数学知识观视角下学习进阶的再审视.pdf

数学学习进阶主要描述学生对数学知识或技能在一段时间内的发展历程，学习进阶的明确可以推动形成性评价、教学、学习的一致性，可以帮助教师承前启后地对照学习目标设计评价任务、分析评价结果、确定学习差距。对数学知识观的学科审视发现，数学知识兼备科学和人文的特点，数学知识具有发现性和发明性。建构数学学习进阶包括个体经验、朴素尝试，逐步内化、产生冲突，形成概念、内化运用，知识整合、拓展延伸。当然，数学学习进阶的建构过程，不是简单的从无到有的过程，也不是将现存的要素进行简单机械组合而必定实现的过程，其过程具有主体作用性、整合生成性、渐进性和未竟性、深度性和开放性等特点。关键词：数学知识观；学习进阶；知识结构中图分类号：文献标志码：文章编号：（）基金项目：江苏省研究生科研与实践创新计划项目“高中数学整体教学设计的模式建构与实践应用”（）；江苏省中小学教学研究课题“教师研究的理论思考与模式建构”（）；安徽省 年高校协同创新项目“双减”背景下教学和谐的理论证成、实践省察与行动建构（）。作者简介：李亚琼，江苏第二师范学院数学科学学院高级讲师，南京师范大学博士研究生（南京 ）；宁连华，南京师范大学数学科学学院教授、博士生导师（南京 ）。随着认知心理学、学习科学、心理测量等交叉学科的快速发展，对学习过程和结果的重新审视与建构更具有时代和学科意义。数学教学设计研究涉及学科内容、学生学习心理、教学技术支撑等主题，此时需要思考学生学习进阶的建构。已有教学设计中，对为什么学缺少细致地探讨，而这一环节的缺失会影响“学到什么程度”的达成。深度学习背景下，教师需要考虑学习主体数学学习进阶的建构。基于学生已有的认知水平和思维发展水平，把握数学学习的主要内容，思考新知与旧知的冲突与再生，这也是设置教学目标、设计评价任务和组织学习活动的重要依据。普通高中数学课程标准（年版 年修订）强调，教师要以数学素养为导向，明了学科素养在内容体系形成中表现出的连续性和阶段性，引导学生整体上把握数学知识，促进学科素养的连续性和阶段性发展。数学内在知识结构具有统一性，而课时的限制又带来教学过程的间断性，教材编写的限制带来教学内容的分散性，导致教学时容易人为切断彼此的内在联系，造成前后知识的孤立现象。这就对教师的数学知识观提出了较高的要求。因为数学知识观决定数学教学观和数学学习观，所以，需基于数学知识观的理解重新审思数学学习进阶的内涵及特点，了解学生学习轨迹，以期对数学教育教学提供有益补充和参考。一、数学知识观的学科审视数学观由数学知识观、数学本质观和数学价值观构成，数学教师的数学观决定其教学观。数学知识观是对数学知识内在逻辑的整体看法，对知识观的再思考有利于数学教学的深入开展。教师具有的数学知识观，会影响其数学教学观和学习观。（一）数学知识兼备科学和人文特性数学实在论者把数学知识归结为理念范畴，认为人所能做的只是发现那些早就存在的数学冰山的一角。而直觉主义者把“原始数学直觉”当作数学知识来源的可靠依据，并把构造性当成数学知识可接受的标准。科学研究的成果必定符合某种自然律，但其实质也是一种社会建构，依赖于专家间的默契。就数学知识而言，其重要性在于它能使人们通过数学来了解和把握自然、社会和完善“自我”。完善“自我”的文化即为人文（学科），把握自然和社会的文化意指科学（自然科学和社会科学）。从认识论的角度来看，学习主体需要理解数学知识在客观上的相似性，抓住数学知识间的共同因素促进知识建构，增强学习效果。这里强调理解抽象的、概括水平高的数学基本概念、原理、公式、法则等，基于此形成对数学相关知识的整体认识。这属于数学的科学性特点。数学的人文本质体现在，学生理解数学知识是建立在个人的经验基础上的，需要其他经验的整体参与，其获得的数学知识经历各种经验的整合，然后形成具有个性化的个人知识。学习主体通过数学学习，不仅获得显性的数学符号、法则，也获得数学思想方法、数学素养、学科精神，超越了数学知识的界限。（二）数学知识的发现性与发明性的考辩“数学知识的内涵是客观的和发现的”是相对的，它受制于人的思维方式和思维水平；“数学知识的表达方式是主观的和发明的”也是相对的，它最终是为认识自然刻画自然而服务；数学知识的发明性与发现性仍是相对的，比如从数学表达范畴看，数学语言具有较强的主观性，但也具有一定的客观性和发现性成分。同样，数学思维方法是为解决问题的需要而产生的，受人的需求、知识、能力等影响，具有主观性。另外，数学思想方法之所以有效，是因为它与客观实际相符合，是符合关系和规律基础上的选择和创造。数学定理是揭示客观世界深层次的关系和规律，似乎是客观的，但其内容源于人的直觉和经验，即数学定理其实是人对客观世界的认识，也具有一定的局限性和主观性。数学定理的内容具有发现性，其证明过程具有发明性。当然，数学知识正是思维对于客观世界量性规律的反映，这种反映并非直接的、简单的反映，而是一种间接的、能动的反映。数学发现和创造的过程、方法是受人的习惯、能力、态度等影响的，也具有一定的主观性。所以，客观性和发现性是数学知识的性质，而主观性和发明性是数学知识的另一性质。基于数学知识的发现性与发明性特点，数学教学应加强对客观现象的归纳与抽象，提升学生将现实问题转化为数学问题的能力；引导学生按照数学规律建构数学知识，并关注数学理性的局限性；所得到的数学结论，需要接受客观现实的检验和修正。数学教学中，应积极追寻数学知识背后的逻辑性与引领逻辑的直觉性，积极探索数学直觉逻辑化的策略、途径与方式，有效地发展学生的思维能力。数学问题的探究中，教师应引导学生从发现与创造的视角看待数学知识，学生不应仅做数学知识的学习者和接受者，也应做数学知识的发现者和创造者。结合数学教育的特点，数学知识观应强调数学知识的系统性、建构性和开放性。这就需要关注数学知识系统，结合与教学内容相关的学生认知水平，探索和整合数学知识的内在关联与外在关联。其中，内在关联主要指向学科内的知识结构，外在关联包括学科间或相关领域知识以及经验性知识，以此作为确立数学知识结构的逻辑基础。二、数学知识观视角下学习进阶的要素分析在明确了数学知识观的基础上，需要继续探讨如何建构相应的数学学习进阶。数学学习进阶是在一定时间内，学生对某一数学学习主题的思考和认识不断丰富和深入的过程，旨在揭示学生对该主题的思考和理解是如何逐渐发展起来的，主要描述学生对某一核心知识或技能在一段时间内的发展历程。数学学习进阶的思考有助于整合零散的知识，形成系统的知识结构。学习进阶的明确可以推动形成性评价、教学、学习的一致性，可以帮助教师对照学习目标设计评价任务、分析评价结果、确定学习差距。了解学习进阶还 可以帮助学生有效提高学习推进率。数学学科具有高度抽象性，需要在学习过程中进行及时调控，使学习进程与学习目标之间保持较好的一致性，从而达成好的学习效果。而对数学学习的监控必须抓住数学学习活动的深层本质，以此来促进数学认知活动的深化，这也蕴含明确学习进阶要素的重要性。（一）心理结构对数学学习进阶的启示数学学习心理具有自身的特殊性，不能忽视非智力因素对认知结果的影响，如数学学习信念、数学学习情感等。其中，数学学习信念主要表现学生在数学学习方面的自我概念或自我效能感等；数学学习中所产生的情绪是一个过程而非结果，如数学焦虑就是个体在使用数学概念、学习数学知识或数学考试时所产生的不安、紧张、畏惧等情绪状态。所以，对数学学习进阶的思考，需要从数学学习具体过程出发，研究学生学习的真实心理活动，分析认知过程、机制及心智变化。基于数学学习活动中的具体问题，可以看出，数学学习心理包括数学概念学习的认知分析、模式识别与数学解题、数学问题解决与建构性活动特征、数学理解的内部机制、数学思维对数学学习的影响、数学证明的认知结构等。数学学科的特殊性蕴含数学知识表征的特殊性，其中严谨性、抽象性、符号化、结构化等是数学的典型特征，这蕴含数学概念、命题的动态建构性，数学概念和命题表现形式的多样性。所以要基于数学学科特点和数学学习心理结构来思考数学学习进阶的要素，包括内在认知结构、内在动力结构和外在影响因素。内在认知结构包括一般智力、数学认知能力和高阶思维能力；内在动力结构包括学习兴趣、学习态度和学习动机；外在影响因素包括学校家庭等背景因素。（二）主体与问题交互对学习进阶的启示数学教学是面向学生学习的组织活动，旨在使学生掌握系统的数学知识结构及形成学科素养。回到知识层面，教师需要从知识本身观照学生的学习心理。将模块化的知识放入相应知识体系中，结合学生的基本能力（认知基础）及可能的心理结构（元认知）进行主体心理的把握（见图）。此时数学学习进阶应考虑主体因素和问题情境因素的交互作用。主体因素包括基本能力、元认知和知识结构；问题情境因素包括问题情境的抽象相似性和形象相似性。结合数学学习特点，主体和问题情境在交互过程中主要呈现以下学习心理的阶段：个体经验与朴素尝试、逐步内化与产生冲突、形成概念与内化运用、知识整合与拓展延伸。由此结合具体学习心理进程，设计相应的学习活动。-5)?265-4244-APAAPAPAAAAPAAKM22KM+PP图主体和问题交互结构（三）数学知识形成逻辑对学习进阶的启示如何理解数学学习进阶的建构？需要置于数学知识发展逻辑中去思考。数学知识兼备人文和科学性及数学知识的发现性与发明性特点，既蕴含数学知识的严谨性、抽象性和简洁性，也充满出人意料的偶然性。基于此，更需要借助数学体验和数学探究去理解数学学习进程，需要从学生学习知识的心理特征入手，揣摩学生理解知识的认知过程。结合学习进阶及数学探究的层级，将学习主体因素和问题情境因素统一纳入教学中考量，以便更好地理解学习进阶。学生数学学习的理解过程存在层级化特征：首先，学习主体需要经历个体经验和朴素尝试，去感官知识表象，属于感官水平（感官之美）；其次，基于感官逐步反身抽象概括，产生冲突和疑惑，继而提出问题、解决问题经历知识形成过程（惊奇之美）；再次，学习主体感受新知相关属性，形成概念内化运用，凸显数学知识的逻辑性，经历数学探究的感悟体验（感悟之美）；最后，将新知纳入知识系统并上升到拓展延伸阶段，凸显数学学习的超越性（超越之美）。数学学习进阶需要追寻数学学科的探究精神，循着数学体验和数学探究所产生的感官之美、惊奇之美、感悟之美和超越之美，渗透于数学教学中，以对数学教学提供一定的教学参考价值。其 中，感官之美侧重于让学习主体充分接触真实情境直观感受，经历从表象到具象再到抽象的过程；惊奇之美侧重于思想的火花，引导学生情不自禁问一句：为什么？惊奇之美一定源于疑惑；感悟之美侧重推理分析，依赖于优雅的推理，也取决于表达方式的选择；冗长乏味的论证通常显得笨重，容易被遗忘，简明清晰的论证更能让人体会直接的畅快感；数学学习的极致体验便是“超越之美”，若学习中能感受到数学成果背后的深刻意义，及数学知识间的对偶关系，由它们构成的逻辑脉络便交织成了一张知识网络。新知若循着其逻辑关系从已有知识中找到固着点，便可以在学生头脑中建立起更稳定的认知结构，数学思想间的密切联系便会让学习者对数学知识产生敬畏感和学习动力。当学习主体看到一个概念以不同的形式出现在不同的数学领域，或者某个证明可以推广到更多情况时，便或多或少感受到超越之美。这也蕴含数学知识的发明性和发现性。三、数学知识观视角下学习进阶的建构及特点以下基于数学学习进阶的影响要素及数学学科特点，建构学习进阶（见表），再结合学习进阶的特点，对数学教学提出相关建议。（一）数学知识观视角下学习进阶的建构结合数学学习进阶的要素分析，进行学习进阶建构如下：个体经验与朴素尝试；逐步内化与产生冲突；形成概念与内化运用；知识整合与拓展延伸（见表）。首先，学习主体基于个体经验进行朴素尝试，结合已有知识经验，教师应针对这一特征帮助学生完成学习过渡，包括知识与技能、方法与习惯、能力与态度等；引导学生根据实际的需求，结合真实情境进行学习尝试。这一过程体现数学探究的感官之美。其次，学习主体通过对典型案例的处理，充分感受并理解知识概念蕴含的信息，基于需求，选择适当的具体问题去思考，产生冲突。这一过程蕴含惊奇之美。再次，主体在发现问题、提出问题、分析问题的过程中，逐步内化知识，进而基于冲突引发思考，产生新知。结合严格的定义后，继续运用概念结合具体问题进行描述性说明。这一阶段主要表现为形成概念内化运用，体会感悟之美。最后，主体整合知识系统，完善知识结构，运用所学知识解决实际问题，发展相关数学能力和数学素养。这也是数学学习的超越阶段。这一阶段，对学习主体的要求较高，不同主体实现的程度也会有差异，甚至有的主体只是停留在二、三阶段，并不能立即上升到拓展延伸阶段。学生的认知过程一般会经历“感知理解内化运用”的阶段，主体因素和问题情境因素交互作用共同制约学生的学习过程。所以学生主体的差异性导致主体和问题情境交互的结果会有不同，同一个主体对不同教师呈现的问题的学习理解也会有差异。不同的主体面对同一个问题情境的知识习得效果也会有不同。表数学学习进阶的建构层级学习进阶具体学习心理进程相应的学习活动感官之美个体经验朴素尝试结合已有知识经验，教师应针对这一特征帮助学生完成学习过渡，包括知识与技能、方法与习惯、能力与态度等；引导学生根据实际问题的需求，结合典型案例进行学习尝试课前调查与检测，了解学生的认知起点；设置具体问题情境惊奇之美逐步内化产生冲突通过对典型案例的处理，使得学生充分感受并理解知识概念蕴含的信息；基于需求，选择适当的具体问题去思考，产生冲突结合具体问题，设置相应学习活动感悟之美形成概念内化运用基于冲突引发思考，产生新知；结合较为严格的定义后，继续运用概念结合具体问题进行描述性说明继续结合具体问题进行内化运用，对整体学习情况进行估计与分析超越之美整合知识拓展延伸整合知识系统，完善知识结构，运用所学知识解决实际问题，提升相关数学能力和数学素养可以给学生设计拓展阅读，感受知识的外延 （二）数学知识观视角下学习进阶的特点数学学习进阶的生成过程不是简单的从无到有的过程，不是将现存的要素简单机械组合而必定实现的过程。其过程具有主体作用性、整合生成性、渐进性和未竟性、深度性和开放性特点。主体作用性学习进阶基于学习主体的学习心理特点而建构，具有主体作用性。个体知识不是真正从“无”中凭空产生的，而是需要基于主体的知识和经验，通过主体和问题交互作用产生的。学习时，需要主体自己产生疑惑，迸发思想火花，情不自禁问一句为什么。所以，发现问题和提出问题一定是基于疑惑。疑惑的产生、问题的提出到问题的分析解决，体现一种从无到有的过程性，既包括起点的“惑”，也蕴含“问”的过程，即如何将“惑”转化为“问”，再通过解决问题去释疑生成知识。只有这样，新知才能被学习主体的认知结构同化或顺应，以便内化为个体的生成性知识。这便体现了主体作用性。学习进阶的主体作用性特点还体现在充分暴露学习主体的学习轨迹上，引导其将产生的疑惑表达出来。如在“函数狔犃 （狓）的图象”的学习中，教师引导学生在讨论的基础上确定研究方案。学生通过探讨对狔 （狓）图象的影响，进而类比探究犃、分别对狔犃 狓（犃）、狔 狓（）图象的影响。然而在实际学习中，学生会产生三种可能研究方案：（），狔犃 狓（犃）；（）犃，狔 （狓）；（）犃，狔 狓（）。于是针对三种方案便有不同的研究路径。研究方案由学生自主探究生成，并引导学生感悟研究图象变换的一般思路即“观察猜想验证”。这样的过程便充分考虑了主体作用性，也为学习进阶的顺利达成奠定了基础。整合生成性数学学习进阶的每个要素都具有层次性和关联性，几个环节之间环环相扣，所以具有整合生成性，但每个个体在具体学习时会有差异，惊奇之美有时也会独立于感官之美而产生 ，会存在环节的跳跃或者逆向。但总体来说，学习进阶具有次序性和结构性。比如，个体在尝试环节，侧重基于真实问题情境直观感受，然后尝试从表象到具象再到抽象的环节实现。这样的个体体验具有主体参与性和自然生成性，避免了不恰当的情境干扰，尽量使得抽象概念直观化。整合生成强调知识生成的自然性，合乎数学知识本身的逻辑结构与发展规律，问题的提出与解决既基于原有认知结构，又合乎学生的认知规律和心理特点，还强调个体差异性。比如，“函数狔犃 （狓）的图象”的学习难点为，学生已经学习了幂函数、指数函数和对数函数等函数图象的平移变换，本节课是对一般函数图象变换的延伸和拓展。对参数引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”。为什么如此呢？站在这样的学生认知起点，教师需设计好问题情境，引导学生进行理性思考。比如，从狔 狓到狔 狓，教师引导学生用 狓代换狓，将狔 狓图象上坐标为（狓，狔）的点变换成坐标为（狓，狔）的点，所以将狔 狓图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的。突破难点的方法是通过坐标变换理性分析，如果学生仍有困难，需结合几何画板作图观察。教学中，教师引导学生通过充分的思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法。格式塔理论表明，人在认知活动中需要对事物、情境的各个部分及其相互关系形成整体的理解，而不是对各种经验要素进行简单的集合。有意义学习理论也表明，要达到最佳学习效果，新知应与学习者的认知结构中已有的知识建立非任意性的和实质性的联系。所以，学习进阶建构的重点是结合学习和教学中诸因素的关系性，关注学习过程，促进学生建构稳固的知识结构，提高学习质量。渐进性和未竟性在数学知识观视角下，数学知识具有发现性和发明性，基于这个特点，学习进阶的“知识整合和拓展延伸阶段”也具有渐进性和未竟性。数学知识的建构并不是一次性完成的，具有生成结果不完全性和暂时性，有待被继续整合。认知主体需结合自身的能力和经验对知识进行不断的循环和深化。比如，初中研究二次函数时，教材采 用图象直观的研究方式，学生经历用描点法作出函数图象以及教师借助几何画板演示精确函数图象的过程。从特殊到一般，先由狔狓开始，然后是狔犪 狓，狔犪 狓犮，最后是狔犪（狓犺），狔犪（狓犺）犽，狔犪 狓犫 狓犮（犪）。显然学生在初中学习中已经学过，含三个参量变化时，可以通过控制变量法，用特殊到一般的方法去研究一个新函数的图象和性质。等到高中阶段，学生学狔犃 （狓）（犃，）图象时，当然对旧知可能会遗忘，此时教师需设置一定的真实问题情境，帮助学生“唤醒记忆”，从而引导学生继续完善未竟的知识结构。所以在课堂教学中，教师应关注学生的认知规律，关注学生认知结构中的旧知识，关注知识的生长点，引导学生整合知识，完善知识结构，使学生获得数学能力和素养的发展。深度性和开放性数学学习的极致体验便是“超越之美”，若学习中能感受到数学成果背后的深刻意义，或者数学思想间的密切联系，那么便会对其产生敬畏感和学习动力。数学学习是对已有的数学知识再发现的过程，这个过程具有创造性、发现性和开放性，也是学生对已有数学知识的再创造和再发现。数学学习要求掌握数学知识、发展数学能力、培养数学学科素养。学生掌握数学知识是在经过教学加工及前人已发现数学知识的基础上进行的，数学学习的再创造性高，数学学习的抽象概括能力要求高，数学学习中的“引导”和“点拨”的适度性要求高。顺畅掌握数学知识，学习者需要具备对教材结构的把握、学习主动性、已有知识的准备、数学思维和学科素养的培养等。数学认知的发展可以看成自反抽象的反复应用，也即在更高的层次上对已有东西进行重构，从而使前者成为一个更大结构的部分。此时需要跳出原结构，才能对原结构进行优化和发展。学生主体的多样性和差异化预示学生学习进阶的多样化，基于差异化的主体和学习进阶，确定教学目标，这也应具有开放性。学习新知是以旧知做为固着点，旧知衍生新知，新知关联旧知。这样的学习过程蕴含联结性、层次性、发现式和开放性。当然，发现式和开放性的数学学习需要掌握平衡，发现一定是以接受为基础的。数学学习不可能是不着边际的发现学习，极端的开放性学习、自由式学习并不能提高学习质量。发现式和开放性的数学学习应基于建构数学认知结构的整体认识观，促进学生从整体上把握数学知识、方法和观念，进而有效地克服分解数学知识和方法的现象。普通高中数学课程标准（年版 年修订）指出，要提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。因此，数学学习应该引导学生构建知识结构，展现知识之间内在的逻辑关系。从实用角度来看，数学学习进阶具有暂时的静态性，实则蕴含开放性、动态性和修正性，是主体总体状态的近似。教学是建立在师生双方共同活动的基础上的，包括教师的期望、教师知识观及教师的教学观。数学教学观是教师对数学教学目标和实现目标的基本途径与方式的看法。数学是科学与人文的统一体，数学知识观影响教学观。数学教学应该指向促进学生知识、思维和素养的和谐发展。数学教学中需要引导学生感受数学来源于生活的特性，比如向量加法的三角形法则等，需要寻找其在现实生活中的“根”和“原型”。当然，数学教学更需要突出数学的过程性、发现性，甚至发明性。让学生不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思建构等，学会自主建构和创造数学知识。教师应在知识发展的关键点处给予指导。数学教学应揭示数学知识的整体性和结构性，在这些观念的指导下，教师才能更好地履行自己的职责与使命。数学教学中，无论对于学习进阶的哪一层，都会指向培养学生形成深度学习的良好素养，引领学生对新事物的兴趣和对超然之物的敬畏之心。当然，若教师教学方式不当，学生在数学学习中难免会觉得数学就是一堆毫无意义的死板公式，总是进行无穷无尽的、枯燥乏味的重复性学习，这会削弱学生的数学学习力。参考文献：中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准（年版 年修订）北京：人民教育出 版社，黄秦安数学教师的数学观和数学教育观数学教育学报，（）：黄秦安关于数学知识的多维度视角及其变量函数：超越科学知识社会学视域下的数学知识观科学技术与辩证法，（）：戴风明论“有意义的学习经历”教学观与数学有效教学数学教育学报，（）：谢明初数学教育的人文追求数学教育学报，（）：李昌官数学发现与发明关系新说数学教育学报，（）：吴颖康，邓少博，杨洁数学教育中学习进阶的研究进展及启示数学教育学报，（）：徐速国内数学学习心理研究的综述心理科学，（）：黄翔关于数学学习心理研究的几个问题教育研究，（）：王欣瑜基于学习心理结构的儿童数学学力测评观探析数学教育学报，（）：陈国权，吴凡学习迁移的系统理论：理论模型的建构和意义中国管理科学，（）：苏数学的力量：让我们成为更好的人沈吉儿，韩潇潇，译北京：中信出版集团，陈中峰关注过程揭示促进知识有序建构数学通报，（）：郭玉峰，刘春艳，程国红数学学习论北京：北京师范大学出版社，：李昌官试论数学教学的结构性原则课程教材教法，（）：（责任编辑：郭晨跃）犚 犲 犲 狓 犪犿 犻 狀 犪 狋 犻 狅 狀狅 犳犃犱 狏 犪 狀 犮 犲 犱犔 犲 犪 狉 狀 犻 狀 犵犳 狉 狅犿狋 犺 犲犘 犲 狉 狊 狆 犲 犮 狋 犻 狏 犲狅 犳犕犪 狋 犺 犲犿犪 狋 犻 犮 犪 犾犓狀 狅 狑 犾 犲 犱 犵 犲犞 犻 犲 狑 ，犃犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋：，：，犓 犲 狔狑 狅 狉 犱 狊：；