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一、选择题
1．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3×2x(x∈N＋)，其中正整数指数函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数．
【答案】 BX k B 1 . c o m
2．函数f(x)＝()x，x∈N＋，则f(2)等于( )
A．2 B．8
C．16 D.
【解析】 ∵f(x)＝(x)x∈N＋，
∴f(2)＝()2＝.
【答案】 D
3．(2013·阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为( )
A．y＝(－2)x B．y＝2x
C．y＝()x D．y＝(－)x
【解析】 设y＝ax(a＞0且a≠1)，
由4＝a2得a＝2.
【答案】 B
4．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是( )
A．a<0 B．－1<a<0
C．0<a<1 D．a<－1
【解析】 ∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，
∴0<a＋1<1，X|k | B| 1 . c|O | m
∴－1<a<0.
【答案】 B
5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为( )
A．2 400元 B．2 700元
C．3 000元 D．3 600元
【解析】 1年后价格为
8 100×(1－)＝8 100×＝5 400(元)，
2年后价格为
5 400×(1－)＝5 400×＝3 600(元)，
3年后价格为
3 600×(1－)＝3 600×＝2 400(元)．
【答案】 A
二、填空题X|k | B| 1 . c |O |m
6．已知正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)()x(x∈N＋)，则m＝______.
【解析】 由题意得m2＋m＋1＝1，
解得m＝0或m＝－1，
所以m的值是0或－1.
【答案】 0或－1
7．比较下列数值的大小：
(1)()3________()5；
(2)()2________()4.
【解析】 由正整数指数函数的单调性知，
()3<()5，()2>()4.
【答案】 (1)< (2)>
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．
【解析】 由题意知，下一年的垃圾量为a×(1＋b)，从2012年到2020年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a×(1＋b)8.
【答案】 a×(1＋b) a×(1＋b)8
三、解答题
9．已知正整数指数函数f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，x∈N＋是减函数，求实数m的值．
【解】 由题意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝或m＝2，又f(x)是减函数，则0<m<1，所以m＝.X Kb 1. C om
10．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
【解】 (1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，
∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．
11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图像；
(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)．
【解】 (1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2m，m∈N＋)}；
(2)0≤t<6时，f(t)为一分段函数，新 课 标 第 一 网
y＝
图像如图所示．
(3)n为偶数且n≥0时，y＝2＋1；
n为奇数且n≥0时，y＝2＋1.
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