直线与圆.doc

　直线与圆
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切　　　　　　　　 B．相交
C．外切 D．相离
【解析】　两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r<<R＋r，所以两圆相交．
【答案】　B
2．(2013·广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(　　)
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
【解析】　与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2＝1相切，可得＝1，故b＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b＝－，故直线方程为x＋y－＝0，故选A.
【答案】　A
3．(2013·济南调研)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝ B．x2＋(y－1)2＝
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
【解析】　因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
∴a＝1，b＝0.
又根据r＝＝1，
∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
【答案】　C
4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
【解析】　配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦|AC|＝2r＝10，最短弦|BD|＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝|AC|×|BD|＝20.
【答案】　B
5．(2013·江西高考)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)
A. B．－
C．± D．－
【解析】　由于y＝，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝·sin ∠AOB≤，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝，点O到直线l的距离为，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－.

【答案】　B
二、填空题
6．(2013·浙江高考)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于__________．
【解析】　圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2 ＝2×＝2＝4 .
【答案】　4
7．(2013·湖北高考)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.
【解析】　∵圆心(0,0)到直线的距离为1，又∵圆O的半径为，故圆上有4个点符合条件．
【答案】　4
8．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为________．
【解析】　设切线l方程为＋＝1，因为l与圆相切，则圆心(0,0)到l的距离d＝＝，
即＋＝，|AB|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)·＝2≥8.
当且仅当a＝b时等号成立，解得a＝b＝2，所以x＋y＝2.
【答案】　x＋y＝2
三、解答题
9．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
【解】　(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|.
则＝2.
化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．

由直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，此时|QM|的最小值为＝4.
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
【解】　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.
因此x1,2＝，
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
11. (2012·福州模拟)已知过点A(－1，0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.

图5－1－1
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2)当|PQ|＝2时，求直线l的方程；
(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
【解】　(1)证明　∵l与m垂直，且km＝－，∴kl＝3，
故直线l的方程为y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.
∵圆心坐标为(0,3)满足直线l方程，
∴当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
∵PQ＝2，∴CM＝＝1，
则由CM＝＝1，得k＝，
∴直线l：4x－3y＋4＝0.
故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3)∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.
当l与x轴垂直时，易得N(－1，－)，则＝(0，－)，又＝(1,3)，
∴·＝·＝－5.
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
则由得N(，)，则＝(，)，
∴·＝·＝＋＝－5，
综上所述，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.