铅球运动中的数学1.doc

陇东学院数学系

2010届毕业生论文设计

论文题目： 铅球运动中的数学
姓 名： 杨立红
班 级： 2006级本科3班
指导教师： 崔建斌
完成日期： 2010年5月
铅球运动中的数学
杨立红 作者简介：杨立红，(1986—)，男，现为数学与应用数学专业2006级3班学生。

陇东学院数学系 甘肃庆阳 745000
摘 要: 本文运用力学原理，通过数理推导建立了铅球最大射程和最佳出手角的数学模型，并根据运动学的特点，分析了理论上最佳出手角及其在实际应用中的局限性。因此理论上最佳出手角只能作为教学和训练的定量指标，而并非竞赛中的最佳出手角。在教学和训练中应结合实际，采用合理的出手角，有利于改进技术，指导训练，从而提高运动员的成绩。
关键词: 铅球 最佳出手角
1. 引言
铅球比赛以远取胜，且推铅球是抛射点高于落地点的斜抛体运动。在中学物理中我们知道，如果不考虑空气阻力的影响，将一物体（形状规则，分布均匀）以一定的速率斜向上抛出，那么只有当仰角（即出手角）为45°时，它才能被抛出的最远。那么在实际当中，推出铅球的仰角（即出手角）为多少时，它才能推出的最远呢？目前在一些体育方面的书籍中给出了最佳出手角为38°～42°.[1]这样就很难正确的指导训练，对教学很不利。而在近几年的世界竞赛中，我国铅球运动员的成绩并不理想，究其原因，本文通过数理推导对此问题作初步的探讨，并将其进行总结。
2. 模型的建立
2.1 模型建立的基础
铅球和其他球类有明显的不同，它的形状规则，密度较大，体积较小，那么这样就适合将其抽象为一个质点，而且铅球的飞行速度相对较慢，在抛出后做斜抛体运动，易于建立数学模型。
2.2 模型的推导
铅球在推出后要受到空气阻力的影响，在这里我们设出手角（铅球离手时运动方向和水平方向的夹角）记为α，出手速度(铅球离开手时的速度)记为v0,运动员肩高为h1,臂长为L，出手时球高为h，空气阻力为F，则空气阻力与速度的关系为,则在水平方向上和竖直方向上的阻力分别为：，如图所示。

则由牛顿第二定律[2]得

两边积分得

上式中 两边再次积分得

由于， ，且时间t并不是一个较大的量，一般t<10s，所以为一小量，利用级数展开后保留到二次项，并化简得：

落地点的坐标为，从抛出点到落地点的时间记为t1，由上面两式有

令，代人（10）式，移项后为一个一元二次方程，由求根公式可得

把代人上式得

令, ， ， ，
则上式可化简为

同时

要得知α取何值时s为最大，只需令s的导数为零即可[3]。由
得

经计算得

代人（11）

= (12)
为了化简上式，我们令
， ， ， ，
， ， ，
于是（12）式就可以化简为
(13)
两边平方化简得到一个一元十次方程
（14）
其中系数：，，

，
这里h1, L,m,v0,k为一级参数，a,b,c,d为二级参数，ai（i=0,1,2,3,4）和bj（j=0,1,2,3,）为三级参数，An（n=0,1,2…，10）为四级参数。这样可以由一级参数确定二级参数，由二级参数来确定三级参数，由三级参数和二级参数共同来确定四级参数。当四级参数确定后，就可以由方程（14）来确定最佳出手角了。
3. 模型的检验
为了验证模型的正确性，我们通过一个特例进行检验。
当k=0时，此时有
令 ，则c=B, d=A，同时有，
，，，代人系数An可得
,,,代入式（14）且两边同乘以-1得
(15)
如果认为出售高度与出手角无关，则相当于L=0，h1=h，此时有
，
代入（15）式化简得
，
所以有
（16）
这就是教科书上给出的公式。
4． 模型的分析
上式就是大多数体育类教科书中给出的公式，在此公式中我们可以知道，α的大小与V0和h都有关系。如果对于某一个运动员而言，h是不变的，而影响α大小的因素就只有V0，所以理论上最佳出手角的决定因素为出手速度V0.之所以能得到（16）式的结果，是因为我们在检验模型前假设了K=O，即不考虑空气阻力，这样得到的出手角并非实际中真正的出手角，它将最佳出手角的模型简单化，因此该模型在实际中具有一定的局限性，就不能准确地指导训练，只能作为理论上出手角的计算公式，以供参考。
5． 结论
铅球运动的最大射程与出手角、出手速度、出手高度都有关，要取得有优异的成绩，除了加强训练来取得较大的初速度（出手速度）外，还要适当加大出手角，而最佳出手角的大小与出手速度和出手高度有关，但影响最大的是出手速度。速度越快，出手角也相应的增大。因此，在教学和训练中，应当有意识地增大出手角，从而使运动员取得优异的成绩。
参考文献
[1]《田径》教材小组.田径[M].北京：人民体育出版社，1998,29.
[2]马文蔚，解希顺，周雨青.物理学[M].北京：高等教育出版社，2006,3.
[3]华东师范大学数学系.数学分析第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.