勾股定理的测试.doc

第14章 勾股定理测试题
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
2．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
3．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2-1、2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A．2n B．n+1 C．n2-1 D．n2+1
4．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（ ）
（1）3，4，5；（2），，；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
6．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
7．如图1所示，要在离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.2米，L3=7.8米，L4=10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）．
A．L1 B．L2 C．L3 D．L4

（1） （2） （3）
8．在△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（ ）
A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，10
9．如图2所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（ ）
A．1 B． C． D．2
10．如图3所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．a、b、c是直角三角形的三边，且c边最大，则c2=______．
12．△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．
13．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为_____，面积为____．
14．如果直角三角形的斜边与一直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是__________cm2．
15．在△ABC中，若三边长分别为9、12、15，则以这样的三角形拼成的矩形面积为_________．
16．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两种勾股数_______．
17．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是_________cm．
18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．
三、解答题（共66分）
19．（8分）已知一个矩形的两邻边之比为3：4，且周长为42cm，求矩形的对角线长．20．（8分）求图中字母所代表的正方形面积．

21．（8分）如图所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．

22．（10分）如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？

23．（8分）古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．

24．（12分）清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：＝m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．

25．（12分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心．其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，如图14-10，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；
（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？该城市受到台风影响的最大风力为几级？

答案：
1．B 点拨：12可能是斜边长，也可能是直角边的长．
2．C
3．D
点拨：c===n2+1．
4．B 点拨：（1）、（4）构成直角三角形．
5．A
6．C 点拨：画出图形，东南方向与西南方向成直角．
7．B 点拨：在Rt△ACD中，AC=2AD，设AD=x，
由AD2+CD2=AC2，即x2+52=（2x）2，x=≈2.8868，
∴2x=5.7736．
8．D 点拨：设斜边为13x，则一直角边长为5x，另一直角边为=12x，∴13x+5x+12x=60，x=2，∴三角形分别为10、24、26．
9．D 点拨：AE=
==2
10．B 点拨：AB=10，∠AED=90°，CD=DE，AE=AC=6，
∴BE=4，设CD=x，则BD=8-x．
在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，即42+x2=（8-x）2，x=3．
11．a2+b2
12．6 8 点拨：设a=3x，b=4x，则c=5x，有5x=10，x=2．
∴a=6，b=8．
13．3 12 点拨：作底边上高．
14．30 点拨：另一直角边为12cm．
15．108 点拨：因为92+122=152，
所以此三角形是直角三角形，拼成的矩形的两条边是直角三角形的两直角边．
16．如3，4，5；6，8，10；12，5，13等．
17．5 点拨：最大长度是=5．
18．24 点拨：由a+b=14，得a2+2ab+b2=196，
而a2+b2=c2=100，有ab=48，∴S=ab=24．
19．15cm
20．A=81；B=64；C=100．
21．解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC==5，
∴S△ABC=AB·BC=×4×3=6．
在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12．
∵AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169，
∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，
∴S△ACD=AC·CD=×5×12=30，
∴S四边形ABCD= S△ABC + S△ACD =6+30=36．
22．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察答图可知AC=8-3+1=6，BC=2+5=7，

在Rt△ACB中，AB=km．
答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是km．
点拨：所求距离实际上就是AB的长．解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．
23．解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
有（3m）2+（4m）2=（5m）2，
所以以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．
24．（1）解：当S=150时，k===5，
所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；
（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，
设为k倍，则三边为3k，4k，5k，
而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．
其面积S=（3k）·（4k）=6k2，
所以k2=，k=（取正值），
即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．
25．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D，
则AD是该城市离台风中心最短的距离，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=220千米，
∴AD=110千米，故城市A受到此次台风影响．
（2）在BC上取E、F两点，使AE=AF=160，
当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到台风的影响．
在Rt△ADE中，DE=≈116.19千米，
∴EF≈232.38（千米），
故这次台风影响该城市的连续时间约为≈15.49（小时）．
当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，
其最大风力为12-=6.5级．
点拨：该城市是否会受到此次台风的影响，取决于该城市距台风中心的最近距离，若大于160km，则不受台风影响．风力达到或超过4级称受台风影响，故该城市从开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度即为影响的时间，在离台风中心最近处风力最大．
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