数学建模流感问题模型.doc

摘要
甲型H1N1流感为急性呼吸道传染病，其病原体是一种新型的甲型H1N1流感病毒，在人群中传播。与以往或目前的季节性流感病毒不同，该病毒毒株包含有猪流感、禽流感和人流感三种流感病毒的基因片段。人群对甲型H1N1流感病毒普遍易感，并可以人传染人，但是要提醒大家的是甲型H1N1流感是可防、可控的。只要积极作好预防，也是比较安全的。目前预防甲型H1N1流感 的疫苗已投入使用。
本论文通过建立甲流传染模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来，如何处理潜伏期等等问题。
甲型H1N1流感问题的研究
一﹑模型假设
①.在甲流传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；潜伏期者（incubation），其数量比例为q(t),表示在t时刻，染病但未被发现、可感染、不可治愈，在潜伏期之后变为感染病者；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。

②.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，感染者的日接触率（每个感染者每天有效接触的平均人数）为，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。
二﹑模型构成

在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：

在假设1中显然有：
s(t) + i(t) + r(t)+q(t) = 1
对于病愈免疫的移出者的数量应为
（1）
不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别
SIR基础模型用微分方程组表示如下：
（2）
上述（2）方程无法求出s(t) ， i(t)的解析解，我们先做数值计算。

三．数值计算
在方程（2）中设λ=2，μ=0.4，i（0）= 0.01，s（0）=0.99，用MATLAB软件编程：
function y=ill(t,x)
a=0.91;b=0.4;c=1.1;d=1;
y=[d*x(3)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)-c*x(2)*x(3),(a-d)*(x(2)*x(1)+x(3)*x(2))]';

ts=0:50;
x0=[0.02,0.98,0.18];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0); [t,x];
plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');legend('病人','康复者','潜伏期者');
pause
plot(x(:,2)+x(:,3),x(:,1));title('病人，潜伏期感染者与康复者相轨线');
,

四．相频线分析
我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。
D = ｛（s，i）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝
在方程（2）中消去并注意到σ的定义，可得
（3）
所以： （4）

利用积分特性容易求出方程(3)的解为： （5）
在定义域D内,(4)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向

下面根据(1),(5)式和上图分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作（, 和).
1. 不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即：
2.最终未被感染的健康者的比例是 ,在(5)式中令i=0得到, 是方程

在(0,1/σ)内的根.在图形上 是相轨线与s轴在(0,1/σ)内交点的横坐标
3.若>1/σ,则开始有，i(t)先增加, 令=0，可得当s=1/σ时,i(t)达到最大值：

然后s<1/σ时，有 ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至,如图3中由P1(，)出发的轨线
4.若 1/σ,则恒有，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至,如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线
可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得≤1/σ(即σ ≤1/),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通常可认为接近1)。
并且,即使>1/σ,从(19),(20)式可以看出, σ减小时, 增加(通过作图分析), 降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.
从另一方面看, 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被个健康者交换.所以当 即时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。
五﹑群体免疫和预防
根据对SIR模型的分析,当 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.
忽略病人比例的初始值有,于是传染病不会蔓延的条件 可以表为

这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足上式，就可以制止传染病的蔓延。
这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 σ=5，由上式至少要有80%的人接受免疫才行。世界卫生组织总干事陈冯富珍2010年8月10号宣布，甲型H1N1流感的大流行期已经结束，但世卫呼吁各国继续监察新型流感，防范病毒变种。 陈冯富珍听取世卫紧急委员会专家的意见后，宣布解除新流感的最高警戒。但她预期，未来几年新型流感会好像季节性流感一样继续流行，流感病毒也会对部分国家和地区存在隐患。即使花费大量资金提高 ，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得甲流H1N1才在全世界根除。而如果新流感的σ更高，根除就更加困难。
六﹑模型验证
新型流感2009年4月开始在墨西哥爆发，之后陆续在美国等地蔓延，五月香港确诊首起新型流感个案，为亚洲首宗确诊病例。六月世卫将流感大流行警戒级别，调升至第六级别，世界各地因此储存新流感疫苗，以防万一。不过随着疫情减轻，本年初多个国家及地区，开始销毁疫苗，以及取消为民众接种疫苗。而新型流感爆发以来，在全球造成18449人死亡。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了的实际数据，世卫组织用这组数据对SIR模型作了验证。
首先，由方程（1），（2）可以得到
，两边积分得

所以： (6)
再 (7)
当 时，取（7）式右端Taylor展开式的前3项得：

在初始值=0 下解高阶常微分方程得:

其中， 从而容易由（7）式得出：

然后取定参数 s0, σ等，画出（7）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。

七﹑被传染比例的估计
在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值与之差，记作x,即 (8)
当i0很小，s0接近于1时，由（8）式可得
(9)
取对数函数Taylor展开的前两项有
(10)
记 , 可视为该地区人口比例超过阈值的部分。当 时（10）式给出 （11）
这个结果表明，被传染人数比例约为的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即不变时，这个比例就不会改变。而当阈值提高时，减小，于是这个比例就会降低。
八．模型评价
1，本模型根据甲流实际传染情况建设了数学模型，并考虑了其中的潜伏期、日治愈率、日接触率等因素，对于如何控制流感爆发具有一定的科学借鉴价值；
2，所选取的数值虽然参考了卫生部信息通告，但由于取样的数据量太小，没有大量采集相关的数据，可能导致运算结果有所偏差；
3，本篇论文还有很多值得改进的地方，如如何利用数学建模推迟传染病高潮的爆发期、群体免疫和防治等等方面。
参考文献：
数学模型，姜启源编，高等教育出版社．
数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社(1989)．
数学模型选谈(走向数学从书)，华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社(1991)．
数学建模--方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社(1993)．
数学建模—韩中庚等编，清华大学出版社（2009）