奥数下册讲义.doc

第一讲 速算与巧算（一）
一、凑十法：

　　同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于10：
　　1+9=10
　　2+8=10
　　3+7=10
　　4+6=10
　　5+5=10
　　巧用这些结果，可以使计算又快又准。
例1 计算
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加：
　　1+2=3 3+3=6
　　6+4=10 10+5=15
　　15+6=21 21+7=28
　　28+8=36 36+9=45
　　45+10=55
　　这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。若是利用凑十法，就能克服这种缺点。

二、凑整法

　　同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如：
　　1+19=20 11+9=30
　　2+18=20 12+28=40
　　3+17=20 13+37=50
　　4+16=20 14+46=60
　　5+15=20 15+55=70
　　6+14=20 16+64=80
　　7+13=20 17+73=90
　　8+12=20 18+82=100
　　9+11=20
　　又如：
　　15+85=100 14+86=100
　　25+75=100 24+76=100
　　35+65=100 34+66=100
　　45+55=100 44+56=100等等
　　巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。
例2 计算
　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：

例3 计算
　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做：

例4 计算
　　2+13+25+44+18+37+56+75
解：用凑整法：

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三、用已知求未知
　　利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。下面再举两个例子。
例5 计算
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和以及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
　　=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）
　　=100+110（这步利用了例2和例3的结果）
　　=210
例6 计算 5+6+7+8+9+10
解：可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。
　　5+6+7+8+9+10
　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）
　　（熟练后，此步骤可省略）
　　=55-10=45

四、改变运算顺序

　　在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙！
例7 计算
　　10-9+8-7+6-5+4-3+2-1
解：这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出正确结果的。但因为算式较长，多次加减又繁又慢且容易出错。如果改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。下式括号中的算式表示先算，
　　10-9+8-7+6-5+4-3+2-1
　　=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）
　　=1+1+1+1+1=5

五、带着“+”、“-”号搬家

例8 计算
　　1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11
解：这题只有加减运算，而且1-2不够减。我们可以采用带着加减号搬家的方法解决。要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“+”号或“-”号，搬家时要带着符号一起搬。
　　1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11
　　=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10
　　=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先减后加]
　　=1+1+1+1+1+1
　　=6
在这道题的运算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，……把“+11”搬到了“-10”的前面，这就叫带着符号搬家。巧妙利用这种搬法，可以使计算简便。

第二讲 速算与巧算（二）
例1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1块，妹妹拿2块；哥哥拿3块，妹妹拿4块；接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块，妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。你说谁拿得多，多几块？
解：方法1：先算哥哥共拿了多少块？

　　再算妹妹共拿了多少块？

　　72-64=8（块）
　　方法2：这样想：先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共多拿了多少块。
　　(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)
　　=1+1+1+1+1+1+1+1
　　=8（块）
　　可以看出方法2要比方法1巧妙！
　　平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常有助于速算。比如，请同学记住几个自然数相加之和：
　　1+2=3
　　1+2+3=6
　　1+2+3+4=10
　　1+2+3+4+5=15
　　1+2+3+4+5+6=21
　　1+2+3+4+5+6+7=28
　　1+2+3+4+5+6+7+8=36
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
例2 星期天，小明家来了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54块。小明说：“咱们一共10个人，每人都要分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，谁会分？”结果大家都无法分，你能帮他们分好吗？
解：按小明提的要求确实无法分。
　　因为要使得每个人都得到糖，糖块数人人不等，需要糖块数最少的分法是：第一人分到1块，第二人分到2块，…第十人分到10块。但是，这种分法共需要有
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（块）
　　而小明这包糖一共才54块，所以按这种方法无法分。如果改变一下，有一人少得1块糖，比如说，应该得10块糖的小朋友只分到了9块，但是这样一来，他就和另一个先分得9块糖的那个小朋友一样多了，这又不符合小明提出“每人分到的糖块数不能一样多”的要求。
　　（注意：“按小明提的要求无法分”就是此题的答案。在数学上“无解”也叫问题的答案。）
例3 时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，……照这样敲下去，从1点到12点，这12个小时时钟共敲了几下？
解：这是一道美国小学奥林匹克试题，要求在3分钟内就要得出答案。
　　方法1：凑十法

　　方法2：如果能记住从1到10前十个自然数之和是55，计算会更快。
　　（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12
=55+11+12=78（下）

第三讲 数数与计数（一）
例1 请你数一数，下图中共有多少个“×”?

解：①分层数

　　②先按“实心”三角形计算，再减去“空白”三角形中“×”的个数
　　（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）

例2 下图所示的“塔”由4层没有缝隙的小立方块垒成，求塔中共有多少小立方块？

　　从顶层开始数，各层小立方块数是：

　　第一层：1块；
　　第二层：3块；
　　第三层：6块；
　　第四层：10块；
　　总块数 1+3+6+10=20（块）。
　　从上往下数，第一层：1块；
　　第二层：第一层的1块加第二层“看得见”的2块等于第二层的块数：
　　1+2=3块；
　　第三层：第二层的3块加第三层“看得见”的3块等于第三层的块数：
　　3+3=6块；
　　第四层：第三层的6块加第四层“看得见”的4块等于第四层的块数：
　　6+4=10块。
　　总块数1+3+6+10=20（块）
例3 右图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方体被压住看不见。请你数一数共有多少小立方体？

解：从右往左数，并且编号
　　第一排：1块；
　　第二排：7块；
　　第三排：5块；
　　第四排：9块；
　　第五排：16块；
　　总数：1+7+5+9+16=38（块）。
例4 数一数下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是多少？

　　面数：4
　　棱数：6
　　顶点数：4
　　面数：5
　　棱数：8
　　顶点数：5

第四讲 数数与计数（二）
　　数数与计数时，注意不应漏掉，不应重复。如果漏掉了，要加上；如果重复了，要减掉。
例1 小朋友排队，小红前面4个人，后面3个人，问这队共有几个人？
解：

　　这队的总人数要数上小红，所以是4+3+1=8（人）。
例2 排好队，来报数，
　　正着报数我报七，
　　倒着报数我报九，
　　一共多少小朋友？
解：见下图

　　正着报数“我”报了一次，倒着报数“我”又报了一次，所以把两次报数加起来时，“我”被加了两次。因此算这队的总人数时，应从两次报数之和减1。
　　7+9-1=15（人）。
　　也可以这样想：正着报数报到我为止，倒着报数时，我就不报了，只报到我的后面相邻的那个人他应该报8，所以全队总人数是：
　　7+（9-1）=15（人）。
例3 少先队员排成队去参观科技馆。从排头数起刘平是第20个；从排尾数起，张英是第23个。已知刘平的前一个是张英。问这队少先队员共有多少人？
解：画示意图，用点代表少先队员。

　　由图可见，从排头数起时，把张英和刘平数了一次。由排尾数起时，又把刘平和张英数了一次，可见把他两人多数了一次，所以点总人数时，应减去多数的那一次才对。
　　20+23-2=41（人）。
例4 45个小朋友排成一队去春游。从排头往后数，小刚是第19个；从排尾往前数，小莉是第12个，问小刚和小莉中间有几个人？
解：画示意图。用点“·”代表人

　　由图可见，小刚和小莉中间的人数是：
　　45-（19+12）=14（人）。
例5 一班同学做花，做红花的有38人，做黄花的有39人，没有做花的有3人。如果全班55人，那么既做红花又做黄花的有多少人？
解：画图如下：

　　由图可见，做花的人：55-3=52（人）。
　　图中阴影部分表示两色花都做的人：
38+39-52=25（人）。

第五讲 数数与计数（三）
例1
　　小朋友，张开手，
　　五个手指人人有。
　　手指之间几个“空”，
　　请你仔细瞅一瞅？
　　（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。
解：见右图看一看、数一数可知：5个手指间有4个“空”。“空”又叫“间隔”，也就是，人的一只手有5个手指4个间隔。

例2 小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长？
解：画示意图如下：

　　由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时：

例3 把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。
　　①如果把这根木头锯成10段，需要几分钟？
　　②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟？
解：画出示意图：

　　由图可见，把木头锯成5段，只需锯4次。
　　所以锯一次需1分钟。
　　①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。
　　②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。
例4 鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12下需要几秒钟？
解：画示意图。钟打一下用一个点代表，打5下画5个点。

　　由图可见，钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，每个间隔就是1秒钟。由此推理钟打12下时有12-1=11个时间间隔，故用11秒钟。
第六讲 数数与计数（四）
本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。比如老奶奶数鸡蛋，她小心翼翼地把鸡蛋从蓝子里一个一个地往外拿，边拿边数。篮子里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数出来了。
　　这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。
例1 用分别写有数字1和2的两张纸片，能够排出多少个不同的二位数？
解：用代表这两张纸片。把所有可能的排法枚举出来，可知能排出两个二位数来。它们是：

例2 用分别写有数字0，1，2的三张纸片能排出多少个不同的二位数？
解：因为“0”不能作为首位数字，所以只能排出4个二位数，它们是：
　　1作十位数字，0或2作个位数字：

　　2作十位数字，0或1作个位数字：

例3 用分别写有数字1，2，3的三张纸片能排出多少不同的三位数？
解：用枚举法，即把所有可能排出的每一个三位数都写出来。再数一数共有多少个。

　　共6个不同的三位数。
例4 小明左边抽屉里放有三张数字卡片右边抽屉里也放有三张卡片。如果他每次从左右两边抽屉里任意各拿一张出来，组成一个二位数，在纸上记下来之后，再把卡片放回各自原来的抽屉里。然后再拿、再组数、再记、再放回……这样一直做下去，问他一共可能组成多少个不同的二位数？
解：不妨假设小明先从左边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在十位；再从右边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在个位。下面是记下来的所有不同的二位数：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9个不同的二位数。
例5 有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一次手，求他们共握多少次手？假设这群人是：
　　①两个人，②三个人，③四个人
解：画图。用点“·”代表人。如果两人握一次手就在两个点之间连一条线。那么，点和点之间连线的条数就代表握手的次数。见以下的图。
　　①两个人：

　　两点之间只能连一条线，表示两个人共握1次手。
　　②三个人：

　　三点之间有三条连线，表示三个人共握3次手。
　　③四个人：

　　四点之间有六条连线，表示四个人共握6次手。
例6 铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离愈远，票价愈高。如果一段铁路上共有五个车站，每两站间的距离都不相等，问这段铁路上的火车票价共有多少种？
解：

　　如图所示，用一条线段表示这段铁路，用线段上的五个点代表五个车站，各点间距离不同表示各车站间距离不同，因而票价不同。

　　由图可见，各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。
　　数一数，票价种数是：4+3+2+1=10种。
例7 小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有a，b，c三条路（如下图所示）。小明经过小华家去找小英，他想每次都不走完全重复的路线，问有多少种不同的走法？

　　解：共有6种不同的走法，见下图。

第七讲 填图与拆数（一）
例1 如右图，把3、4、6、7四个数填在四个空格里，使横行、竖行三个数相加都得14。怎样填？

解：先看竖行，最上格中已有个5。要使5+（ ）=14，括号里的数就要填9。把9拆成两个数：9=3+6，（因为3和6是题中给出的数）分别填在竖行的两个空格里。但进一步想，应该把哪一个填在中间空格里呢？这就需要看横行。横行两头的空格应填剩下的两个数4和7，因为4和7相加和为11，而11+3=14，可见中间空格应填3。

例2 如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上三个数相加之和都等于12。
解：见下图（1）、（2）、（3）。把12分拆成三个不同的数相加之和，得七种分拆方式：
　　12=9+2+1 12=8+3+1
　　12=7+4+1 12=7+3+2
　　12=6+5+1 12=6+4+2
　　12=5+4+3

　　从各式中选择有一个相同加数的两个式子。12=1+5+6和12=1+4+7两式，将相同的加数1填在中间圆圈里，不同的加数分别填在横行和竖行的其他圆圈里。答案有很多种不同的填法，这里只填了三种，同学们还可以自己选择另外的填法。
例3 如右图所示。把1、2、3、4、5五个数填入五个圆圈里，要求分别满足以下条件：

　　（1）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于8；
　　（2）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于9；
　　（3）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于10。
解：见下图（1）、（2）、（3）

　　（1）将8分拆成三个数之和（注意，这三个数要从1、2、3、4、5中选取）
　　8=1+2+5 8=1+3+4
　　因为中间圆圈里的数是要公用的，所以应把“1”填在中间圆圈里其他四个数填在边上；
　　（2）解法思路与（1）相同，分拆方式如下：
　　9=1+3+5 9=2+3+4
　　（3）解法思路与（1）相同
10=1+4+5 10=2+3+5。

第八讲 填图与拆数（二）
　本讲主要介绍在填图与拆数中找关键数的思考方法。
例1 如右图所示。把三个1、三个2、三个3分别填在九个格内，使横行、竖行、斜行三个数加起来的和都等于6。

解：找关键数先填。因为中间格的数和横行、竖行、斜行都有关，所以它是关键数，确定了它，其他各格就容易填了。

　　（1）尝试法：若中间填“1”，再填其他格，如右图。结果有一条斜线上的数都是1，其和为3，不合题目要求。
　　若中间格填“3”，再填其他格，如右图结果有一条斜行上的数都是3，其和为9，不合题目要求。

　　若中间格填“2”，再填其他格，经检查，符合题目要求，如图。

　　（2）分析法：显然在每一横行、竖行和斜行只能填一个“1”或一个“3”。因为若填两个1后，即使再填一个最大的3，这一行的这三个数之和才是5，小于6，不符合题目要求；同样，若填两个3后，即使再填一个最小的数1，这一行的三个数之和就是7，大于6，也不符合题目要求。
　　如果在一行里填入两个“2”，即使在此行里再填一个2，这一行的三个数之和也可等于6，符合题要求。
　　由此得出，中间方格必须填“2”。中间方格填好之后其他各格中的数也就容易填出了。
例2 如图。把1、2、3、4、5填入右图的圆圈中，使每条斜线上的三个数相加之和都是8。

解：中间圆圈里的数是个关键数，应该首先确定它。如何确定它呢？这样想：假如我们已经按题目要求把1、2、3、4、5填入了五个圆圈中，这样每条斜线上的三个数相加都得8。那么当我们把两条斜线上的数都加起来，它们的和应为8+8=16，
　　但是五个圆圈中所填数之和应为
　　1+2+3+4+5=15，
　　两个和数之差是1，即：16-15=1。
　　这个差是如何产生的呢？这是因为把两条斜线上的和数相加时，中间圆圈中的数被加了两次，即多加了一次。把一个数多加了一次和就多了1，可见此数是1。
　　然后，再求每条斜线两端的数。可求出两数之和应为8-1=7把7分拆成两个数，有两种分拆方式：

　　把2和5填入一条斜线两端的圆圈中。

　　把3和4填入另一条斜线两端的圆圈中。
例3 如图所示。把1、2、3、4、5、6、7七个数填在右图中的七个圆圈里，每个数只能用一次，使每条线上的三个数相加之和都等于12。

解：见图。中间圆圈里的数是关键数，应该如何确定它呢？

　　与例2的想法类似。假设已经按题目要求把数全部填入了圆圈，那么每条线上的三个圆圈中的数相加应该都得12。我们如果进一步把三条直线上的数都加起来，得数应为：12+12+12=36。
　　不难看出，这样就把中间圆圈里那个数加了三次。因而它比七个圆圈中的数相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28
　　多了 36-28=8
　　也就是8应是中间圆圈里的数的2倍所以中间圆圈里的数应是8的一半，
　　即 8÷2=4
　　下面再确定每条线上另外的两个圆圈里的数，方法如下：12-4=8

例4 如图所示。把1、2、3、4、5、6六个数分别填入右图的圆

　　圈里，使三角形每条边上三个数之和都等于9。

解：见图。

　　三个角上圆圈里的数是关键数，因为它们中的每个都是两条边上共有的数。先确定关键数。这样想：六个数之和是1+2+3+4+5+6=21每条边上三个数之和是9，9+9+9=27这样算每个角上圆圈里的数都被加了两次，因此角上三个圆圈中的数之和是
　　27-21=6
　　把6分拆成三个数之和：6=1+2+3；
把1、2、3分别填入三个角上的圆圈里，其余的圆圈里的数就容易填了。

第九讲 分组与组式
　课本上的算题，多数是已经列好算式要求计算出结果。但在这一讲里，往往是知道结果或要达到的目标，请你回答如何才能得出这种结果或达到目标值。为此就要求同学们在掌握好以前所学数学知识的基础上，还要进一步做到：仔细地观察，发现题中给出的一些数中存在的规律，并且大胆地进行尝试，培养思维的灵活性和敏捷性。
例1 如下图所示把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分成两部分，再组成两个数，填入下面的两个方框里，使两个数的和等于99999

解：把九个数字分成两部分，组成两个数，要求相加之和由五个9组成，可见一个数应是五位数，且9应在最高位，另一个是四位数。把除9之外的其余八个数字分成四对，每对的和是9，它们应是1和8，2和7，3和6，4和5。它们可以组成以下算式，如：

　　可见分组方法是多种多样的。
例2 给你1、2、3、4、16、17、18、19这八个数，要求：
　　①把它们分成四组，使每组的两个数相加之和相等。
　　②再用这八个数组成如下的两个算式。
　　□+□-□=□
　　□+□-□=□
　　①解：仔细观察可发现：在这八个数中，前四个都是一位数，且后一个数比前一个数大1；后四个都是两位数，也是后一个数比前一个数大1。因此把它们互相搭配后，可使每组的两数之和相等。分组如下：
　　（1，19）；（2，18）；（3，17）；（4，16）。
　　可以看出，每组的两数之和都等于20。
　　②解：如下图所示，由于
　　1+19=2+18，3+17=4+16
　　因此可以组成符合题目要求的算式如下：

　　注意：符合题目要求的算式不只这些，同学们自己还可以再写出一些。
例3 在1、2、3、4、5、6、7之间放几个“+”号，使它们的和等于100，试试看。
　　1 2 3 4 5 6 7=100
解：对这类题目一是要大胆尝试，边想边写，千万不要只想不写！二是可以先考虑与目标值（此题是100）较接近的大数，再考虑用较小的数进行调整、修正，使式子的得数逐渐接近目标值，也就是使之转化为较简单的情况。
　　（1）对此题可考虑先在67前面放一个“+”号，这样比100还小33，也就是说，转化成了较简单的情况：
　　1 2 3 4 5=33
　　再考虑在23前放个“+”号，它比33还小10，这样问题又转化为：
　　1 4 5=10
　　这就很容易看出来了：1+4+5=10
　　所以最后可以确定组成的算式是：
　　1+23+4+5+67=100
　　（2）此题还可以有另外的解法，边看边想可得出：34+56=90
　　剩下的三个数：
　　1+2+7=10
　　所以最后可以组成如下的算式：
　　1+2+34+56+7=100。
例4 某公园里有三棵树，它们的树龄分别由1、2、3、4、5、6这六个数字中的不同的两个数字组成，而且其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知道这三棵树各是多少岁吗？
解：这道题的实质就是：把1、2、3、4、5、6六个数分成三组，每组两个数，组成二位数，使其中的两个二位数之和等于第三个二位数的2倍。顺便说一下，把生活中的趣味问题转化成为纯数学型的题目是一种重要的本领，同学们要从小就注意增强这种能力，以便将来能够运用数学知识解决实际工作中遇到的难题。
　　仔细观察、大胆尝试，将这六个数分组、组合，可得出的三个数是：12，34，56，因为
　　12+56=34×2
即这三棵树的树龄是12岁、34岁、56岁。这道题有几种不同的答案，请你动动脑筋找出另外的答案。

第十讲 自然数串趣题
从1开始，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12……连起来成一串，像一串糖葫芦，我们把这样的一串数叫作自然数串（也叫自然数列），其中的每一个数都叫作自然数。自然数串的特点是：
　　①从1开始，1是头；
　　②在相邻的两个数中，后一个数比前一个数大1；
　　③后面的数要多大有多大，也就是说，自然数串是有头无尾的。
　　在自然数串中，如果写到某一个数为止，就叫做有限自然数串，也简称自然数串。
　　这一讲的题目，都是与（有限）自然数串有关的。
例1 如下页图所示。一份学习材料放在桌上，一阵风把材料吹落了一地。小军拣起来一看，糟糕，少了两张。根据下面拣到的材料的页码，你能说出少了哪几页吗？

解：一张材料的正反两面用两个自然数作页码，这两个自然数是相邻的。仔细观察找到的材料的页码，根据自然数串的特点，可知少了的两张纸的页码是（7、8）和（13、14）。
例2 从1连续地写到100，“0”出现了多少次？
解：“0”出现了11次。因为从1到100含有“0”的自然数是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。
　　数一数，这些自然数中共有11个“0”。
例3 把1，2，3，4，5，……28，29，30这三十个数，从左往右依次排列起来，成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？
解：把这个数写出一部分来看看：
　　123456789101112131415……282930
　　下面，分段计算这个数共包含有多少个数字：
　　1至9共有9个数字；
　　10至19共有10个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有2×10=20个数字。20至29这一段也有10个自然数，共有20个数字。30这个数由两个数字组成。所以这个数所包含的数字总数是：
　　9+20+20+2=51（个）。
例4 小青每年都和家长一起参加植树节劳动。七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵。现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树。请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树？
解：先把小青每年种几棵树写出来

　　再把每年种树的棵树加起来
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（棵）。
例5 如下图所示。商店的货架上堆放着一堆火腿肠。你能很快地算出它的总数有多少根吗？

解：从上向下数，每层的火腿肠的根数组成一个自然数串，1，2，3，4，5，6，7，8，9
　　方法1：利用凑十法求和

　　方法2：用两串数“头尾相加”法求和

　　和=90÷2=45
　　这种自然数串的求和方法很巧妙，很重要，希望同学们能学会它。
例6 把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16填入正方形的方格中，使每一横行竖行、斜行的四个数相加得数都是34。

解：（1）把这16个数依次排成如下四行

　　（2）把带箭头的线的两端的数互换

　　（3） 互换后，把16个数填到正方形的空格里你会发现每一横行、竖行、斜行的四个数相加的和都等于34。

　　如果你仔细观察的话，还可以发现这个图中的奇妙的性质：不但每一横行、每一竖行和每一斜行的四个数相加之和都等于34，而且
　　①四个角上的四个小正方形里的四个数之和都是34；
　　②中间的一个小正方形里的四个数之和也是34；
　　③大正方形四个角上的四个数相加之和也是34。真是不可思议！人们给它起了个有趣的名字——幻方。见图。

例7 如果全体自然数如下表排列，请问

　　① 数20在哪个字母下面？
　　② 数27在哪个字母下面？
　　③ 数70在哪个字母下面？
　　④ 数71在哪个字母下面？
解：仔细观察可以发现排列的规律：开头的七个数1，2，3，4，5，6，7分别排在A，B，C，D，E，F，G的下面以后每加七个数就又从头排起，如1+7=8，1+7+7=15，则8和15都和1那样，排在字母A的下面利用这个规律，就能求出哪个数在哪个字母下面。
　　①20=6+7+7，
　　可见20和6排在同一个字母下，即在字母F下面；
　　②27=20+7=6+7+7+7，
　　可见27也是排在字母F的下面；

　　可见70排在字母G下面；
　　④71=1+70，
可见71和1都排在字母A的下面。

第十一讲 不等与排序
　两个数或者相等或者不等，不等关系又分为大于和小于。排序就是把互相不等的一些数通过比较按大小顺序排列起来，或是按照一定的要求把一些东西排列起来。
例1 把下面圈里的数从大到小排起队来。

解：容易看出，圈里的数都是两位数，比较两个两位数的大小时，首先看十位数字，十位数字大的数比十位数字小的数大，因此这些数从大到小排队如下：

例2 把下面圈里的数从小到大排排队，并用“＜”连接起来。

解：这些数是一位数和两位数。根据下面的原则对这些数进行比较、排队：
　　（1）一位数比两位数小，
　　（2）比较十位数字相同的两个两位数时，要看它们的个位数字，个位数字小的那个两位数小。排队结果如下：

例3 见下图，把右边大圆圈里的数分别填入左边的小圆圈里，使图中所示的不等关系成立。

解：仔细观察不等关系图可以发现：
　　①最左端的小圆圈中应填的数都大于其他三个小圆圈中应填的数，所以应填最大的数4；
　　②最上面的小圆圈应填的数最小，所以应填1，这样其他两个小圆圈中的数就容易填了。见图。

例4 请把1、2、3、4、5、6、7填入右图中的小圆圈里，使图中的“大于”、“小于”关系成立。

解：仔细观察图中不等关系符号的方向可知，在由小圆圈组成的三角形中：
　　①最上面的小圆圈中的数最小，应填1，左下角的小圆圈中的数最大，应填7；
　　②从上往下数，第二层的小圆圈中的数都大于最上面的小圆圈中的数1，而小于第三层圆圈中的三个数，所以第二层应填2、3、4，而第三层应填7、6、5；
　　③再考虑到第二层和第三层各层的不等号方向，填图就可以最后完成了。见图。

例5 老师发了数学考卷，一班（1）组的六个同学的分数是这样的：
　　①小王和小钱的分数一样多；
　　②小赵比小李的分数多，可比小王的分数少；
　　③小乐没有小王、小赵的分数多，但比小李的多；
　　④小钱的分数比小顾的又要少一些。请给他们排排队，并回答谁分数最多？谁分数最少？
解：由①：小王=小钱
　　由②：小王＞小赵＞小李
　　由③：小王＞小赵＞小乐＞小李
　　由④：小顾＞小钱=小王＞小赵＞小乐＞小李
　　可见小顾的分数最多，小李的分数最少。
例6 如图。

　　有六间家畜栏圈，首尾接成一圆形，每个栏圈只关着一头家畜。已知驴与骡相隔两个栏圈；羊的栏圈号码比骡的栏圈号码多；猪与驴、马相邻；牛在5号栏圈。请说明驴、骡、马、羊、猪、牛各关在几号栏圈里。
解：见图。

　　①先把牛填在5号栏圈；
　　②因为猪与驴、马相邻，所以试着把猪填在1号，而驴填在6号，马填在2号；
　　③因为羊的栏圈号比骡的栏圈号多，所以试着把骡填在3号，把羊填在4号。
　　④检查，题中要求驴和骡相隔两个栏圈，上面填的满足这一条件。这样全部已知的要求条件就都满足了，所填无误。
　　注意：此题答案不惟一，还有其他种填法也能满足题中所要求的条件，如图所示。

第十二讲 奇与偶
　整数0，1，2，3，4，5，6，7，……可以被分为两类，一类是1，3，5，7，9，…叫奇数；另一类是0，2，4，6，8，10…叫偶数。
　　一般习惯上，人们也把1，3，5，7，9…叫单数；把2，4，6，8，10…叫双数。
　　下面是有关奇数与偶数方面的趣题。
例1 傍晚开电灯，小虎淘气，一连拉了7下开关。请你说说这时灯是亮了还是没亮？我们还不妨接着问，拉8下呢？拉9下呢？拉10下呢？甚至拉100下呢？你都能知道灯是亮还是不亮吗？
解：见下表。为了回答上面这些问题，我们从简单情况考虑起，并作出下表，便可一目了然。

　　仔细观察，就可以找出规律：
　　拉奇数次，灯亮；拉偶数次，灯不亮。
　　对于大的数，比如说拉100下，可知灯不亮。因为100是个偶数。
例2 前十个自然数即1，2，3，……10的和是奇数还是偶数？
解：方法1：先把十个数加起来，再看和数的奇偶性。
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
　　55是奇数，即前十个自然数之和是奇数。
　　方法2：不用把和求出来也可以进行判断：
　　先把前十个自然数的奇偶性写出来

　　通过考察这些数相加相减的结果，不难理解：
　　两个偶数的和与差，都是偶数；
　　两个奇数的和与差也都是偶数；
　　一个奇数与一个偶数的和与差，都是奇数；进一步还可以得出：
　　只有奇数个奇数的和或差，才是奇数。
　　现在再来数一数，前十个自然数中，一共有五个奇数，所以可以肯定它们的和必是奇数。
例3 ①把10个球分成三组，要求每组球的个数都是奇数，怎样分？
　　②把11个苹果分给三个小朋友，要求每个小朋友分得偶数个苹果，怎样分？
解：①不能分。因为如果三组球，每组都是奇数个球的话，总数必是奇数，而不可能是偶数，而10个球却是个偶数。
　　②不能分。因为如果每个小朋友都得到偶数个苹果，那么三个小朋友得到的苹果总数也必定是个偶数。而11个苹果是个奇数，所以无法分。
例4 小华买了一支铅笔、2块橡皮、2个练习本，付了1元钱，售货员找给他5分钱。小华看了看1支铅笔的价钱是8分，就说：“叔叔，您把账算错啦。”想一想，小华为什么这么快就知道账算错了？
解：利用数的奇偶性判断，不用计算就可知道这笔账算错了。因为1支铅笔的价钱8分是个偶数，另外，不论橡皮和练习本的价钱是多少，2块橡皮，以及2个练习本的钱也都是偶数，所以小华应付的总钱数应当是个偶数，他付了1元即100分，售货员找回的钱数也应是个偶数。但售货员叔叔实际找给