专题08-动量定理及动能定理-学案1.doc

专题08 动量定理和动能定理
1.考点分析：动量定理、动能定理是近几年高考中的热点中的热点。高考对动量定理和动能定理的运动考查频率很高。
2.考查类型说明：
动量定理单独应用多以选择题为主，动量定理、动能定理综合应用主要在计算题中。
3. 考查趋势预测：
动量定理、动能定理综合应用依然为命题热点。解决这类问题，一是强调分清两定理的应用条件；二是要理清问题的物理情境；有针对的单独或综合应用往往会较顺利的解决问题。
【知识储备】
内　　　容
说　　　明
能级要求
Ⅰ
Ⅱ
动量定理
 只限于一维情况

 √ 
动能定理
合外力的功有两种求法

 √ 
【动量定理】
一、冲量
1.定义：力和力的作用时间的乘积叫做力的冲量.
2.表达式：I=F·t.
说明：
①冲量是描述力对时间积累效应的物理量，所以说冲量是一个过程量.
②I=F·t中的力是指恒力，即恒力的冲量可用力和时间的乘积来计算，冲量大小与物体是否运动无关.
③计算冲量时，要明确是哪个力在哪一段时间内的冲量.
3.冲量是矢量：冲量的方向与动量变化量的方向相同，恒力的冲量，其方向与力的方向一致.
4.冲量的单位：在国际单位制中是“牛顿·秒”，符号为“N·S”且1N·S=1kg·m/s动量的单位和冲量的单位实际上是相同的，但在独立计算时要用各自的单位.
二、动量
1.定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量.
2.表达式：P=mv.
说明：
①动量和速度一样是描述物体运动状态的物理量，当物体运动状态一定时，物体的动量就有确定的数值.
②动量具有瞬时性，当物体变速运动时，应明确是哪一时刻或哪一位置的动量.
③动量具有相对性，由于速度与参考系的选择有关，一般以地球为参考系.
3.动量是矢量，动量的方向和速度方向相同.
说明：
①如果物体在一条直线上运动，在选定一个正方向后，当物体的运动方向和正方向相同时，可以用“+”号表示动量的方向，当物体运动方向和正方向相反时，可以用“-”号表示动量的方向.
②大小、方向完全相同的两个动量是相等的.
4.动量的单位：在国际单位制中是“千克·米/秒”符号为“kg·m/s”.
三、动量的变化
1.定义：物体的末动量与初动量之矢量差叫做物体动量的变化.
2.表达式：△P=m·△v.
说明：
①动量的变化等于未状态动量减初状态的动量，其方向与△v的方向相同.
②动量的变化也叫动量的增量或动量的改变量.
四、动量定理
1.动量定理内容：物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化，这个结论叫做“动量定理”。
2、数学表达：
3、动量定理理解：
⑴上述公式是一矢量式，运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向.
⑵动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系，对物体系，只需分析系统受的外力，不必考虑系统的内力，系统的内力作用不改变整个系统的总动量.
⑶动量定理是根据牛顿第二定律F=ma和运动学公式vt=v0+at，在作用力是恒定的情况下推导出来的，因此，用牛顿第二定律和运动学公式能解的恒力作用下的匀变速直线运动的问题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便.但是，动量定理不仅适用于恒力，也适用于随时间变化的力.对于变力，动量定理中的力F应理解为变力在作用时间内的平均值.
⑷公式Ft=△p中的F是指物体或物体系所受的合外力，Ft是指合外力的冲量. 如果合外力F是恒力，合外力的冲量方向合外力方向一致。当作用时间t极短，物体之间的相互作用力F>>mg时，mg可忽略，否则mg不可忽略.
⑸由F=ma得，这是牛顿第二定律的另一种表达形式，它的物理意义是：合外力F等于物体动量的变化率，两者大小相等，方向相同。
若物体做直线运动，在这一直线上物体受到力F1、F2……作用，这些力的作用时间分别为t1、t2……，则有F1t1+F2t2……=mv2－mv1，表明各力冲量的代数和等于物体动量的增量。
(6)“冲量”可以使物体的“动量”发生下列三种形式的变化：
物体动量的大小发生了变化，而方向没有变化。
物体动量的方向发生了变化，而大小没有变化。
物体动量的大小和方向都发生了变化。
【动能定理】
一、动能
1.定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能.
物体的动能等于物体质量m与物体速度v的二次方v2的乘积的一半.
2.表达式：Ek=mv2/2单位：焦耳(J)
3.理解
⑴动能是状态量，只与运动物体的质量以及速率有关，而与其运动方向无关.
⑵动能是标量，只有大小，没有方向，动能总为正值.
⑶动能具有瞬时性，与某一时刻或位置相对应.
⑷动能具有相对性，对于不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，动能也就有不同的瞬时值.在研究物体的动能时一般都是以地面为参考系的.
二、动能定理
1、内容：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量.
动能定理也可叙述为：合外力对物体所做的功，等于物体动能的增加；物体克服外力所做的功，等于物体动能的减少.
2、公式：W总=mv22/2-mv21/2
3、关于动能定理
（1）动能定理虽然是在恒力作用、物体做匀加速直线运动的情况下推导出来的，但对于外力是变力，物体做曲线运动时，动能定理同样适用。
（2）动能定理对应的是一个过程，并且它只涉及到物体初末状态的动能和整个过程中合外力的功，不涉及物体运动过程中的加速度、时间和中间状态的速度、动能，因此用它处理问题比较方便。
（3）一个物体所进行的复杂的运动往往是由若干个过程或阶段组合而成。对于一个多过程问题，若不需要计算过程与过程间的各物理量时，可优先考虑用整体的方法对全过程用动能定理。动能定理除了适用于单个物体（质点）外，还可用于由多个物体组成的质点组，因而动能定理的应用极为广泛。对质点组问题一般的解题方法是：在力的分析、运动状态分析的基础上，找出质点之间物理量和几何制约关系，然后分别对各个质点运用动能定理列出方程，最后联列各方程求解。
（4）动能定理中的外力包含一切外力，含重力和弹簧弹力。外力总功的计算：
①先求出合外力，再利用计算功，此时应是合外力与位移s间的夹角。
②先分别求出各个外力的功，再求各个外力功的代数和，即…。
（5）动能是标量，只有大小，没有方向。不能由于速度是指向某一方向就说动能是指向那一方向的，更不能把动能沿不同方向分解，建立所谓动能定理的分量式。
4、 动能和动量的区别与联系
（1）动能和动量都是描述某一时刻物体的运动状态的物理量，动能是标量，与物体的速度方向无关；动量是矢量，其方向与速度方向相同。
（2）由动能定理可知，动能的变化等于合外力的功；由动量定理可知，动量的变化等于合外力的冲量。
5、基本处理思想：
应用动量定理和动能定理时，研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统，而应用动量守恒定律和机械能守恒定律时，研究对象必定是系统；此外，这些规律都是运用于物理过程，而不是对于某一状态（或时刻）。因此，在用它们解题时，首先应选好研究对象和研究过程。对象和过程的选取直接关系到问题能否解决以及解决起来是否简便。选取时应注意以下几点：
①．选取研究对象和研究过程，要建立在分析物理过程的基础上。临界状态往往应作为研究过程的开始或结束状态。
②．要能视情况对研究过程进行恰当的理想化处理。
③．可以把一些看似分散的、相互独立的物体圈在一起作为一个系统来研究，有时这样做，可使问题大大简化。
④．有的问题，可以选这部分物体作研究对象，也可以选取那部分物体作研究对象；可以选这个过程作研究过程，也可以选那个过程作研究过程；这时，首选大对象、长过程。
【典例分析】
例题1.质量为m的钢球自高处落下，以速率v1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为v2，在碰撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和大小为
(A)向下，m(v1－v2)
(B)向下，m(v1+v2)
(C)向上，m(v1－v2)
(D)向上，m(v1+v2)
答：[ ]
考点分析：
这是一个涉及概念、规律、计算的选择判断题，要求学生掌握
1.牛顿第三定律──作用力与反作用力。钢球与地面碰撞时彼此互相作用；钢球对地握：面施力，方向向下；地面对钢球施力，方向向上。
2.冲量的方向由力的方向决定。
3.物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化，即：
4.动量是矢量，因此动量的变化应当是矢量之差，而不是算术减法。（注：既使现在中学物理不要求在动量之上画矢量符号，但我们应牢记矢量差与标量差是不相同的。）
5.在同一直线上的矢量，若用正、负号来表示，则可定一正方向，与此方向相同的矢量值取正；与此方
向相反的矢量值取负。就本题而言，我们可取向上为正方向，则向上的速度以+v2表示；向下的速度就应以－v1表示了。（注意：此时的v1与v2只表示速度的数值，而字母前的正、负号表示速度方向，这样才能全面地体现两个不同的矢量。最后再强调一次，只有在这种同一直线上的方向不同的矢量才有可能用正、负号区分，对于不在同一直线上的矢量，就只能运用“平行四边形法则”处理了。）
解题思路:
从题目所给的四个选项来看，(A)、(B)的前半是“向下”；(C)、(D)的前半是“向上”，因此先由冲量的方向入手就可淘汰掉两个选项，然后再从剩余的两个选项中选出其中大小正确的一个，就可获得正确答案。
在“ 考点分析1”中，我们已分析出地面对钢球施力的方向是向上的。再结合“考点分析2”的知识，就可确定地面对钢球的冲量方向是向上的，因此我们先淘汰掉了(A)、(B)。
再根据“考点分析3、4、5”的分析，以向上为矢量之正方向，则本题中的就应以“+”来表示（正号可以不写）；就应以“－v1”表示了。将“+v2”和“－v1 ”代入动能定就可以写出下式：

由此判断出(D)是正确的。
正确答案是：(D)。
失分陷阱:正方向的选取和初、末动量正负的确定。
例题2：如图所示：质量是m的质点，以匀速率v作圆周运动，圆心在坐标系的原点O。在质点从位置1运动到位质2的过程中作用在质点上的力的冲量的大小是多少？冲量的方向与x轴成多大角度？（逆时针计算角度）
考点分析：
计算冲量的大小主要有下述的两种方法：
第一种方法是：根据冲量的概念求解。即将已知的力和作用的时间t代入下式：
（只求数值大小可不写矢号）
第二种方法是：根据“动量定理”求解。即用已知的和求出代入下式：
=△=－
x
mv1
mv1
mv2
α
Δmv
图10-2
因为在本题的已知条件中没有给出和t，所以解答本题应采用第二种方法。

解题思路:
从本题所给的已知图中可以分析出：质点通过位置1时动量的方向是向上（或向北的；通过位置2时动量的方向是向左（或向西）的。（这两个矢量是彼此垂直的）
如图10—2所示：我们根据已知的和运用平行四边形法则用图解法求出了△=－。
已知质量是m的质点以匀速率v作圆周运动（即数值v1=v2=v），因此和的方向虽然不同，但数值的大小是相等的。根据“勾股弦定理”可以写出下式并进行推导运算：

根据“动量定理”可求出作用在质点上的力的冲量的大小：

因为是等腰直角三角形，所以上图中的α角为45°，若按题目的要求“逆时针计算角度”，则冲量的方向与x轴的夹角为：
90°+90°+45°=225°
正确答案是：作用在质点上的力的冲量的大小是，冲量的方向与x轴成225°角。
失分陷阱:
物体做匀速圆周运动就是一个典型的例子。因为此时物体运动的速率v不变，质量m也不变（不考虑相对论效应），所以其动量的大小mv是不变的。但是物体运动的线速度的方向是在不断变化的，所以动量的方向是变化的。因此，做匀速圆周运动的物体，其动量是变化的。
例题3儿童滑梯可以看作是由斜槽AB和水平槽CD组成，中间用很短的光滑圆弧槽BC连接，如图10-3所示。质量为m的儿童从斜槽的顶点A由静止开始沿斜槽AB滑下，再进入水平槽CD，最后停在水平槽上的E点，由A到E的水平距离为L。假设儿童可以视为质点，已知儿童的质量为m，他与斜槽和水平槽间的动摩擦因数都为μ，A点与水平槽CD的高度差为h。
（1）试分析说明，儿童沿滑梯滑下通下通过的水平距离L与斜槽AB跟水平面的夹角无关。
（2）要使儿童沿滑梯滑下过程中的最大速度不超过，斜槽与水平面的夹角不能超过多少？（可用反三角函数表示）
考点分析 本题主要考查动能定理的应用。
解题思路
（1） 设斜槽AB跟水平面的夹角为а。儿童在斜槽上受重力mg，支持力和滑动摩擦力，。儿童在水平槽上受重力mg，支持力和滑动摩擦力，。儿童从A点由静止滑下，最后停在E点，由动能定理，有，解得，它与а角无关。
（2）儿童沿滑梯滑下的过程中，通过B点的速度最大，显然，倾角а越大，通过B点的速度越大，设倾角为时有最大速度，由动能定理，有
解得最大倾角

失分陷阱
本题在解答时，应采用对全程应用动能定理运算，这样可以方便快捷，提高计算速度，当然也是容易出错误的。
例题4
某地强风的风速是20m/s，空气的密度。一风力发电机的有效受风面积S=20m2，如果风通过风力发电机后风速减为12 m/s，且该风力发电机的效率%，则风力发电机的电功率为多大？风作用于风力发电机的平均力为多大？
考点分析
本题主要考查动量定理和动能定理的综合应用。
解题思路
（1）风力发电机是将风的动能转化为电能，讨论时间t内的能量转化。这段时间内通过风力发电机的空气是一个以S为底、为高的横放的空气柱，其质量为，它通过风力发电机所减少的动能用以发电。设电功率为P，则
带入数据解得：P=53KW。
（2）设风作用于风力发电机的平均力为F，则
带入数据解得：F=4160N。
正确答案是：4160N。
失分陷阱
利用动量定理和动能定理对于变质量问题如何化为定质量问题是失分的要点。
例5离子推进器是新一代航天动力装置，可用于卫星姿态控制和轨道修正。推进剂从图中P处注入，在A处电离出正离子，BC之间加有恒定电压，正离子进入B时的速度忽略不计，经加速后形成电流为I的离子束后喷出。已知推进器获得的推力为F，单位时间内喷出的离子质量为J。为研究问题方便，假定离子推进器在太空中飞行时不受其他外力，忽略推进器运动速度。
⑴求加在BC间的电压U；
⑵为使离子推进器正常运行，必须在出口D处向正离子束注入电子，试解释其原因。
考点分析
本题考察了动能定理、动量定理及牛顿定律的知识，
解题思路
⑴设一个正离子的质量为m、电荷量为q，加速后的速度为v，根据动能定理有：

设离子推进器在Δt时间内喷出质量为ΔM的正离子，并以其为研究对象，推进器ΔM的作用力F/，由动量定理有：F/Δt＝ΔMv
由牛顿第三定律知：F/＝F
设加速后离子束的横截面积为S，单位体积内的离子数为n，则有：
I＝nqvS
J＝nmvS
两式相比可得：
又：
解得：
⑵推进器持续喷出正离子束，会使带有负电荷的电子留在其中，由于库仑力作用，将严重阻碍正离子的继续喷出，电子积累足够多时，甚至会将喷出的正离子再吸引回来，致使推进器无法正常工作。因此，必须在出口D处发射电子注入到正离子束，以中和正离子，使推进器获得持续推力。

例6如图, 一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮, 绳两端各系一小球a和b. a球质量为m, 静置于地面; b球质量为3m, 用手托住, 高度为h, 此时轻绳刚好拉紧. 从静止开始释放b后, a可能达到的最大高度为
A. h
B. 1.5h
C. 2h
D. 2.5h
【标准答案】B
【试题解析】b到达地面时，由机械能守恒定律得：，所以。B落地后，a仍继续上升，由机械能守恒定律又得：，故a可能达到的最大速度为。
【高考考点】机械能守恒定律的应用 竖直上抛运动
【易错提醒】不能正确分析b球落地后，a球的运动情况
【备考提示】 力学中物体的运动通常会与能量的分析结合在一起，该类问题有时也可以利用牛顿运动定律进行分析（适用于恒力作用下，物体的运动），但应用能量观点解答时，往往可以快速、准确进行分析求解．
例7某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”，四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数宇均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以v=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b 点进人轨道，依次经过“8002 ”后从p 点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3 ，不计其它机械能损失。已知ab段长L=1 . 5m，数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0 .0lkg ，g=10m/s2 。求：
( l ）小物体从p 点抛出后的水平射程。
( 2 ）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。

解：( l ）设小物体运动到p 点时的速度大小为v，对小物体由a 运动到p 过程应用动能定理得-μmgL-2Rmg=mv2-mv02 ①
小物体自p 点做平抛运动，设运动时间为：t，水平射程为：s则
2R=gt2 ②
s=vt ③
联立①②③式，代人数据解得
s=0.8m ④
( 2 ）设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F ．取竖直向下为正方向
F＋mg= ⑤
联立①⑤式，代人数据解得
F=0.3N ⑥
方向竖直向下

例8总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v－t图，试根据图像求：（g取10m/s2）
（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。
（2）估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功。
（3）估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。
解：（1）从图中可以看邮，在t＝2s内运动员做匀加速运动，其加速度大小为
m/s2=8m/s2
设此过程中运动员受到的阻力大小为f，根据牛顿第二定律，有mg－f＝ma
得 f＝m(g－a)＝80×(10－8)N＝160N
（2）从图中估算得出运动员在14s内下落了
39.5×2×2m＝158
根据动能定理，有
所以有 ＝（80×10×158－×80×62）J≈1.25×105J
（3）14s后运动员做匀速运动的时间为
s＝57s
运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间
t总＝t＋t′＝（14＋57）s＝71s