概率B组题第二章解答.doc

概率统计第二章随机变量及其概率分布
概率统计第二章（B）组习题
一、单选题
1．设随机变量，随机变量，且
，则必有.
（A）；（B）；（C）；（D）.
解：显然，同理，.
因为
（由于是单增函数），故应选（A）.
2．设随机变量，其分布函数为，则对于任意实数，有.
（A）；（B）；
（C）；（D）.
解：因为,，而，故，选（B）.
3．假设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数.
（A）是连续函数；（B）至少有两个间断点；（C）是阶梯函数；（D）恰好有一个间断点.
解：依题意，.而.
当时，.
当时，.
当时，，由分布函数的定义有：.
于是，.经计算得，是其唯一的间断点，故选（D）.
4.设其分布函数是.
（A）；（B）；
（C）；（D）
解：因为，所以当时，；
当时，.
故，选（B）.
5．设连续型随机变量的概率密度函数是一个偶函数，为的分布函数，则对于任意实数，有.
（A）；（B）；（C）；（D）.
解：因为，
所以.选（B）.
6．设，且是的分布函数，则对于任意实数都有成立.
（A）；（B）；
（C）；（D）.
解：因为，且
，所以，故选（B）.
7．设连续型随机变量的分布函数为，密度函数为，而且与有相同的分布函数，则.
（A）；（B）；（C）；（D）.
解：由于与有相同的分布函数，则
，故在的两边求导得：，故选（C）.
8.设，对于给定的，数满足，若，则.
（A）；（B）；（C）；（D）.
解：因为，且
，
所以，故，选（C）.
9．设随机变量的密度函数为，则随机变量的概率分布是.
（A）在上均匀分布；（B）参数为的指数分布；
（C）在上均匀分布；（D）参数为的指数分布.
解：记为随机变量的分布函数，则当时，当时；当时，
.
由此可见，随即变量的分布函数，故是区间上的均匀分布函数，因此变量的概率分布是区间上的均匀分布，选（C）.
10．设随机变量与相互独立，且均服从上的均匀分布，则下列随机变量中仍服从某区间上的均匀分布的是.
（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）.
解：经计算易知的分布函数为，此即为上的均匀分布，故选（Ｃ）.
二、计算题
1．设随机变量在上服从均匀分布，现在对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于的概率.
解：“对的观测值大于是”；由题意，则
.
设表示三次独立观测中观测值大于的次数，则.
故，.
2．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从正态分布——，分以上的占考生总数的，试求考生的外语成绩在分至分之间的概率.
解：由题意：，即，
，则，.
从而
.
3．设随机变量的分布密度为：
求：（1）系数；（2）落在内的概率；（3）的分布函数.
解：（1）由得：，
，故.
（2）.
（3）由，则当时，；当时，；当时，.
故的分布函数为：.
4．设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从泊松分布，每个顾客购买某种物品的概率为，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店购买这种物品的人数的概率分布.
解：设表示“进入商店购买这种物品的人数”，则的取值为“，其中：为进入该商店的顾客人数.
显然，的取值是与进入商店的人数有关的，且在的条件下服从二项分布，即.
由全概率公式得：

5．设，求的概率密度.
解：方法（1）：由题意：的概率密度为则，的分布函数为：
.
当时，，即；；
当时，，即.；
当时，，即.；
即，，.
方法（2）：令，则，故单增，于是
.
6．设随机变量的概率密度为令，求的概率密度.
解：的分布函数为.
当时，，；
当时，
，
；
当时，，
；
当时，，.
综上，.
求的分布函数时，还可以另解为：因为，所以当时单调递增，当时，单调递减.
当时，
当时，
故，.
7．某仪器装有只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，密度为：，试求：在仪器使用的最初小时内，至少有一只电子元件损坏的概率.
解：设为每只电子元件在最初小时内损坏的概率，为使用寿命，则.
再设“在使用的最初小时内，至少有一只电子元件损坏”.
故，.
8.假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以的概率可以出厂；以的概率定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了台仪器（假设各仪器的生产过程相互独立）.求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两件不能出厂的概率；（3）其中至少有两件不能出厂的概率.
解：关键需要求出每台仪器能够出厂的概率.设“仪器调试后能出厂”；“能直接出厂”；则为“仪器需进一步调试”.
于是，.
再设为所生产的台中能出厂的台数，则，于是
；；
.
9.设的分布函数为，且单调.证明：服从区间上的均匀分布.
证明：因为是的分布函数，所以单调不减，且，从而.
当时，，
当时，，
当时，.
故，的分布函数为.
易知其密度函数为：，于是服从区间上的均匀分布.
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