高三数学复习文科学案(二).doc

第7课时 合情推理与演绎推理
一、复习要求
1.了解合情推理的含义，利用归纳与类比等进行简单的推理。
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能进行简单的推理。
二、知识回顾
1、我们学过的合情推理包括 和 。
2、从 出发，推出某个 ，这种推理成为演绎推理。是由 到 的推理。
3、三段论推理的一般模式(用符号表示)：
（1）大前提： .
（2）小前提： .
（3）结论： .
4、尽可能少地选取 和不加证明的 （公理、公设），以此为出发点，应用 ，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法。
三、典型例题
例1 从平面外一点向这个平面引两条斜线，它们的夹角为，这两条斜线在平面内的射影夹角为，如果、(0，π)，判断、的大小（ ）。
A. = B. ＜ C. ＞ D. 、大小不定
设AB⊥平面BCD，BC、BD是AC、AD在平面BCD 内的射影，∠CBD=，∠CAD=。(见图1)

观察图1，凭直觉似应选B：＜；再观察图2，我们视△ABD和△ABE是两个叠合在一起的直角三角形，可立得=∠EAD＞∠EBD==0；如果我们把问题特殊化，设AB=BE=1，AD=2，BD= ，点C是点E以AB为轴旋转所至，那么，当点C刚刚离开点E一丁点时，凭直觉仍有＞；但把点C旋转至与点B、E共线位置时，则有Ф=π/3+π/4＜π=；再考虑到、从＞到＜的大小变化是连续的，则直觉告诉我们应该在某一时刻恰好=。现证明如下：
设CD=x，在△CAD和△CBD中，依余弦定理得，COSФ== ，
COS== ，
如果 = ，化简得x=＞0，故方程在〔，〕上有解，所以，点C离开点E旋转到某一位置，可使COS= COS，根据0＜，θ＜π得，=；
综上所述，本题中、大小不定，应选D。
点评：本题的解决虽然没有离开逻辑思维，但对逻辑思维模式有所突破，充分体现了合情推理、直觉判断、大胆猜想、小心求证的数学方法，这其中推理者的思维过程，是内在的、有序的、深刻的，且具有鲜明的个性化特征，绝非套用来自“题型教学”的所谓固定程式所至。经常进行此类问题的解题训练，强化合情推理的教育功能，对学生摆脱“题型教学”的羁绊是大有裨益的。

例2 观察以下各等式：

，
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
猜想：。
证明：

例3 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
解：（1）.
（2），
，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的
等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是：
试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得

当时，的取值范围为等.
四、基础测试

课后评测7
一、 选择题
1、 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.
2、下面使用类比推理正确的是 （ ）.
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若” 类推出“ （c≠0）”
D.“” 类推出“”

3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
4、当1，2，3，4，5，6时，比较和的大小并猜想 （ ）.
A.时， B. 时，
C. 时， D. 时，
二、 填空题
5、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
6、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为: .
7、从，,，，…,推广到第个等式为_________________________.
8、已知a1=3，an+1=，试通过计算a2,a3,a4,a5的值，推测出an＝___________.

9、对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “ ”,这个类比命题的真假性是 。

10、平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不共点的直线把平面分成7部分， n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成 部分。

11、若数列{an}，(n∈N)是等差数列,则有数列bn=(n∈N)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列,且cn＞0(n∈N),则有dn=____________ (n∈N)也是等比数列。

参考答案
课后评测7
1、D 2、C 3、A 4、D 5、14
6、
7、…
8、 9、如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补。（答案不唯一）假命题。 10、 11、

第8课时 直接证明与间接证明

一、复习要求
1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法，了解两种方法的思考过程与特点。
2.了解间接证明的一种基本方法：反证法，了解他的思考过程与特点。
二、知识回顾
1.证明分为 与 ，直接证明包括 、 等；间接证明主要是 .
2.综合法：（1）一般的，利用 等，经过一系列 ，最后 ，这种证明方法叫做综合法。
（2）.综合法的模式;若用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

3.分析法：一般的，从 出发，逐步寻找使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为 （已知条件、定义、定理、公理等）。这种证明方法叫做分析法。
4.反证法：一般的，假设 （即在原命题的条件下，结论不成立），经过 ，最后得出 ，因此说明 ，从而 ，这样的证明方法叫做反证法。
5、数学归纳法证明的步骤：
（1）归纳奠基： ；
（2）归纳递推： .
三、典型例题
例1、设a，b，x，y∈R，且，，试证。
分析：可以用综合法与分析法---略

例2、若a,b,c均为实数，且，，,求证：a，b，c中至少有一个大于0。
分析：可以用反证法---略

例3、求证：对任意自然数n都成立。
分析：从问题的反面促进学生对归纳原理的理解，
学生验证了n=1时成立后，假设n=k时，等式成立；而令n=k+1得到

当学生大惑不解时，老师提出，若n=k+1时等式成立，就应该有，解出k=1或2，这说明根据k=1时等式成立能推出k=2时等式成立；根据k=2时等式成立能推出k=3时等式成立；而k=3时虽等式成立，但推不出k=4时等式成立，所以，原命题不正确，这例子是何等深刻。

四、基础测试
课后评测8
一、选择题
1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度；
(D) 假设三内角至多有两个大于60度。
2、对“a,b,c是不全相等的正数”，给出两个判断：
①；②不能同时成立，下列说法正确的是（ ）
A．①对②错 B．①错②对
C．①对②对 D．①错②错
3、某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立
C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立
4、则下列等式不能成立的是（ ）
A． B．
C． D． （其中）
二、填空题
5、数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn= .
6、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1= (a≠1，n∈N)”，在验证n=1成立时，左边应该是 .
7、由图（1）有面积关系。则由图（2）有体积关系：= .

8、已知,…，则
三、解答题
9、求证：(1) (2)

10、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。

11、已知函数，证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴。（2）这个函数的图像关于直线成轴对称图形。

参考答案
课后评测8
1、B 2、A 3、A 4、C 5、 6、1＋a＋a2
7、 8、
9、证明：（1） ∵,则, ;
将此三式相加得
，
∴.
（2）要证原不等式成立
只需证（+）>（2+），
即证。
∵上式显然成立,
∴原不等式成立.
10、解：
(1) a1＝, a2＝, a3＝,
猜测 an＝2－
(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；
②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－,
当n＝k＋1时, a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,
且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－, ak＋1＝2－,
即当n＝k＋1时,命题成立.
根据①②得n∈N*, an＝2－都成立.
11、解：（1）设时函数图像上任意两个不同的点，则，且，
即，故直线AB不平行于x轴。
（2）设A是函数图像上的任意一个点，则且，
否则有，得2=1，这是不可能的。因此
由式得：
此式表示：点A关于直线y=x的对称点在函数图像上，由于A的任意性，知函数的图像关于直线y=x成轴对称图形。

练习（三）
一、选择题
1．数列…中的等于（ ）
A． B． C． D．
2．设则（ ）
A．都不大于 B．都不小于
C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于
3．已知正六边形，在下列表达式①；②；
③；④中，与等价的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）
A． B．
C． D．
5．函数在点处的导数是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
1．从中得出的一般性结论是_____________。
2．已知实数，且函数有最小值，则=__________。
3．已知是不相等的正数，，则的大小关系是_________。
4．若正整数满足，则
5．若数列中，则。
三、解答题
1．观察（1）
（2）
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

2．设函数中，均为整数，且均为奇数。
求证：无整数根。

3．的三个内角成等差数列，求证：

4．设图像的一条对称轴是.
（1）求的值；
（2）求的增区间；
（3）证明直线与函数的图象不相切。

参考答案
一、选择题
1．B 推出
2．D ，三者不能都小于
3．D ①；②
③；④，都是对的
4． B 由知道C不对，举例
5． D
二、填空题
1． 注意左边共有项
2． 有最小值，则，对称轴，
即
3．
4．
5． 前项共使用了个奇数，由第个到第个奇数的和组成，即
三、解答题
1. 若都不是，且，则
2．证明：假设有整数根，则
而均为奇数，即为奇数，为偶数，则同时为奇数‘
或同时为偶数，为奇数，当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数，即为奇数，与矛盾。
无整数根。
3．证明：要证原式，只要证
即只要证而

4．解：（1）由对称轴是，得，
而，所以
（2）
，增区间为
（3），即曲线的切线的斜率不大于，
而直线的斜率，即直线不是函数的切线。