证明(二)复习课.doc

第一章 证明（二）
回顾与思考
创意开场白
方式1……我们在证明（一）的基础上，已经完成了证明（二）的内容学习，请大家思考：同是证明，证明（二）重在对哪些图形进行探讨？证法有何新突破？带着这些问题，我们有必要进行简单的回顾。（教师出示课时课题、课时目标）
方式2………俗话说“梳理，是一种好的学习习惯”。现在我们已经学完了证明（二）相关内容，下面看那位同学梳理得更完整，更科学？（教师出示课时课题、课时目标）

1． 进一步体会证明之必要性。
2． 会用综合法、反证法证题（重点）。
3． 熟练掌握与等腰三角形和直角三角形相关的性质与判定定理，并会灵活应用；会写命题逆命题、能识别真假；会尺规作图。
4． 在证明中，仔细体会归纳、类比、转化等数学思想方法。

1.关上课本，仔细想想本章学习了哪些内容？
2.翻阅课本，看有没有遗漏的内容？
证明（二）
通过探索、猜测、计算和证明得定理
命题逆命题及其真假
尺规作图
与等腰、等边三角形有关结论
与直角三角形有关结论
与一般三角形有关结论
3.结合讨论，完成下列框架图：

过渡语：在全面梳理基础上，让我们一起来关注几个核心内容。。
A
B
D
C
E
F
例1 ： 如图所示，已知：△ABC中，BA=BC，∠ABC=450，
AD是BC边上的高，F是AD上一点，FD=CD，连
接FC。求证EA=EC。
分析: 要证EA=EC,可证明BF是线段AC的中垂线，又因为BA=BC,只要证明BF⊥AC即可。
证明 ∵AD⊥BC,∠ABD=450
∴∠BAD=450
∴AD=BD。又 CD=DF,∠ADC=∠BDF=900,
∴Rt△ADC≌Rt△BDF, ∴∠DAC=∠DBE，又∵∠AFE=∠BFD，
∴∠AEF=∠BDE=900。即BF⊥AC。又∵BA=BC，∴BF垂直平分AC。∴EA=EC。
规律总结： 证明线段相等的思路很多，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是一种方法；此外还可以利用全等三角形的对应边相等，等腰三角形的判定，角平分线上一点到角两边距离相等、等量代换法给予证明。证角相等的思路类似上叙述。
【跟踪训练】
1. 已知如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，,与相交于点，连接．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：．

【答案】（1）△ADC≌△ABE, △CDF≌△EBF,
（2）。∵
∴,
∴
即
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴△CDF≌△EBF,
∴
2. 如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若∠D=50°，求∠B的度数．

∴∠B=700
A
B
C
D
例2: 如图所示，四边形ABCD中，∠B=900，
AB=3，BC=4，CD=12，AD=13,求四边形
ABCD的面积。
分析: 这是一个不规则的四边形，可连接AC变化成两个三角形，求出这两个三角形的面积，其中△ABC是直角三角形，由勾股定理求出AC的长，在△ACD中，由勾股定理的逆定理可判断△ACD是一个直角三角形。
解 :连接AC。
∵∠B=900,AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=9+16=25（勾股定理）。
∵AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=900（勾股定理的逆定理）。
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36。
规律总结：1.在已知三角形三条边长的情况下，用勾股定理的逆定理可以判断这个三角形是不是直角三角形。2.在一个不规则的四边形中，已知四边形长度求面积，常将四边形变成两个三角形，用勾股定理及其逆定理，进而求两个直角三角形的面积。
【跟踪训练】
3.已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，第三边的长为5或
。
4. 如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长.

解答：(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ ÐDBA = ÐCAE,
又∵, ∴ △ABD∽△CAE.
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =2BD ，

(第22题)
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，
∴ÐD =90°,
由（1）得 ÐE =ÐD = 90°,
∵ AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ，
∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2
= (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = 12a2 ,
∴ BC =a .
A

M●
●N
O B

例3： 如图已知∠AOB内有两点，M,N.求作一点P，使点P在∠AOB两边距离相等，且到点M,N的距离也相等。
分析：所作的点P必在∠AOB的平分线上，
又在MN的中垂线上，它是两线的交点
解答：分别作∠AOB的平分线，MN的中垂线,，其交点即为P.

规律总结：尺规作图可帮我们简洁画图，且画出的图形准确美观，我们要明确尺规作图的依据。
5.已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．
由⑴、⑵可得：线段EF与线段BD的关系为

解答：⑴、⑵题作图如下：由作图可知线段EF与线段BD
的关系为：互相垂直平分．
E
D
C
B
A
G

6.如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）然后证明当：AD∥BC，AD=BC，∠ABC=2∠ADG时，
DE=BF.
解：（1）以B为圆心、适当长为半径画弧，交AB、BC于M、N两点，
分别以M、N为圆心、大于MN长为半径画弧，两弧相交于点P，过B、P
作射线BF交AC于F
（2）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C，
又∵BF平分∠ABC，且∠ABC=2∠ADG，∴∠D=∠BFC，
又∵AD=BC，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF.
A
B
D
E
F
C

例4. 如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF． 能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．
供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；②BC=EF；③∠ACB=∠DFE．
分析：要证AB∥ED，必须证得∠ABC=∠DEF，而从FB=CE，AC=DF条件中不能得到∠ABC=∠DEF．
解答：由上面两条件不能证明AB//ED.
有两种添加方法.
第一种：FB=CE，AC=DF添加 ①AB=ED
证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又AC=EF，AB=ED，所以ABCDEF
所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED
第二种：FB=CE，AC=DF添加 ③∠ACB=∠DFE
证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又∠ACB=∠DFE AC=EF，所以ABCDEF
所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED
规律总结：命题有真有假，对命题的证明常见有两种证法：综合法和反证法。当结论很明显，而又不好说理时，我们常常采用反证法。
7. 已知下列命题：
①若，则； ②若，则；
③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④平行四边形的对角线互相平分．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.证明三角形中至少有一个角不小于600
证明：假设三角形三个内角均小于600
那么三内角之和必小于1800
这与“三角形内角和定理”相矛盾，故假设不成立，原结论成立。即三角形中至少有一个角不小于600
例5. 如图1，若△ABC，△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点。．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
图1 图2 图3

图8

（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

分析：证CD=BE是否成立，主要看它所在的两个三角形是否全等，△AMN是否还是等边三角形，主要看能否符合等边三角形判定定理。
C
解：（1）CD=BE．理由如下:　
N
∵△ABC和△ADE为等边三角形
D
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o
∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，
E
M
∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，
B
A
∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD
图2
∴CD=BE
图3
C
N
D
A
B
M
E
（2）△AMN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴BM=
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．
∴AM=AN ∠MAB=∠NAC．
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN是等边三角形．
规律总结：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，等边三角形的判定可据三内角相等或三边相等或有一个角为600的等腰三角形来证明。几何图形在旋转等变化过程中，弄清楚哪些量发生变化 ，哪些量不变是解题的关键。
9.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形有( A)
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

10. 等腰三角形的一个内角等于40°，则它两个底角的平分线所夹的钝角是（ D）
A 110° B. 140° C.100°或120° D .110°或140°

1.（15分） 如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，
∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 50 °．
2.（15分）如图，一块三角形玻璃破碎成三块。现需划一块同
样大小的三角形玻璃，为了方便起见，只须带第Ⅲ_块
3.（15分） 如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若
∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（ A ）

A.100° B.80°
C.70° D.50°
4. （15分）下列命题中，是假命题的是（ C ）
A.全等三角形的对应边相等 B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等
C.对应角相等的两个三角形全等 D.相似三角形的面积比等于相似比的平方
5.. （20分）若△ABC三边a、b、c满足，试判定三角形形状.
解．得出a=3 b=4 c=5
又32+42=52 得△ABC为直角三角形
6.（20分）如图，在等边三角形ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过x秒后，它们爬行到了D、E处。设DC与BE的交点为F。
⑴ 你能判断△ACD≌△CBE吗？若全等，请说明理由。
⑵ 蜗牛在爬行过程中DC与BE所成的∠BFC大小有无变化？请说明理由。
⑶ EB、DC能否同时成为△ABC的高？
解（1）能判断△ACD≌△CBE 理由为：AD=CE,∠BAC=∠ACB,AC=CB故△ACD≌△CBE
（2）无变化。由△ACD≌△CBE得∠ACD=∠EBC ，由内角和定理得∠BFC=180°-∠EBC-∠DCB=180°-∠ACD-∠DCB=180°-（∠ACD+∠DCB）=180°-60°=120°
（3）能

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