湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习-三角函数式的化简与求值.doc

湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：三角函数式的化简与求值
高考要求
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍
重难点归纳
1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值
2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决
典型题例示范讲解
例1不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值
错解分析 公式不熟，计算易出错
技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会
解法一 sin220°+cos280°+sin220°cos80°
= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°
=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)
+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
=1－cos40°－(1－cos40°)=
解法二 设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则x+y=1+1－sin60°=，
x－y=－cos40°+cos160°+sin100°=－2sin100°sin60°+sin100°=0∴x=y=，
即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=
例2设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值
知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题
错解分析 考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错
技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等
解 由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得
f(a)＝∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞
或　－－2a－1=，解得a=－1，此时，y=2(cosx+)2+，
当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5
例3已知函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；
(3)若当x∈［，］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值
命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力
知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识
错解分析 在求f-－1(1)的值时易走弯路
技巧与方法 等价转化，逆向思维
解 (1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)∴f(x)的最小正周期T=π
(2)当2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2
(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］,∴2x+∈［,］,∴2x+=，
则x=，故f-－1(1)=
例4　已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________
解法一 ∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜ π＜α+β＜,
∴
∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)

解法二 ∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－,
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－
sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－∴sin2α=
学生巩固练习
1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈
(－)，则tan的值是( )
A B －2 C D 或－2
2 已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=______
3 设α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________
4 不查表求值:
5 已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值
参考答案
1 解析 ∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0 tanα+tanβ=3a+1＞0,
又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),
又tan(α+β)=,
整理得2tan2=0 解得tan=－2 答案 B
2 解析 ∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－
则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,
答案
3 解析 α∈(),α－∈(0, ),又cos(α－)=

4 答案 2

4