完全平方数及完全平方式.doc

完全平方数和完全平方式
一、内容提要
一定义
1.       如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36， ，121都是完全平方数.
在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2.       如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围　m2, (a+b－2)2, 4x2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围　　（a+ ）2, x2+2 x+2, 3也都是完全平方式.
二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n是完全平方数，且能被质数p整除, 则它也能被p2整除..
若整数m能被q整除，但不能被q2整除, 则m不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
三. 完全平方式的性质和判定
　 在实数范围内
如果　ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0且a>0；
如果 b2－4ac=0且a>0；则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式.
　 在有理数范围内
当b2－4ac=0且a是有理数的平方时，ax2+bx+c是完全平方式.
四. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b）2 中
当a, b都是有理数时, x取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2.       某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.
例如： n2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1.       在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中
①     若b2－4ac是完全平方数，则方程有有理数根；
②     若方程有有理数根，则b2－4ac是完全平方数.
2.       在整系数方程x2+px+q=0中
①     若p2－4q是整数的平方，则方程有两个整数根；
②     若方程有两个整数根，则p2－4q是整数的平方.