江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题(1)分类汇编11：数列.doc

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编11：数列

一、填空题
．（江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题）已知数列是等差数列,且,则=______
【答案】
．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）记等差数列的前项和为,,则最大的是__________________.
【答案】6
．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）设是等差数列的前项和,已知,则____________.
【答案】49
．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）任给实数,定义,设函数,若是公比大于的等比数列,且, ,则 ________.
【答案】
．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在数列中,,,设,记为数列的前项和,则=________.
【答案】
．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）已知数列{an}是等差数列,且<-1,它的前n项和Sn有最小值,则Sn取到最小正数时n的值为______.
【答案】12
．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）设等差数列前项和为,若,则________.
【答案】3
．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）数列,则是该数列的第_____________________项.
【答案】128 分子、分母之和为2的有1项,为3的有2项,,为16的有15项.而是分子、分母之和为17的第8项.故共有项.
．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）在等差数列中,若,则_________________.
【答案】4
．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,求{an}的通项公式________________
【答案】4n-5
．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）在等差数列{}中,,则数列{}的前n项和=___
【答案】
．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）设等比数列满足公比,且中的任意两项之积也是该数列中的一项,若,则的所有可能取值的集合为__________.
【答案】{2,,,,}
．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）等差数列中,若, ,则___________.
【答案】
．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）正项数列{an}满足a1 = 1,a2 = 2,又{}是以为公比的等比数列,则使得不等式>2013成立的最小整数n为______.
【答案】6
．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知等差数列的前项和分别为和,若,且是整数,则的值为_______.
【答案】15 ;
．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）已知是等差数列的前n项和,若,则等于
(A)18 (B)36 (C)72 (D)无法确定
【答案】B
．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）数列满足,若,则________.
【答案】8
．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）等差数列中,已知,,则的取值范围是__________.
【答案】 ;
．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）设公差为的等差数列的前项和为,若,,则当取最大值时,的值为________.
【答案】9
．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知各项均为正数的等比数列,若,则的最小值为______.
【答案】54
．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8−S3=20,则S11的值为_________.
【答案】44
．（江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题）已知等比数列的前项和为,若,则的值是_____._
【答案】
．（江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题）设等差数列的首项及公差均是正整数,前项和为,且,,,则=______
【答案】4026
．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在等比数列中,,,则=________.
【答案】512
．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知函数,正项等比数列满足,则 __★__.
【答案】 提示:利用求和(逆序相加法求数列的和).
．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知等差数列的前项和为,若,则的值为______.
【答案】20
．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）在等差数列中,,则数列的前5项和=______.
【答案】90
．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）数列{an}满足an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前60项和为_____.
【答案】【解析】由得,
,
即,也有,两式相加得,设为整数,
则,
于是
．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知数列{an}为等差数列,若,则数列{|an|}的最小项是第_____项.
【答案】6 ;
．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）设表示正整数的个位数,例如,,则数列的前项和等于________.
【答案】2
．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）已知三数x+log272,x+log92,x+log32成等比数列,则公比为________.
【答案】3
．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知数列的前项和,若对任意正整数,恒成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知等比数列的各项均为正数,若,前三项的和为21 ,则_______.
【答案】168
．（江苏省泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷）已知等差数列满足:,则=_____
【答案】42
．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三上学期期中模拟数学试题）设等差数列的公差为正数,若则__.
【答案】105
．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在数列中,,,记是数列的前项和,
则= ________.
【答案】930
．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）公比为的等比数列的各项都是正数,且,则______.
【答案】32
．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则___▲___．
【答案】6
二、解答题
．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）数列的前项组成集合，从集合中任取（，2，3，…，）个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如：当时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想，并用数学归纳法证明．
【答案】（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，
T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，
所以S3=11+31+21=63；
（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，
猜想﹣1，下面证明：
（1）易知n=1时成立；
（2）假设n=k时﹣1，
则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1
=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1﹣1）]（其中Ti′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），
=（）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（）=Sk+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）Sk
=2k+1（﹣1）+（2k+1﹣1）
=﹣1=﹣1，即n=k时﹣1也成立，
综合（1）（2）知对n∈N*﹣1成立．
所以﹣1．
* ．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）数列满足,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)已知,若数列成等差数列,求实数;
(Ⅲ)求数列的前项和.
【答案】解法一:(Ⅰ)由,得.
.
(Ⅱ)
,令,则数列成等差数列,所以.
(Ⅲ)成等差数列,.;
得
= ①
2= ②
① - ② 得

=.
所以
解法二:(Ⅱ)且数列成等差数列,所以有为常数.

,要使为常数.需.
．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知数列中,前和
①求证:数列是等差数列 ②求数列的通项公式
③设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?若存在,求的最小值,若不存在,试说明理由.
【答案】解:①∵

∴数列为等差数列.
②即公差为2

③

要使得对一切正整数恒成立,只要≥,
所以存在实数使得对一切正整数都成立,的最小值为.
．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）已知集合,其中,表示
的所有不同值的个数.
(1)已知集合,,分别求,;
(2)求的最小值.
【答案】解:(1)由2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,
得l(P)=5
由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,
得l(Q)=6
(3)不妨设a1<a2<a3<<an,可得
a1+a2<a1+a3<<a1+an<a2+an<a3+an<<an-1+an,
故ai+aj (1≤i<j≤n)中至少有2n-3个不同的数,即l(A)≥2n-3.
事实上,设a1,a2,a3,,an成等差数列,考虑ai+aj (1≤i<j≤n),根据等差数列的性质,当i+j≤n时, ai+aj=a1+ai+j-1;当i+j>n时, ai+aj=ai+j-n+an;
因此每个和ai+aj(1≤i<j≤n)等于a1+ak(2≤k≤n)中的一个,或者等于al+an(2≤l≤n-1)中的一个.故对这样的集合A,l(A)=2n-3,所以l(A)的最小值为2n-3.
．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）已知各项均为整数的数列满足,,前6项依次成等差数列,从第5项起依次成等比数列.
(I)求数列的通项公式;
(II)求出所有的正整数m ,使得.
【答案】解:(I) 设数列前6项的公差为,则,(为整数)
又,,成等比数列,所以,
即,得. 4 分
当 时,,6 分
所以,,数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2,
所以,当时,.
故
(II)由(I)知,数列 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,
当时等式成立,即;
当时等式成立,即;
当时等式不成立;
当m≥5 时,,
若,则,所以
,,从而方程无解
所以 .
故所求或
．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）
设的三边长分别为,面积为,已知,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:无论取何正整数,恒为定值;
(Ⅲ)判断函数的单调性,并加以说明.
【答案】(Ⅰ)an+1 = an,∴a1=4,∴an=4,∴bn+1=,
∴,∴b1–c1=5–3=2,∴{bn–cn}为等比,
∴bn–cn = ------
(Ⅱ)∵bn+1 =,cn+1=,∴bn+1+ cn+1 =
bn+1+ cn+1–8==,而b1+c1–8=5+3–8=0,∴bn+cn–8=0
∴bn+cn=8
(Ⅲ)法一:
an = 4
bn–cn =,∴bn = 4+,cn =4–
bn+cn=8
令m = ,则an = 4,bn = 4+m,cn = 4–m,∴cosA =
∴sinA =
f(n) = SABC ==
=
当n增大时,减小,增大,∴f(n) 递增
法二:∵BnCn = 4 AnBn+AnCn=8
∴An落在以Bn、Cn为焦点的椭圆上
∵|bn–cn|=
当n增大时, |bn–cn| 减小,即An点在向椭圆短轴端点靠近,
即BnCn边上的高在增大,则f(n)=在增大
∴f(n)递增
．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2。。。an-1(n≥3),记
(n≥3).
(1)求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式;
(2)设,数列{}的前n项和为Sn,求证:n<Sn<n+1.
【答案】解:(1)方法一 当n≥3时,因①,
故②
②-①,得 bn-1-bn-2===1,为常数,
所以,数列{bn}为等差数列
因 b1==4,故 bn=n+3
方法二 当n≥3时,a1a2an=1+an+1,a1a2anan+1=1+an+2,
将上两式相除并变形,得
于是,当n∈N*时,

.
又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3(n∈N*).
所以数列{bn}为等差数列,且bn=n+3
(2) 方法一 因 ,
故 .
所以 ,
即 n<Sn<n+1
方法二 因,故>1,

=<<,
故<,于是
第(2)问,为了结果的美观,将Sn放缩范围放得较宽,并且可以改为求不小于Sn的最小正整数或求不大于Sn的最大正整数.
本题(2)的方法二是错误的,请不要采用.
注意
=<<,
故<,于是.
于是.(这一步推理是错误的)
．（江苏省泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷）已知函数同时满足:①不等式 的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在,使得不等式成立.设数列的前项和为
(1)求数列的通项公式;
(2)设各项均不为零的数列中,所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数,令(为正整数),求数列的变号数.
【答案】解:(1)由的解集有且只有一个元素知
或
当时,函数在上递增,此时不满足条件
综上可知

(2)由条件可知
当时,令或
所以或
又时,也有
综上可得数列的变号数为3
．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知各项均为正数的两个无穷数列、满足．
（Ⅰ）当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列的通项公式；
（Ⅱ）设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；
（Ⅲ）设，，求证：．
【答案】
．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）在数列中,,.(Ⅰ)设.证明:数列 是等差数列; (Ⅱ)求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ),,,
则为等差数列,,,
(Ⅱ)

两式相减,得.
．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）设数列的各项均为正实数,,若数列满足,,其中为正常数,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在正整数,使得当时,恒成立?若存在,求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值;若不存在,请说明理由;
(3)若,设数列对任意的,都有
成立,问数列是不是等比数列?若是,请求出其通项公式;若不是,请说明理由.
【答案】

．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知等比数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列.
①设,求数列的前项和;
②在数列中是否存在三项(其中成等差数列)成等比数列?求出这样的三项;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)由已知,,所以,
两式相减得,,解得,
又,解得,
故
(2)由(1),知
①,
,

故
②假设在数列中存在三项(其中成等差数列)成等比数列,
则,即
因为成等差数列,所以,(*)代入上式得: ,(**)
由(*),(**),得,这与题设矛盾
所以,在数列中不存在三项(其中成等差数列)成等比数列
．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列 前项和为,且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列前项和;
(3)在数列中,是否存在连续的三项,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数的值;若不存在,说明理由
【答案】解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
则

又,,解得
∴对于,有
故
(2)
(3)在数列中,仅存在连续的三项,按原来的顺序成等差数列,此时正整数的值为1,下面说明理由
若,则由,得
化简得,此式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立
若,则由,得
化简得
令,则
因此,,故只有,此时
综上,在数列中,仅存在连续的三项,按原来的顺序成等差数列,此时正整数的值为1
．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）在等比数列中.
(Ⅰ)已知,求;(Ⅱ)已知,求.
【答案】解:(Ⅰ)a1 = 3,a6 = 96,q5 = 32,q = 2,
∴S5 ==3×31=93
(Ⅱ)∵a1 =1,an = 81,∴q≠1,∴qn-1 = 81,∴Sn ==121
∴1–81q=121–121q,∴40q=120,∴q=3
．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知数列的前项的和为,点在函数 的图象上.
(1)求数列的通项公式及的最大值;
(2)令,求数列的前项的和;
(3)设,数列的前项的和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数的值.
【答案】解:(1)因为点在函数 的图象上.
所以,
当时,
当时,满足上式,所以.
又,且
所以当或4时,取得最大值12.
(2)由题意知
所以数列的前项的和为
所以,
相减得,
所以.
(3)由(1)得
所以
易知在上单调递增,所以的最小值为
不等式对一切都成立,则,即.
所以最大正整数的值为18.
．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）设等差数列的前项和为且.
(1)求数列的通项公式及前项和公式;
(2)设数列的通项公式为,问: 是否存在正整数t,使得
成等差数列?若存在,求出和的值;若不存在,请说明理由.
【答案】

．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知等差数列满足的前项和为.
(1)求及;(2)令,求数列的前项和.
【答案】解:(1)设等差数列的首项为,公差为,
由,解得
由于,所以
(2)因为,所以,因此
故,
所以数列的前n项和
．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?
【答案】

．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）(本题满分16分,第1小题 ,第2小题6分,第3小题6分)
设函数,数列满足.
⑴求数列的通项公式;
⑵设,若对恒成立,求实数的取值范围;
⑶是否存在以为首项,公比为的数列,,使得数列中每一项都是数列中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列的通项公式;若不存在,说明理由.
【答案】(本题满分16分,第1小题 ,第2小题6分,第3小题6分)
解:⑴因为,
所以
因为,所以数列是以1为首项,公差为的等差数列.
所以
⑵①当时,

②当时,

所以
要使对恒成立,
只要使.
只要使,
故实数的取值范围为
⑶由,知数列中每一项都不可能是偶数.
①如存在以为首项,公比为2或4的数列,,
此时中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以为首项,公比为偶数的数列
②当时,显然不存在这样的数列.
当时,若存在以为首项,公比为3的数列,.
则,,,.
所以满足条件的数列的通项公式为
．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）5.u.c.
已知等差数列中,.
(Ⅰ)求数列的前项和的最小值;
(Ⅱ)求数列的前项和.
【答案】解:(Ⅰ)a1 = –19,5a5 = 11a8,5(a1+4d) = 11(a1+7d),5a1+20d = 11a1 + 77d,
∴6a1 = –57d,即6×(–19) = –57×d,∴d = 2
∴an = –19 + (n-1)×2= 2n – 21
当an<0时,2n<21,n<,即当n≤10时,an<0,当n>11时,an>0
∴Sn最小值为S10-----------------------------------
S10 = 10×(–19)+ = –100
(Ⅱ)∵a10<0,a11>0
当n≤10时,Tn = –a1–a2–an= –Sn =–n2+20n
当n≥11时,Tn = –a1–a2–a10+a11+a12++an= Sn–2S10= n2–20n+200
–n2+20n n≤10
∴Tn =
n2–20n+200 n≥11
．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知等比数列的公比,前项和为成等差数列,数列的前项和为,其中.
(1)求数列的通项公式; (2)求数列的通项公式;
(3)设,求集合中所有元素之和.
【答案】

．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）设数列的前n 项和为,对任意满足,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前2n项和.
【答案】解:(Ⅰ)∵,①
∴当时,,②
以上两式相减得,
即,
∵,∴当时,有
又当时,由及得,
所以数列{ an }是等差数列,其通项公式为an=n
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以

．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）已知等差数列的前三项依次为,前项和为,且.
(1)求及的值;
(2)设数列的通项,证明数列是等差数列,燕求其前项和
【答案】解:(1)
(2)
．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）各项均为正数的等比数列,,,单调增数列的前项和为,,且.
⑴ 求数列、的通项公式;
⑵ 令,求使得的所有的值,并说明理由;
⑶ 证明中任意三项不可能构成等差数列.
【答案】解:(1)∵=,=4,
∵,∴q=2, ∴
∴b3==8. ∵+2 ①
当n≥2时,+2 ②
①-②得即
,单调增数列,,
∴=3,∴是公差为3的等差数列
由得,
(2)∵,∴=,
∴=2>1,=>1,=2>1,>1,<1,
下面证明当n≥5时,.
事实上,当n≥5时,=<0
即,∵<1 ∴当n≥5时,,
故满足条件的所有n的值为1,2,3,4
(3)假设中存在三项p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使ap, aq, ar构成等差数列,
∴ 2aq=ap+ar,即22q—1=2p—1+2r—1.∴2q—p+1=1+2r—p
因左边为偶数,右边为奇数,矛盾.
∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列
．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知数列的各项均为正数,其前项和,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项的和.
【答案】解:(1)当时,,即或,
因为,所以
当时,,
,
两式相减得:,
又因为,所以,所以,
所以;
(2)
,
又是首项为3,公差为2的等差数列,
所以,
故
．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）已知以a为首项的数列满足:
(1)若0<≤6,求证:0<≤6;
(2)若a,k∈N*,求使对任意正整数n都成立的k与a;
【答案】解:(1)当时,则,当时,则,
故,所以当时,总有
(2)①当时,,故满足题意的N*.同理可得,当或4时,满足题意的N*.当或6时,满足题意的N*
②当时,,故满足题意的k不存在
③当时,由(1)知,满足题意的k不存在
综上得:当时,满足题意的N*; 当时,满足题意的N*.
．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知等差数列的前项和为,公差成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的前项和.
【答案】解:(Ⅰ)依题意得

解得,

(Ⅱ),

∴
．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数表,其中第行共有个正整数,设表示位于这个数表中从上往下数第行,从左往右第个数.
(Ⅰ)若,求和的值;
(Ⅱ)记,
求证:当时,.
【答案】解:(Ⅰ)因为数表中前行共有个数,
则第行的第一个数是,所以,
因为,则,即.
令,则
(Ⅱ)因为,则,
所以
当时,

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