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代数的用处
——对小学算术教育的一点意见
一群雁的数学问题
有一只雁在天空飞，遇见迎面而来的一群雁。这只雁向这群雁打招呼：“你们好！100只雁！”
可是飞在前面的雁首领却回答说：“我们不是100只！如果你把我们的个数乘二再加上我们数目的一半，再加上我们数目的1／4，再加上你，那么我们才会有100。好！你自己去算算看。”
这单独飞行的雁继续飞，可是他却不知这群雁的数目字。这时他看到下面池塘有一只鹤在寻找青蛙。在所有的鸟群中，传说鹤是最好的数学家，他经常几小时用一只脚“金鸡独立”地站在池塘里来思考数学问题，专心地动也不动。
于是雁子飞下来向鹤先生打招呼，并告诉他所遇见到的难题。
鹤先生听了之后，就用他的啄嘴在泥地上划一条线代表一群雁，然后再划另外一条同样长度的线，划完之后又划第三条只是原来的线的一半，第四条是原先的1／4，最后有一小条像是一个点代表一只雁。
“现在你明白了没有？”鹤先生抬头问这只雁。
“还不明白。”
于是鹤先生解释这些线和点的意义：第一、二条线代表一群雁，第三条线代表雁群的一半，第四条线代表这雁群的1／4，一点代表一只雁。（见图一）

他现在擦掉那一点：“于是，所有地上的线条就代表99只雁。由于一条长线代表4个1／4雁群，现在地上的线条总共代表几个1／4雁群呢？”
雁子慢慢地加：4+4+2+1，最后回答：“11个。”
“如果11个1／4雁群有99只雁，那么一个1／4雁群有多少雁呢？”
“9只！”
“那么整群雁有多少呢？”
雁子将4乘9，然后回答：“36只！”
“对了！可是你却不会自己算出来。你真是一只愚蠢的雁子！”
这只雁被鹤先生一骂，脸都胀红起来，连忙飞走了。
以上的故事是50多年前一位苏联的数学教育工作者编造出来的。他在学校及一些数学通俗讲座讲这个故事，很受许多儿童欢迎。
我本身也很欣赏这个故事，利用儿童所熟悉的动物的性格来编故事，以此达到教育的目的，这是一个很好的方法，这可以使儿童避免对数学产生恐惧或枯燥的感觉。
我的恶梦
我不知道其他的大人先生会不会做梦，梦到小时候的生活？
如果我有时梦到小时候的生活，一梦到读书，那往往就是一场恶梦。这梦境多数是和上算术课有关：只见那凶神恶煞的算术老师拿着算术课本，在用念唐诗的姿态念一个问题的解法，那姿态颇像八段锦里的“摇头摆尾去心火”。
坦白讲我们的算术老师是个会算术的，他教应用问题，往往就是照书上的东西抄一篇在黑板，然后对着书以抑扬顿挫的声调念， 嗡嗡的声音，在炎热的课室里，弄得我们都张着嘴巴，流着口水，昏昏沉沉在打瞌睡。
有时他会河东狮吼地叫同学在黑板做问题：“学数！今有鸡兔同笼，头数有21，脚数有70，问鸡有多少头？兔有多少头？”
这时我会吓得两只小腿在那里抖，勉强站在黑板前，可是脑子里什么解题的方法也没有。刚才在昏昏沉沉作白日梦时，我想的是：“鸡兔在一起，难道鸡不会啄兔子吗？祖母养的鸡关进笼子里，我有时切青菜给它们吃，有些鸡还凶得啄我的手。小兔子和鸡关在里面不是要遭殃吗？”
现在惨了，刚才我还为兔子担心，现在轮到我遭殃了，我不知道怎么样解这鸡兔同笼的问题，老师有讲解这题的公式，可是我的脑子却连什么公式都装不进。
在黑板前呆了几分钟，老师不耐烦，开始骂了：“你们真是蠢，教都不会。伸出手来！”于是课堂上响起噼啪噼啪可怕的声音。最后我们回到坐位，用那火辣辣的红肿的手擦眼泪和鼻涕，一面心中希望这堂课早点结束，或者老师明天病了不必教书；一面恨死那算术。（我的心地还好，没有希望凶神呜呼哀哉。）
总的说，我们全班学生都不喜欢算术课，都怕算术课。我长大之后，有一次遇到小学时与我同班的同学，他一知道我去学数学，而且还教数学，他大吃一惊，第一个问题就是：“你还不怕算术吗？”
的确我还是怕算术，一个证明就是我做的恶梦，往往就是梦到我不会解算术问题，而吃老师的藤鞭。
我想许多上了年纪的先生或者妈妈们，大多数都有我这样惨痛的经历。到了以后读李清照的词，心有感触，回想到以前学算术的凄凉情景，于是用她的词句填下这样的东西：“寻寻觅觅（找解题的方法），冷冷清清（整个课室鸦雀无声），凄凄惨惨戚戚（吃了藤条之后）。半死不活时候，最难学习。三头十脚难题，怎敌他藤条心毒。”
有一次在一个国际性的会议上遇见一位曾经是从事数学工作，后改行从事新闻工作者的老前辈，和他聊起，他说我们中国人的算术课有些真的是要改革，他以前曾帮那一个亲戚的孩子解一个算术问题，却无从着手，其实这样的问题用代数一解就很容易解决了，也不必背什么公式。中国人的孩子精神负担太大，一方面要学那么多难于学好的中文字，一方面又要学那么深和难的算术。如果这孩子遇到好先生，学得好，可能脱颖而出成一个“神童”，可是大部分的孩子却要变成“蠢童”了。
存在“快乐的算术”
这老前辈的话，我认为是有道理的，我希望许多从事数学教育工作的朋友们也注意一下这个问题。算术课不必搞到那么烦琐恐怖，应该考虑孩子的身心发展和心理，编写和安排适合他们的教材，只要我们的教材改革得好，我敢肯定我们的下一代将会普遍喜欢数学，而科学人材将会大量产生出来。
我们知道爱因斯坦小时的数学就很好。他曾经回忆一件事，我觉得有复述的价值：爱因斯坦的叔父耶谷（Jakob）是一个电机工程师，本身是很喜欢数学。有一次小爱因斯坦问他：“代数”是什么东西？这叔父就解释：代数是一门快乐的科学，我们要去捕获我们不知名的小动物，我们把这东西称为x，然后我们根据这游戏的规则建立一些关系，最后我们就能很容易的捉到它。
耶谷叔叔要做生意，没有太多时间解释代数的内容给小爱因斯坦，于是找了一本讲代数的通俗、读物小书给他看。爱因斯坦一面读，一面用书里的方法来解决一些问题，于是在没有老师教导的情况下，他自己很快掌握了代数这门数学。
代数的确是一门很有威力的数学，我们现在就来看，利用代数怎么样能很容易解决前面一群雁和鸡兔同笼的问题。
我们就用耶谷叔叔所讲的方法，先考虑“一群雁”的问题。我们要知道那雁群的数目，可是我们现在却不知道这群雁有多少，因此我们就设这个未知数目为x。
我们现在把雁首领的话：“如果把我们的个数乘二再加上我们的数目的一半，再加上我们的数目的1／4，再加上你，那么我们才会有一

   x=36
你看！我们的作法是和鹤先生的方法一样！
现在让我们来考虑鸡兔同笼的问题，这问题的算术公式，我可以很坦白的说我到现在还记不起来，我想许多读者可以试试看用他所记得的算术方法去解这问题。
我们现在用代数就可以很容易解决，脑子里什么公式都不需要记。
假定我不知道鸡的数目和兔的数目，我先设鸡的头数是x，因为鸡头+兔头=21头，所以兔头=21-鸡头，即兔头=（21-x）。
我们知道鸡有两只脚，免有四只脚，现在我有x只鸡，因此应该有2x只鸡脚，而我有21-x只兔，所以应该有4×（21-x）只兔脚。现在已知鸡兔脚总共是70只。所以我们有下面的关系式：
2x+4×（21-x）=70
2x+84-4x=70
84-2x=70
84-2x+2x=70+2x
84-70=2x+70-70
所以                    14=2x
因此                    7 =x
所以鸡有7只，免有21-7=14只。你看我们不是很容易就解决这问题吗？
的确“代数”是一门“快乐的数学”，你不必因为学习它时需要挨打和掉眼泪，你可以马上利用它来解许多难题，这不是很好吗？
我不知道读者是在什么时候学代数，我是在初中一才在一个好老师教导下学代数，第一次遇见不令我害怕的数学，以后才慢慢喜欢数学。而在两三百年前，代数却是在大学才有得教的。
牛顿是17世纪时的大科学家，他有一个好朋友是皇家学会会长贝比斯（Pepys）。贝比斯最初从剑桥大学毕业，担任英国海军部合同处的法令秘书，可是他却连替英皇置办木材时需用的简单算术都不懂，事实上在那个时代，小学生的算术知识很不超过“2×2”的水平，算术不是普遍上教育，也没有得到广泛应用。贝比斯发现算术的用处，于是最初每天黎明四时起床，点灯背诵乘法表，不久妻子起床，和他一起学习，整个下午一起做算术习题。当她学会加、减、乘法之后，贝比斯不敢再教她除法，怕她难接受，改教她怎样学用地球仪，由此可以看出，时代在进步，人类要学的东西一天比一天深入和重要。
我现在认为20世纪快要结束，21世纪将到，重要的该学的知识越来越多，我们是应该把代数放在小学三年级来教了。我这样的提议可能有一些教算术的先生们会大吃一惊，这不是要敲破他们的饭碗吗？我说不要怕：如果小爱因斯坦能花一点时间自己看懂代数书，而小爱因斯坦小时并不是“天才神童”——人人称他为小“笨蛋”，那么我们聪明的大人先生们，只要花两个星期准备就可以一面学习，一面教代数了。而且你会发现教代数还比教那些复杂的四则应用算术问题还容易。有什么好怕呢？
我们中国人是有一个大缺点：思想很保守，不喜欢改革。1000年的好东西就抱残守缺，不肯动脑筋改变一下。例如就像我的祖母小时要缠脚，辛亥革命之后把皇帝赶走，辫子剪掉，小脚解放，可是却在那时候及民国十几年，还有些人认为女人脚绑成三寸金莲还是好的，还有无聊文人写诗赞美那小脚。我的祖母读书不多，却不要脚再束缚，于是不顾其他人反对，把她的脚解放，虽然已经不幸畸型，但到现在还跑得比她年轻有缠脚的老妇女还要稳当。
我祖母生下我父亲时，祖父买了一个暖水瓶，等到我结婚时也买一个暖水瓶，我一瞧这个暖水瓶的样子是和祖母的那个“老古董”一模一样。去年年初，在美国遇见中国数学家陈景润，景润从他的国内带来的暖水瓶倒热水泡茶请我喝，我好奇的拿他的大暖水瓶一瞧。我的天！还是完全和我的老祖母年青时用的一样。而日本人制的暖水瓶早作许多改良，比我们精巧和实用的多，我们还在那里踏步不前，不舍得做一些改革。我祖母在我小时就常讲：“如果你认为对的事和对的话，就应该讲和做，不要怕其他人反对。”因此我在这里提出我的对数学教育的看法，希望有识之士不要因为保守思想作祟而鸣鼓攻之。
事实上在中国北京，前年就有一个小学女教师在她的班上的算术课，试教一点代数（如果我没搞错，她的学生是在五、六年级），成绩不错。很受学生欢迎。我希望她的经验能普及到全中国的小学，而且放到三年级开始，这样我们的孩子不必花大多冤枉时间和气力，而且以后可以早一些学到较深入的数学。
另外一个例子
我翻看一本中国1978年12月出的小学数学教师参考书：《算术》（这是由上海市中等师范学校教材编写组和上海市安亭师范学校数学教研组合编写的书）。在这书的256页有一个例题，我现在抄下来：
“两箱茶叶共有176斤。从甲箱取出30斤放入乙箱后，甲箱比乙箱多12斤。两箱原有茶叶各多少斤？”
这参考书中这样解释：“从甲箱取出30斤放入乙箱后，如果两箱茶叶正好相等的话，那么原来甲箱一定比乙箱多60斤（30斤×2）。现在这样做后，甲箱仍比乙箱多12斤，所以甲箱应比乙箱多72斤（30斤×2+12斤）。通过下面的线段图（图二），可以更明显地看出相差的斤数。

解  a）原来甲箱比乙箱多多少斤？
30×2+12=72（斤）
b）乙箱原有茶叶多少斤？
（176-72）÷2=52（斤）
c）甲箱原有茶叶多少斤？
176-52=124（斤）
或  52+72=124（斤）
答：甲箱原有茶叶124斤，乙箱原有茶叶52斤。
从上面可以看出，对于较复杂的应用题，利用线段图等，还常常可以使我们易于找出线索，并进而找到解题的方法。
我想如果小学生能学懂以上这样（对我来说）复杂的方法，我想没有理由他们学不懂下面这样的方法：
假定甲箱原有x斤。
依题意：甲箱+乙箱=176斤
所以    乙箱=（176-x）斤
甲箱取出30斤放入乙箱，这时甲箱有x-30斤。而乙箱有（176-x）+30=206-x斤。根据题意甲箱这时比乙箱多12斤。因此（x-30）-（206-x）=12
即            x-30-206+x=12
2x=12+30+206=248

乙箱=176-x=176-124=52斤
你看！这不是很明白易懂，而且易算吗？
这样好的数学方法不在儿童小时就教，反而去教那样解释多多的算术解法，打个比方：要这些小孩子准备往科学道路长征，不但不教他们怎样轻装出发，学会节省体力，反而一开始就把没有什么大用的瓶瓶罐罐，要他们背着走，走不了多远，他们负担增加，会精疲力尽，最后只能遥望科学宝宫的大门兴叹，因为“行不得也哥哥”，没有兴趣没有劲啦！
整数表示为连续整数的和
有一个数学现象是很有趣而且奇怪，我以前曾经花一段时间要知道为什么会如此，如果知道一点代数，这个问题就会很容易被解决。
我们看1，2，3，4，5，…一直下去，其中有许多整数是有这样的奇怪性质，它可以用前面的一串连续整数的和得到。例如3=1+2，4不行，5=2+3，6=1+2+3，7=3+4，8不行，9=4+5，10=1+2+3+4，11=5+6，12=3+4+5，13=6+7，14=2+3+4+5，15=7+8=1+2+3+4+5。
读者可以自己继续算下去，你会发现许多有趣的现象，“欲知有何神奇，需待自身探秘”，我没有必要在这里一一讲出，这会使你失去对这问题研究的兴趣。
如果你一直算到200，你会发现从100开始，我们有100=18+19+20+21+22，101=50+51，102=33+34+35，103=51+52，104=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14等等，而从 100到200之间，只有一个数128是唯一你没法用连续整数的和来表示它。对这问题我敢拿出1000元与你挑战，你一定没法找到，如果你能找到我就奉送这1000元。可是我相信我这1000元是太平无事，因为世界上没有一个人能表示128为连续整数的和。
我们现在问几个问题：（1）什么样的整数才能表示为连续整数的和？我们看到2，4，8，16，32，64，128等等都不行，这些数都是 2k的样子，是否形如 2k的数都不能有这样的表示？（2）那些能表示为连续整数的整数的个数是否无穷还是有限？从我们实际验算，我们多数会猜测它们应该是有无穷，可是怎么证明呢？
好，假如我现在有一个整数N，而我能找到一串连续整数的和来表示它。我们现在假定这连续整数开头是 x，x+1，…，y。
即：N=x+（x+1）+…+y
读者还记得小高斯怎么算1+2+3+…+100的故事吗？（见：《数学和数学家的故事》（一）的“级数趣谈”）我们要用他发现的公式来算N：
N={1+2+3+…+x+（x+1）+…+y}-{1+2+3+…+（x-1）}

现假定x+d=y（这里d≥1），代入上式可得：

现在我们对d来考虑：

情形2 d是奇数，则1+d是偶数，而2x+d是奇数。
因此不管d是偶数或奇数，N一定有一个因子是奇数。现在我们见到凡是形如2k的数，都没有奇因子，因此这样的数一定不能表示为连续整数的和。
自学材料
（1）读苏联人别列捷夫写的：《趣味代数》一书，及我的小书中的“代数趣谈”和“级数趣谈”两文。
（2）试试写出所有16到200的整数的所有可能连续整数和的表示。
（3）观察那一些整数有两种以上的表示法，研究它们有什么特殊性质。
（4）是否所有的奇素数都可以表示成连续整数和？
（5）如果两个整数能表示成连续整数和，它们的积是否也能表示成连续整数和？
（6）判断怎么样的整数才能表示为连续整数的和？
（7）寻找出一个方法可以对给定的整数N，很快找出连续整数来表示它的和。
（8）对于那些能用连续整数和表示的奇素数，研究这素数和它的连续整数的关系，这里面会有许多美丽的性质等待你去发掘。
（9）我们将整数序列1，2，3，4，5，……照下面的形式排：
1                              =1
2+3+4                           =1+8
5+6+7+8+9                       =8+27
10+11+12+13+14+15+16             =27+64
由以上的这几个例子，你可以猜一般的规律，试试用数学式子表达这规律，并且找出证明你的观察是正确的方法。
如果你将第一行加上第二行，你看到：

右边=1+1+23
所以 1+23=10-1=9=32
如果第一行加第二行加上第三行，你可以得到：

右边=1+（1+23）+（23+33）
所以1+23+33=45-1-23=36=62
观察一个时候，你试试看是否由此你能找到13+23+33+…