2015届]广东省湛江市高中毕业班上学期调研测试文科数学试题及答案.doc

湛江市2015届高中毕业班调研测试题
数学(文科)
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一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则
A. B. C. D.
【答案解析】A 由则故选A.
2.已知复数满足，则复数
A. B. C. D.
【答案解析】C 由得z==故选C。
3.某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取取名同学，其中高一的同学有30名，则
A.65 B.75 C.50 D.150
【答案解析】B 由题意得：，解得n=75．故选：B．
4.函数的定义域是
A. B. C. D.
【答案解析】D 要使函数有意义则故选D。
【思路点拨】先表示有意义的式子，再解出结果。
【题文】5.下列函数是增函数的是
A. B.
C. D.
【知识点】函数的单调性B3
【答案解析】B y=tanx在给定的两个区间上式增函数，但在整个上不是增函数。为减函数，为减函数，故选B
【思路点拨】分别确定各个区间上的单调性，找出答案。
【题文】6.“”是“是第一象限角”的
A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
【知识点】充分条件、必要条件A2
【答案解析】C 由sinθ•cosθ＞0⇒θ在第一象限或第三象限，
θ在第一象限⇒sinθ•cosθ＞0，
∴“sinθ•cosθ＞0”是“θ在第一象限”的必要不充分条件，故选：C．
【思路点拨】由sinθ•cosθ＞0推不出θ在第一象限，由θ在第一象限能推出sinθ•cosθ＞0，从而得出结论．
【题文】7.在，边所对的角分别为，若，，b=1，则a=
A. B. C. D.
【知识点】解三角形C8
【答案解析】A 由题意得，0＜A＜π，sinA＞0．故sinA==，
由正弦定理知，⇒a=sinA×=×=．
故答案为：A．
【思路点拨】角A为三角形内角，故0＜A＜π，sinA＞0，从而可求sinA=，所以由正弦定理可求a= ．
【题文】8.若一个几何体的主视图和左视图是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是
A. B. C. D.不能确定
【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案解析】B 由三视图知，几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，
圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高是=
∴圆锥的体积是×π×12×=故选B．
【思路点拨】几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高，利用圆锥的体积公式做出结果．
【题文】9.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为
A.2 B.4 C. D.
【知识点】抛物线及其几何性质H7
【答案解析】D
抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线=1的一条渐近线方程为x-y=0，
∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的一条渐近线的距离为=2 ，故选：D．
【思路点拨】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．
【题文】10.在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量a,b,其中a=（3,1），b=（1,3），若，且，则点C所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2
【答案解析】D 当λ=μ=1时，=λ+μ= + =（4，4），故可以排除C答案
当λ=μ=0时，=λ+μ= + =（0，0），故可以排除B答案
当μ=，λ=时，=λ+μ==（），故可以排除答案A
故选D
【思路点拨】在解答动点表示的平面区域时，我们可以使用特殊点代入排除法，即取值，然后计算满足条件点的位置，然后排除到一定错误的答案．
【题文】二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11~13题）
【题文】11.为了解一片防风林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）、根据所得数据画出样品的频率分布直方图（如图），那么在这100株树木中，底部周长大于100cm的株数是__________.

【知识点】用样本估计总体I2
【答案解析】7000 由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3，
则底部周长大于100cm的段的频率为1-0.3=0.7
那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人．
故答案为7000．
【思路点拨】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．
【题文】12.等差数列中，则该数列的通项公式_________.（）
【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案解析】3n-5 ∵等差数列{an}中，a5=10，a12=31，∴，
解得a1=-2，d=3，∴an=-2+3（n-1）=3n-5．故答案为：3n-5．
【思路点拨】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出该数列的通项公式．
【题文】13.设函数，，若这两个函数的图象有3个交点，则_________.
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】a=1 作出的图像，根据图像找出只有在a=1处有三个交点，故答案为a=1.
【思路点拨】作出图像观察交点个数确定a 的值。
【题文】（二）选做题（14-15题，考生只能从中选择一题）
【题文】14.（坐标系与参数方程选做题）直线（）被圆截得的弦长为_________.
【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】 ∵直线 （t为参数）
∴直线的普通方程为x+y-1=0圆心到直线的距离为d==，
l=2 ，故答案为：．
【思路点拨】先将直线的参数方程化成普通方程，再根据弦心距与半径构成的直角三角形求解即可．
【题文】15.（几何证明选讲选做题）如图，

的直径，P是延长线上的一点，过点P作的切线，切点为，连接，若，则_______.
【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1
【答案解析】3 ∵PC是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥PC，得∠OCP=90°
∵△AOC中，AO=CO=3cm，∠A=30°
∴∠ACO=30°，∠AOC=120°
得∠ACP=120°，∠P=180°-（∠ACP+∠A）=30°
由此可得∠A=∠P=30°，得AC=CP
△AOC中，，即，得AC=3
∴CP=AC=3，即PC=3故答案为：3
【思路点拨】根据圆的切线的性质得到∠OCP=90°，由AO=CO且∠A=30°，算出∠ACO=30°，从而得出∠ACP=120°．利用△ACP的内角和算出∠P=30°，得到AC=CP．最后在△AOC中，利用正弦定理解出AC=3，即可得到PC之长．
【题文】三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题文】16.（本小题满分12分）
已知函数，且.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5
【答案解析】（1）（2）
（1）∵，∴ m=4.
（2）由，得，即，
∵，∴ .
∴
【思路点拨】由代入确定m的值，根据同角三角函数间的关系求出的值。
【题文】17.（本小题满分12分）
某兴趣小组由4男2女共6名同学.
（1）从6人中任意选取3人参加比赛，求所选3人中至少有1名女同学的概率；
（2）将6人平均分成两组进行比赛，列出所有的分组方法.
【知识点】随事件的概率K1
【答案解析】（1）（2）10种
记4名男同学为：A，B，C，D，2名女同学为1,2
（1）从6人中任意选取3人，共有ABC，ABD，AB1，AB2，ACD，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，BCD，BC1，BC2，BD1，BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12共20种…4分
至少有1名女同学的是AB1，AB2，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，BC1，BC2，BD1，BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12共16种，所求概率为
（2）共有ABC，D12；ABD，C12；AB1，CD2；AB2，CD1；ACD，B12；AC1，BD2；AC2，BD1；AD1，BC2；AD2，BC1；A12，BCD共10种.
【思路点拨】先找出所选3人中至少有1名女同学的情况种数，在求出概率。
【题文】18.（本小题满分14分）
如图，已知棱柱的底面是正方形，且平面，为棱的中点，为线段的中点.

（1）证明：//平面；
（2）证明：平面.
【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5
【答案解析】（1）略（2）略
（1）证明：连接AC交BD与O，连接OF，

∵ ABCD是 正方形∴ O是BD的中点，BD⊥OA，
又∵ 为线段的中点∴ OF∥DD1且OF=
∵为棱的中点，∴ 且
∴ ，∵ 平面ABCD，且平面ABCD
∴平面ABCD
（2）证明：∵平面且，∴ 平面∴
∵ 且，，
∴ ∵ ∴
【思路点拨】利用线线平行证明线面平行，用线线垂直证明线面垂直。
【题文】19.（本小题满分14分）
已知数列的前项和满足，.
（1）证明：数列为等比数列；并求出数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求.
【知识点】等比数列数列求和D3 D4
【答案解析】（1）证明：当n=1时，
当n>1时，
∴ ∴ 是以6为首项，2为公比的等比数列
∴ ∴
（2）解：
∴
令 （1）
∴ （2）
（1）-（2）得：

∴∴
【思路点拨】先构造新数列求出通项公式，利用错位相减求出和。
【题文】20.（本小题满分14分）
如图，点F是椭圆的左焦点，定点P的坐标为（-8,0）.线段为椭圆的长轴，已知，且该椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B.证明：直线FA与FB的斜率之和为0；
（3）记的面积为，求的最大值.

【知识点】椭圆及其几何性质H5
【答案解析】（1）（2）略（3）
解法一：
（1） 又离心率，
所求椭圆的标准方程为：
（2）设直线FA、FB、斜率分别为、、
当AB的斜率为0时，显然有命题成立，
当AB的斜率不为0时，可设AB的方程为
代入椭圆方程整理得：
判别式

而
（3）

当且仅当，即（此时判别式）时取等号，
的面积的最大值为.
解法二：
（1） 又离心率，
所求椭圆的标准方程为：
（2）设直线FA、FB、AB的斜率分别为、、
当时，显然有命题成立，
当时，可设AB的方程为
代入椭圆方程整理得：
判别式
，
而

（3）

当且仅当，即（此时判别式）时取等号，
的面积的最大值为.
【思路点拨】利用椭圆中a b c 的关系求出方程，直线和椭圆方程联立求出最大值。
【题文】21.（本小题满分14分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点（1，）处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性.
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】（1）（2）当时，函数在单调递减，在上单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增；在上单调递减.
（1）当时，

即曲线在点处的切线斜率为0，
又曲线在点处的切线方程为
（2）∴
令①当时，
当时此时函数单调递减，
当时此时函数单调递增，
②当时，由即解得
此时
当时，此时函数单调递减，
当时，此时函数单调递增，
当时，此时函数单调递减.
综上所述：当时，函数在单调递减，在上单调递增；
当时，函数在单调递减，在上单调递增；在上单调递减.
【思路点拨】根据导数的意义求出切线方程，讨论参数的范围确定增减性。