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专题限时集训(十四)
[第14讲 圆锥曲线的定义、图形、方程与性质]
(时间：45分钟)
1．已知抛物线y2＝16x的准线经过双曲线－＝1(a>0)的一个焦点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B. C. D．2
2．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为( )
A．3 B.或
C. D.或3
3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．－2 B．－
C．1 D．0
4．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
5．已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆C上异于A1，A2的点P恒满足kPA1·kPA2＝－，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
6．已知P点是以F1，F2为焦点的双曲线－＝1上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝2，则此双曲线的离心率等于( )
A. B．5
C．2 D．3
7．设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为( )
A. B．1
C. D.
8．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝13
B．a2＝
C．b2＝2
D．b2＝
9．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率为________．
10．短轴长为，离心率e＝的椭圆的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________．
11．F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
12．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e＝，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x－y－3＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线y＝x交椭圆C于A，B两点，D为椭圆上异于A，B的点，求△ABD面积的最大值．
13．已知定点F(0，1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求·的最小值．
图14－1
14．设椭圆E：＋＝1(a>0，b>0)过点(，)，(2，)，MN为圆C：x2＋y2＝的一条直径，点O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P是椭圆E上任意一点，求·的取值范围；
(3)设直线l是过点M与圆C相切的一条直线，并与椭圆E交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆恒过点O.
专题限时集训(十四)
【基础演练】
1．C [解析] 因为抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，所以双曲线的半焦距为c＝＝4，解得a＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝.
2．D [解析] 当焦点在x轴上时，＝，解得m＝3；当焦点在y轴上时，＝，解得m＝.
3．A [解析] 设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1，0)，F2(2，0)，则有y2＝3(x2－1)，所以·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝4x2－x－5＝4－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2.
4．D [解析] 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A，B两点它们到直线x＝－2的距离之和等于5，所以x1＋2＋x2＋2＝5.所以x1＋x2＝1.由抛物线的定义得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝3.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦AB⊥x轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的抛物线．
【提升训练】
5．D [解析] 设P(x0，y0)，则×＝－，化简得
＋＝1，可以判断＝，e＝＝＝.
6．A [解析] 根据·＝0，tan∠PF1F2＝2，可得△PF1F2为直角三角形且|PF2|＝2|PF1|，根据双曲线定义得|PF2|－|PF1|＝2a，由此得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，根据勾股定理(2a)2＋(4a)2＝(2c)2，由此得＝5，即e＝.
7．C [解析] 根据椭圆定义|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，两式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，
即(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝4，而|AF1|＋|BF1|＝|AB|，|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，所以3|AB|＝4，即|AB|＝.
8．D [解析] 因为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，c2＝5，所以a2＝b2＋5.因为C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，C1恰好将线段AB三等分，设渐近线与椭圆C1交于C，D两点，由椭圆及圆的对称性得|OC|2＝＝＝，a2＝，b2＝.
9. [解析] 因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，所以b＝4a，c2＝17a2，e＝.
10．6 [解析] 由题知即解得
由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝4×＝6.
11. [解析] 本题主要考查抛物线的定义．属于基础知识、基本运算的考查．
|AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义即AD＋BE＝6，又线段AB的中点到y轴的距离为(AD＋BE)＝3，抛物线的准线为y＝－，所以线段AB的中点到y轴的距离为.
12．解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，
则由已知得＝2c，解得c＝1，
又＝，∴a＝，
故b2＝a2－c2＝2－1＝1.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)联立解得x2＝，故x1＝，x2＝－.
∴A，，B－，－，
解得|AB|＝.
欲使△ABD面积最大，则D点要离y＝x的距离最大，D点应在与y＝x平行且与椭圆相切的直线l上，设直线为y＝x＋λ，
联立方程消去y得3x2＋4λx＋2λ2－2＝0.
令Δ＝16λ2－4×3×(2λ2－2)＝0，解得λ＝±，
则直线l：x－y±＝0.
故点D到直线l的距离为两平行直线的距离d＝＝，
∴S△ABD＝×|AB|·d＝××＝，
即△ABD面积的最大值为.
13．解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到直线l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.
(2)由题意设直线l2的方程为y＝kx＋1，
与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
∵直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为，
·＝·
＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4
＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4＋8，
∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取到等号，
∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.
14．解：(1)把点(，)，(2，)的坐标代入椭圆方程得
解得
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)圆C的方程为x2＋y2＝.
∵·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－，
点P是椭圆E上任意一点，∴||2∈[4，8]，
故·∈.
(3)证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为：y＝kx＋m，代入椭圆方程得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.
因为直线l是圆C的切线，故＝，
即3m2－8k2－8＝0，所以x1x2＋y1y2＝＝0，
故·＝0，即得证OA⊥OB.
当直线l的斜率不存在时，则直线l方程为x＝±，
若x＝，则y＝±；若x＝－，则y＝±；
都有·＝0，则OA⊥OB.
综上，OA⊥OB，故以AB为直径的圆恒过点O.
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