演绎推理1.doc

2.1.2 演绎推理

1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。.
2、重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.。难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.

预习导引-------温故才能知新 为课前预习奠基
1.演绎推理:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理
三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
2、合情推理；演绎推理：由一般到特殊.
预习自测---------评价预习效果 为突破难点奠基
1．下列说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．其中正确的有________．
解析：根据演绎推理的含义，可知①③④是正确的．
答案：①③④
2．下面几种推理过程是演绎推理的是________．
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠1和∠2是两条平行直线的同旁内角，那么∠1＋∠2＝180°；
②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；
③某校高三年级共有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人；
④在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式．
解析：②为类比推理，③④均为归纳推理，①为演绎推理．
答案：①
3．下面是分析喜马拉雅山所在的地方曾经是一片汪洋的推理过程：鱼类、贝类等都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里；在喜马拉雅山上发现了它们的化石；
所以，喜马拉雅山曾经是一片汪洋．
上述推理是________，推理的模式是________．
解析：显然符合三段论的形式，所以是演绎推理，也就是从一般到特殊的推理．
答案：演绎推理　三段论
解析：大前提、小前提都正确，推理形式也正确，故推理是正确的．
答案：③
4、用演绎推理证明“y＝x2(x＞0)是增函数”时的大前提为________．
解析：证明函数的单调性一般是根据函数单调性的定义．
答案：增函数的定义
5．函数y＝3x＋8的图象是一条直线，用三段论表示为：
①大前提：__________________________________________________________________.
②小前提：__________________________________________________________________.
③结论：____________________________________________________________________.
答案：①一次函数的图象是一条直线　②函数y＝3x＋8是一次函数　③函数y＝3x＋8的图象是一条直线

预习小结---------梳理知识 体悟脉络 为落实要点奠基

预习小结栏

要点一：利用三段论解决函数问题
例1：已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.
（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M；
【解题思路】函数f(x)是否属于集合M，要看f(x)是否满足集合M的“定义”，
[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=
（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.
于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M.
【导引】学会紧扣“定义”解题
变式跟踪练习
1用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．
[证明]　若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数 大前提
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提
∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论
要点二：利用三段论解决几何问题。
例2：用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.
[证明]　如下图延长AB，DC交于点M.

①平行线分线段成比例大前提
②△AMD中AD∥BC小前提
③＝结论
①等量代换大前提
②AB＝CD小前提
③MB＝MC结论
在三角形中等边对等角大前提
MB＝MC小前提
∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论
等量代换大前提
∠B＝π－∠1　∠C＝π－∠2小前提
∠B＝∠C结论
【导评】应用三段论证明几何问题。

变式跟踪练习2设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．
[解析]　(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0.
∴上述条件等价于y1＝y2⇔x＝x⇔(x1＋x2)(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过点A、B的直线方程为y＝－x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋x－m＝0，得x1＋x2＝－.
A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝＋8m>0，即m>－.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝－x0＋m＝＋m.
由N∈l，得＋m＝－＋b，于是b＝＋m>－＝.
即得l在y轴上截距的取值范围是.

1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是(　　)
A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案]　B
[解析]　由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
2、“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理(　　)
A．大前提错 B．小前提错 C．推论过程错 D．正确
[答案]　C
[解析]　大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.
3、以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案]　若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析]　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
4、定义[x]为不超过x的最大整数，则[-2.1]=
点拨：“大前提”是在找最大整数，所以[-2.1]=-3
5、(2010珠海质检理)定义是向量a和b的“向量积”，它的长度为向量a和b的夹角，若= .
[解析]

基础篇-------落实课标要求
1.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
答案：C
2.下面几种推理过程是演绎推理的是 (　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
解析：两条直线平行，同旁内角互补┄┄┄┄┄┄大前提
∠A，∠B是两条平行直线被第三条直┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄小前提
∠A＋∠B＝180°┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄结论
故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．答案：A
3.“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝()x是指数函数(小前提)，所以y＝()x是增函数(结论)”，上面推理的错误是 (　　)
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提错都导致结论错
解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．答案：A
4.在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为(　　)

[答案]　A
[解析]　如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；
如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.

提升篇-------深化课标要求
5．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：
现在加密密钥为y＝loga(x＋2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为 (　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
解析：∵loga(6＋2)＝3，∴a＝2，即加密密钥为y＝log2(x＋2)，当接到的密文为4时，即log2(x＋2)＝4，∴x＋2＝24，∴x＝14. 答案：C
6、对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则………（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，，解得，所以正确答案为（B）．
点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把该题还原为：已知复数满足，则_____________．
7.求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
[答案]　log2x－2≥0
[解析]　由三段论方法知应为log2x－2≥0.
能力篇-------迁移灵活运用
8.某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入中的某个字母）
解析：因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多
注：从分式的性质中寻找S值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到
9、四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
[答案]　四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等
[解析]　设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝S△AOB·h，

又S△AOB＝|AB|d(d为O到直线AB的距离)．
因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．
10.用三段论写出求解下题的主要解答过程．
若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．
[解析]　推理的第一个关键环节：
大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，
小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，
结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．
∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．
推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，
结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
以下可得出结论a＝－4.
高考篇-------了解高考走向
11、.(2009·广东高考)广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 （ ）

A
B
C
D
E
A
0
5
4
5
6
B
5
0
7
6
2
C
4
7
0
9
8.6
D
5
6
9
0
5
E
6
2
8.6
5
0
A.20.6 B．21 C．22 D．23
解析：首先以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过1次的可能性有A种，即ABCDE，ABDCE，ACBDE，ACDBE，ADBCE，ADCBE，分别计算得ACDBE最短，且最短距离为21. 答案：B
12、(2010·重庆理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝________.[答案]　
[解析]　令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)
即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)　①
令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)　②
由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(x＋2)
∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)
∴f(x)＝f(x＋6)
即f(x)周期为6，
∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0)
对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得
4f(1)f(0)＝2f(1)，
∴f(0)＝即f(2010)＝.