最值的一般方法
1.用三角发求解三角函数的最值常见的函数形式
（1），其中，
（2）可先降次，整理转化为一次形式。
（3）可转化为只有分母含或函数式，或的形式，用正、余弦函数的有界性求解。
2.用代数法求三角函数的最值常见的函数形式
（1）可转化为的二次函数式。
（2），令，则转化为的最值，一般可用图像。
3.用解析法求三角函数的最值常见的函数形式
或可转化为椭圆上的动点与定点连线的斜率的最值问题。
二、求三角函数值域的常用方法
求三角函数的值域除了判别式、均值不等式、单调性等方法除外，结合三角函数的特点还有以下常用方法：
1.涉及正、余弦函数以及，其中，都可以考虑利用有界性处理
2、型 ,其中,再利用有界性处理。
3.形如或的函数求最值是都可以通过适当变换，通过配方法来求解。
4.形如，在关系式中是，可以考虑换元法处理，如令，则。把三角问题化归为代数问题解决
5.形如型或能确定所给函数在某区间上单调，可考虑利用单调性求解。

例1. 求下列函数的值域
（1）
（2）
解析：
（1）y=2sin2xcosx1-cosx=2cos2x+2cosx 值域[-0.5,4)
(2)换元法 令t=sinx+cosx 则y=t2+2t-12 值域[-1,1+222]
变式1. 求函数的值域
y=根号3*cosx/(2+sinx)
√3*cosx=Y（2+sinx）
Ysinx-√3*cosx=-2Y
（Y²+3）sin(x-θ)=-2y
sin(x-θ)=-2y/(Y²+3)
由于：|sin(x-θ)|≤1
所以：|-2y/(Y²+3)|≤1
解得：|y|≤1
所以：y=根号3*cosx/(2+sinx)的值域是[-1，1]
练习：
一、选择题
1.（2009全国Ⅱ）若将函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
[答案]D
2.（2008湖南）函数在区间上的最大值是（）
A. B. C. D.
[答案]C
二、填空题
3.（2009全国Ⅰ）若，则函数的最大值为

三、解 答题
4.（2010辽宁）在中，分别为内角的对边，且
（1）求的大小
（2）求的最大值

2a2=2b2+bc+2c2+bc
即(b2+c2-a2)/2bc=-1/2
cosA=-1/2 2a^2=2b^2+bc+2c^2+bc====>b^2+c^2-a^2=-bc,且cosa=(b^2+c^2-a^2)/2bc=-bc/2bc=-1/2
所以角a=120°，A=120°，所以B+C=60°所以sinB+sinC=sin（60-C）+sinc=sin（60+C）,
因为0°<C<60°，所以60<60+C<120所以sinB+sinC=sin（60+C）,根号3/2<sinB+sinC<=,1sinB+sinC的最大值为1
A=120°
6.(2009陕西)已知函数，的图像与轴的交点中，相邻连个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为。
（1）求的解析式；
（2）当时，求的值域

7.已知函数
（1）求函数的最小正周期和图像的对称轴方程；
（2）求函数在区间上的值域

8.已知向量，，，且为锐角。
（1）求角的大小
（2）求函数的值域

三角恒等变换
一、 方法与技巧：
1.和角公式中要注意公式成立的条件。
2.三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最小，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应该要求出具体值。
3.要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如，，，的半角，是倍角。
4.要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角之间关系的特殊性化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活掌握个公式的正用、逆用、变形等。
例三角函数式的化简与证明
化简
（从角入手，化复交为单角）

（从名入手，化异名为同名）

（从幂入手，降幂处理）

练习：
一、选择题
1.（2010新课标全国）若cosα=-45，是第三象限角，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
2.（2010福建）计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
3.（2010江西）是等腰直角三角形ABC斜边上的三等分点，则（）
A. B. C. D.

二、填空题
4.（2010全国Ⅱ）已知是第二象限角，,则
[答案]-0.5

5.（2010浙江）函数的最小正周期是

【答案】π

三、解答题
7.（2010安徽）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且
（1）求角的值
（2）若，求（其中）

三角函数最值与综合应用习题
一选择题
1.

3.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（）
A. B.
C. D.
答案D
4.已知函数，给出下列四个命题：
①若，则；②的最小正周期是；
③在区间上是增函数；④的图像关于直线对称；
其中真命题是（）
A. ①③④ B. ①② C. ②③ D. ③④
答案A
5函数的最大值和最小正周期分别为（）
A. B. C. D.
答案A
二、填空题
6.已知函数的图像关于直线对称，则
三、解答题
已知，，与之间有关系式，其中
（1） 用表示；
（2）求的最小值，并求此时与夹角的大小。
【答案】（1）1+k22k(2)最小值是1,60°
三角恒等变换
一、 选择题
1.已知，，那么等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
2.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3.若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
[答案]A
4.设，，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
[答案]C
二、 填空题
6.已知，则
[答案]725
三、解答题
7.已知，求的值
【答案】原式=sin2x=725
8.已知，，求和的值
[答案]tan2α=43 sin2α=45 cos2α=35 4+3310