线性代数5.doc

第一章 行列式
1.1　行列式的定义

　　（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义

（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
　　注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如　，且；
　　（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。

　　（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为
　　三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆

　　例如：

　　=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0
　　　例1　a为何值时，
　　解　因为　
　　所以8-3a=0，时　
　　例2　当x取何值时，
　　解：

　　解得　　0<x<9
　　所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
　　（二）n阶行列式
　　符号：
　　它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。n阶行列式通常也简记作。
　　（1）在n阶行列式中，划去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素的余子式，记作
　　例如，在三阶行列式

　　中，的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以

　　相似地，的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。所以

　　例1　若，求：
　　（1）（2）（3）（4）
　　解（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）

（2）符号叫元素的代数余子式
定义：
　　例2　求例1中的代数余子式
　　（1）（2）（3）（4）
　　解：（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

　　例3　若
　　计算
　　解：

定义：n阶行列式

　　　例4　计算下列行列式
　　（1）

　　由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积
　　（2）

　　可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积
　　一般地可推得

　　即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积
　　同理有

1.2　行列式按行（列）展开
　　定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
　　　　　 （i=1,2,…,n）　　　（1.8）
　　或　　（j=1,2,…,n）　　　（1.9）
　　其中，是元素在D中的代数余子式。
　　上述展开定理也可以表示成

　　　（i=1,2,…,n）
　　（j=1,2,…,n）
　　例5　计算
　　解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开

　　可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积
　　例5的结果可推广为

　　我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面）。
　　例6　计算
　　解：由于第2行含0最多，所以应按第二行展开

　　例7　计算
　　解：将按第6行展开得

1.3　行列式的性质与计算
　　1.3.1　行列式的性质

性质1　行列式和它的转置行列式相等，即或

　　性质2　用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按行和按列提出公因数：

　　证　将左边的行列式按其第i行展开以后，再提出公因数k，即得右边的值：

　　注意　如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提出公因数。
　　例1　计算行列式：
　　解　
　　=30（4+6+5-2-4-15）
　　=30（-6）=-180
　　　　例2　

　　因为

　　所以原式=4abcdef
　　例3　计算行列式：
　　在行列式D的每一行中都提出公因数（-1）并用行列式性质1可以得到

　　因为行列式D是一个数，所以由D= -D，可知行列式D=0。
　　用这种方法可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。所谓反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号。即若是反对称行列式，则它满足条件

性质3　互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。即对于如下两个行列式

有
　　推论　如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。
　　因为互换行列式D中的两个相同的行（列），其结果仍是D，但由性质3可知其结果为-D，因此D=-D，所以D=0。

性质4　如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。
证　设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，不妨设第j行元素是第i行元素乘以k得到的，则

　　例4　验算x=3是否是方程的根。
　　解：因为
　　∴x=3是方程f(x)=0的根。

性质5　行列式可以按行（列）拆开，即

　　证　将左边的行列式按其第i行展开即得

　　这就是右边两个行列式之和。
　　性质6　把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D。
　　即：

　　例5　证明：

　　的充要条件是k=1或k=±2 　　
　　证　因为

　　所以，D=0的充要条件是k=1或k=±2。　 　　
　　定理1.3.1　n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即

， （1.10）
， （1.11）
　　　　1.3.2　行列式的计算
　　例6　计算行列式 　　
　　解　由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积，所以我们只要设法利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式，即可求出行列式的值。

　　 例7　计算行列式　　　　

　　在本例中，记号①②写在等号下面，表示交换行列式的第一列和第二列，②+5×①写在等号下面，表示将行列式的第一列乘以5后加到第二列。　　
　　例9　计算行列式：
　　解　这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6，我们可以采用简易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数6，再将后三行都减去第一行：

　　例10　计算行列式： 　　

　　 例12　计算范德蒙德（VanderMonde）行列式： 　　

　　例13 计算　 　　

1.4　克拉默法则

定理（克拉默法则）
在n个方程的n元一次方程组
（1）
中，若它的系数行列式
≠0
则n元一次方程组有唯一解。

推论：在n个方程的n元一次齐次方程组
（2）　　
中
（1）若系数行列式D≠0，方程组只有零解

（2）若系数行列式D=0
则方程组（2）除有零解外，还有非零解（不证）
例　在三元一次齐次方程组

　　中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解。　　
　　解： =2a-6+3-4-（-9）-a=a+2
　　∴（1）a≠-2时，D≠0,只有零解
　　（2）a=-2时 ，D=0 ，有非零解。
第二章 矩　阵
2.1 矩阵的概念
　　定义2.1.1　由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表

　　称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是，这m×n个数排成一个矩形阵列。其中aij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。
　　通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为
　　A=（aij）m×n或（aij）m×n或Am×n
　　当m=n时，称A=（aij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数，它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，ann，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。
　　元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Om×n或者O表示。
　　特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，an）为n维行向量。它是1×n矩阵。
　　当n=1时，称为m维列向量。它是m×1矩阵。
　　向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。
　　例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。
　　几种常用的特殊矩阵：
　　1.n阶对角矩阵
　　形如或简写为

的矩阵，称为对角矩阵，
对角矩阵必须是方阵。
　　例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。
　　2.数量矩阵

当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。
n阶数量矩阵有如下形式：
　　或。

特别，
当a=1时，称它为n阶单位矩阵。
n阶单位矩阵记为En或In，即
　　或
　　在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。
　　n阶数量矩阵常用aEn或aIn表示。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。
　　3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵
　　形如

　　的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

对角矩阵必须是方阵。
一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。
4.零矩阵

　　2.2　矩阵运算
　　2.2.1　矩阵的相等（同）
　　定义2.2.1
设A=（aij）m×n，B=（bij）k×l，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，…，m；j=1，
2，…，n，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。
　　　　注意　行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如

　　因为两个矩阵中（1，2）位置上的元素分别为0和2。但是却有行列式等式

　　2.2.2　矩阵的加、减法
　　定义2.2.2　设A=（aij）m×n和B=（bij）m×n，是两个m×n矩阵。由A与B的对应元素相加所得到的一个m×n矩阵，称为A与B的和，记为A+B，即
　　A+B=（aij+ bij）m×n。
　　当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。
　　例如

　　注意：
　　（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别
　　例如

　　（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。
　　若A=（aij）为n阶方阵，n>1，a为一个数，则A+a无意义！但是n阶方阵A=（aij）m×n与数量矩阵aEn可以相加：

由定义2.2.2知
矩阵的加法满足下列运算律：

设A，B，C都是m×n矩阵，O是m×n零矩阵，则
（1）交换律A+B=B+A.
（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.
（3）A+O=O+A=A.
（4）消去律A+C=B+CA=B.

　　2.2.3　数乘运算
　　定义2.2.3　对于任意一个矩阵A=（aij）m×n和任意一个数k，规定k与A的乘积为kA=（kaij）m×n.

数乘运算律
（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l为任意实数。
（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数。
例1　已知

　　求2A-3B。
　　解

　　例2　已知

　　且A+2X=B，求X。
　　解：
　　2.2.4　乘法运算
　　定义2.2.4
设矩阵A=（aij）m×k，B=（bij）k×n，令C=（cij）m×n是由下面的m×n个元素
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）

构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB。
　　例3　若且AB=C
　　求矩阵C中第二行第一列中的元素C21
　　解：C21等于左矩阵A中的第二行元素与右矩阵B中第一列元素对应乘积之和
　　∴C21=2×1+ 1×3+ 0×0=5
　　 例4　设矩阵

　　求AB。
　　解：=
　　这里矩阵A是3×3矩阵，而B是3×2矩阵，由于B的列数与A的行数不相等，所以BA没有意义。
　　例5　求（1）A3E3　（2）E3A3
　　解：（1）

　　（2）

　　由本例可见A3E3=E3A3=A3，并且可以推广有

　　它与代数中的1·a=a·1=a比较可见单位矩阵En在乘法中起单位的作用。
　　例6　设矩阵

　　求AB和BA
　　解：
　　现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。
　　数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。
　　例7　设　 　求
　　（1）AB　　（2）AC
　　解　（1）
　　（2）
　　可见AB=AC
　　众所周知，两个数的乘积是可交换的：ab=ba，因而才有熟知的公式：

由矩阵乘法及上述例6、例7可知：
（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA=AEn=A
（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：（aEn）A=A（aEn）.
（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般AB≠BA。
（4）当AB=O时，一般不能推出A=O或B=O。这说明矩阵乘法不满足消去律。
（5）当AB=AC时，一般不能推出B=C。
　　　　例8　设矩阵，求出所有与A可交换的矩阵。
　　解　因为与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设为与A可交换的矩阵，则

　　由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得
　　。
　　例9　解矩阵方程，X为二阶矩阵。
　　解 设。由题设条件可得矩阵等式：

　　由矩阵相等的定义得

　　解这两个方程组可得x11=1，x21= -1，x12=1，x22=0。所以。

乘法运算律
（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC）。
（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。
（3）两种乘法的结合律k（AB）=（kA）B=A（kB），k为任意实数。
（4）EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n（其中Em，En分别为m阶和n阶单位矩阵）。
　　矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略），其他三条运算律的正确性是显然的。
　　方阵的方幂
　　设A为n阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所以可以不加括号而有完全确定的意义。

我们定义
A的幂（或称方幂）为
　　由定义可知，n阶方阵的方幂满足下述规则：
　　AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l为任意正整数。
　　例10　用数学归纳法证明以下矩阵等式：
　　（1）（2）。
　　证　（1）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即
　　则
　　知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式成立。
　　（2）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即
　　则
　　知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式都成立。
　　例11　设n阶方阵A和B满足，证明：
　　。
　　证　由可推出B=2A-En。再由
　　B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En
　　证得
　　例12　

　　前者是数，后者是n阶方阵，两者不相等，即AB≠BA.

因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：
（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。
（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。
（3）当AB=BA时必有（AB）k=AkBk.
　　例如AB=BA时，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2
　　但AB≠BA时，则上面结果不成立。
　　例13　设，，则有

　　因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：

（1）AB=O，A≠O不能推出B=O。
例如时

（2）由A2=O不能推出A=O。
例如
　　则

（3）由AB=AC，A≠O不能推出B=C。
例如时

　　即AB=AC，但B≠C

（4）由A2=B2不能推出A=±B。
例如，取

　　则

　　2.2.5　矩阵的转置

定义2.2.5
设矩阵

把矩阵的行与列互换得到的n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A’，即

易见A与AT互为转置矩阵。特别，n维行（列）向量的转置矩阵为n维列（行）向量。
　　例如，则
　　若A=（a1，a2，…，an）则
　　若则BT=（b1，b2，…，bn）
　　例14　如果已知A为l×n矩阵，BAT为r×l矩阵，证明：B为r×n矩阵。
　　证　设B为x行y列的矩阵
　　则有BxxyATn×l=（BAT）x×l
　　根据可乘条件有y=n
　　根据积的形状有x=r
　　所以B为Br×n
　　例15　求
　　（1）AB　（2）（AB）T　（3）ATBT　（4）BTAT
　　解：（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　由本例可见（AB）T=BTAT，这一结果有普遍性（不证）

转置运算律
（1）（AT）T=A
（2）（A+B）T=AT+BT
（3）（kA）T=kAT，k为实数。
（4）（AB）T=BTAT，（A1A2…An）T=AnTA n-1T…A1T.

定义2.2.6
设A=（aij）为n阶实方阵。若A满足AT=A，也就是说A中元素满足：

aij=aji，i，j=1，2，…，n，则称A为实对称矩阵。
若A满足AT=-A，也就是说A中元素满足：
aij=-aji，i，j=1，2，…，n，此时必有aii=0，i=1，2，…，n，则称A为实反对称矩阵。
　　例16　证明：任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
　　证：取　
　　则A=X+Y
　　其中=X
　　∴X是对称阵。

　　∴Y是反对称阵。

（注）举例证明了下面结论，
对任意方阵A都有

（A+AT）是对称阵
（A-AT）是反对称阵
　　例17　（1）设A为n阶对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P，PTAP必为对称矩阵。
　　（2）如果已知PTAP为n阶对称矩阵，问A是否必为对称矩阵？
　　证（1）因为A是对称矩阵，必有AT=A，于是必有
　　（PTAP）T=PTATP=PTAP
　　这说明PTAP必为对称矩阵。
　　（2）反之，如果PTAP为n阶对称矩阵：（PTAP）T=PTAP，则有
　　PTATP=PTAP，
　　但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是对称矩阵。
　　2.2.6方阵的行列式
　　定义2.2.7
由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记作
或det（A）。
　　例如，的行列式为。
　　注意
（1）矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号“”与矩
阵记号“（*）”也不同，不能用错。
　　（2）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。
　　（3）当且仅当为n阶方阵时，才可取行列式。对于不是方阵的矩阵是不可以取行列式的。
　　易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积
　　　例18 设且有。求
　　解：
　　所以
　　由本例可见
　　一般地应有

方阵的行列式有如下性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则
（1）；
（2）；
（3）。（行列式乘法规则）
（1），（2）的证明可由方阵行列式的定义及行列式性质直接得到。（3）的证明从略。
　　例19 设，，则
　　①
　　②
　　③，
　　。
　　④

　　于是得
　　，。
　　例20 设A，B同为n阶方阵。如果AB=O，则由

　　知道，必有或。但未必有A=O或B=O。
　　例21 证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。
　　证：设A为2n-1阶反对称矩阵，则有。于是根据行列式性质1和性质2，得到
　　，
　　因为是数，所以必有。
　　2.2.7　方阵多项式
　　任意给定一个多项式和任意给定一个n阶方阵A，都可以定义一个n阶方阵，
　　称f（A）为A的方阵多项式。注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵而不是常数。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。
例22：设，求f（A）
　　解：

　　例23：若A=B-C，其中，。证明

　　证：

　　由

　　2.3　方阵的逆矩阵　　
　　定义2.3.1
设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B，使得（其中是n阶单位
阵），（2.5）
则称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵），并称方阵B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为，即。

可逆矩阵的基本性质　设A，B为同阶的可逆方阵，常数k≠0，则
（1）为可逆矩阵，且
（2）
（3）
　　证

　　推广有

（4）
　　证

（5）
　　证

（6）

　　（7）若A可逆且AB=AC，则有消去律B=C
　　证：

　　定义2.3.2设，为的元素的代数余子式（i,j=1,2,…,n），则矩阵

　　称为A的伴随矩阵，记为。
　　由伴随矩阵的定义可以看出，在构造A的伴随矩阵时，必须放在中的第j行第i列的交叉
位置上，也就是说，
的第i行元素的代数余子式，构成的第i列元素。

　　定理2.3.2
n阶方阵A为可逆矩阵。
　　证：必要性 设A是n阶可逆矩阵，则存在n阶方阵B，使。由方阵乘积的行列式法则，可得
　　，于是必有。
　　充分性 设为n阶方阵且，构造如下n阶方阵：
　　。
　　则由（2.9）式可得矩阵等式
　　，
　　由矩阵可逆的定义可知A是可逆矩阵，而且还得到了求逆矩阵公式

推论：设A，B均为n阶矩阵，并且满足，则A，B都可逆，且，。
证：由，可得，因此且，故由定理2.3.2知A可逆，B也可逆。
　　在两边左乘，得　，
　　在两边右乘，得　，
　　这个推论表明，以后我们验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时，只需要证明一个等式或成立即可，而用不着按定义同时验证两个等式。
　　例1 若，求
　　解：　　

　　例如：
　　解：
　　例2 设，当a，b，c，d满足什么条件时，矩阵A是可逆矩阵？当A是可逆矩阵时，求出
　　解：A可逆。当A可逆时，
　　例1，例2的结果可以作为求二阶方阵的逆矩阵或伴随矩阵的公式
　　例如，
　　例3 判断矩阵是否可逆，求出它的逆矩阵。
　　解（1）由于故矩阵A可逆。
　　（2）逐个求出代数余子式和伴随矩阵：
　　，，
　　，，
　　，，
　　，，
　　；
　　。
　　于是。
　　由上例可以看出，当n≥3时，用伴随矩阵求逆矩阵计算量是很大的，特别是当n≥4时不宜用伴随矩阵来求逆矩阵。
　　例4 设A为n阶方阵，则。
　　证：由知道。当时，显然有。
　　例5 若。求A的逆矩阵和A+E的逆矩阵。
　　解：（1）　　

　　（2）　　　　　

　　例6 设A是3阶方阵且，求（1）（2）（3）（4）
　　解：（1）
　　（2）　　　　　　
　　（3）
　　（4）

　　2.4　分块矩阵

m×n矩阵的分块矩阵的一般形式为
　　例如，
　　令，，，以及
　　，，，，
　　可分别得到A的行分块矩阵和列分块矩阵：
　　，。
　　　　2.4.1　分块矩阵的加法
　　把m×n矩阵A和B作同样的分块：
　　，，
　　其中，的行数的行数；的列数的列数，1≤i≤r，1≤j≤s，则

　　例1 设，都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知和，求出行列式的值。
　　解：根据分块矩阵加法的定义知道，
　　A+B的前三列都有公因数2，利用行列式性质2，提出公因数后可以求出
　　再利用行列式的性质5，把它拆开以后，即可求出

　　2.4.2　数乘分块矩阵
　　数k与分块矩阵的乘积为

　　2.4.3　分块矩阵的转置
　　设
　　则其转置矩阵为
　　式中，。
分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且
每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为“内外一起转”。
　　例2，

　　我们发现：不但每个子矩阵的位置作了转置，而且每个子矩阵的内部也作了转置。
　　例3 设是一个用列向量表示的m×n阵，其中每个都是m维列向量，则A的转置矩阵是
　　例如，设，则

　　2.4.4　分块矩阵的乘法和分块方阵求逆
　　设矩阵，。利用分块矩阵计算乘积AB时，应使左边矩阵A的列分块方式与右边矩阵B的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时，A的各子块分别左乘B的对应的子块。
　　设A，B的分块方式分别为，
　　其中为矩阵；为矩阵，且 的列数分别等于的行数，则，
　　其中（i=1,2,…,r,j=1,2…,t）。
　　例4 对于矩阵
　　，，
　　用分块矩阵计算AB。
　　解：将矩阵A，B分块如下：
　　，，
　　其中，，，，
　　于是得到
　　因为，
　　所以。
　　例5 设A为m×k矩阵，B为k×n矩阵，则AB为m×n矩阵。
　　若把B采用列向量表示：，则
　　若把A采用行向量表示：，
　　则。
　　特别地，当AB=O时，由可得。
　　方阵的特殊分块矩阵主要有以下三类：（凡空白处都是零块）
　　（1）形如的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵，其中均为方阵。
　　（2）两个准对角矩阵的乘积 设是同阶方阵，则

　　若对某个1≤i≤r，不是同阶方阵，则上面的两个分块对角矩阵不能相乘。
　　（3）准对角矩阵的逆矩阵若都是可逆矩阵，则分块对角矩阵
　　可逆，并且

　　用分块矩阵的乘法，容易验证上式成立。
　　例6 求矩阵的逆矩阵。

　　解：将矩阵A分块，得，
　　其中，，
　　利用伴随矩阵方法求逆，得
　　，，。
　　所以

上述两类特殊分块矩阵的行列式都是它们的主对角线
上各子块的行列式的乘积，即
例如，例6中矩阵A的行列式为=-2×1×4=-8
　　例7：验证并求
　　证：（1）

　　（2）

　　2.5　矩阵的初等变换与初等方阵
　　2.5.1　初等变换
　　定义　2.5.1　对一个矩阵A＝（aij）m×n施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换。

定义　2.5.1　若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为
矩阵之间的等价关系有以下三种性质。
（1）反身性　　
　　（2）对称性　若则
　　（3）传递性　若则

　　2.5.2　初等方阵
　　定义　2.5.3　由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵为初等方阵。
　　我们对n阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以下三类n阶初等方阵。
　　（I）交换E的第i,j两行（列）（i≠j）得到的初等方阵记为

　　（II）用非零常数k乘E的第i行（列），得到的初等方阵记为

　　（III）将E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上）（i<j）得到的初等方阵记为

　　将E的第i行的k倍加到第j行上（或第j列的k倍加到第i列上）（i<j），得到的初等方阵记为

　　以上这些初等方阵中，空白处的元素均为0。
　　例如，当n=4时

　　例1.计算　若
　　（1）P12A　（2）AP12　（3）D1（k）A，（4）A D1（k）
　　（5）T12（k）A（6）AT21（k）
　　解：

　　小结例1的结果，有下面的定理。
　　定理2.5.1　Pij左（右）乘A就是互换A的第i行（列）和第j行（列）
　　Di（k）左（右）乘A就是用非零数k乘A的第i行（列）。
　　Tij（k）左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上。
　　Tij（k）右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列上。

　　2.5.3　矩阵的等价标准形
　　定理　2.5.2　任意一个m×n矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的m×n矩阵。

　　这是一个分块矩阵，其中Er为r阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵。
　　称为A的等价标准形。
　　例1　求矩阵的等价标准形。

　　所以A的等价标准形为（E3，0）。
　　　　定理2.5.2　对于任意一个m×n矩阵A，一定存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得

　　证　根据定理2.5.2，假设对A施行了s次初等行变换和t次初等列变换，得到了A的等价标准形，且对应初等行变换的m阶初等方阵P1，P2，…Ps，对应初等列变换的n阶初等方阵为Q1，Q2…Qt,则
　　Ps…P2P1A Q1Q2…Qt＝
　　令P＝Ps…P2P1，Q＝Q1Q2…Qt，则P和Q就是满足定理要求的可逆矩阵。
　　定理2.5.4　n阶方阵A是可逆矩阵的存在可逆矩阵P，Q使得PAQ＝En（即A等价于单位矩阵）A可以写成若干个初等方阵的乘积。
　　例3.求的逆矩阵。

　　所以结果正确。

　　2.5.5　用矩阵的初等变换求解矩阵方程
　　　例4.求解矩阵方程。

　　　例5.求解矩阵方程：

　　2.6　矩阵的秩

定义2.6.1　在m×n矩阵A中，非零子式的最高阶称为A的秩，记为r（A），有时也可用秩（A）表示A的秩。
　　例1.求矩阵

　　的秩。
　　解：容易计算出二阶行列式
　　A是一个三行四列的矩阵，把A的三行全部取出，再从其四列中任取三列就可得到一个三阶子式，共有四个三阶子式，我们算出A的所有三阶子式如下:

　　显然A不存在4阶子式，所以A的不等于零的最高阶子式的阶数2，因此r（A）＝2
　　例2.显然，的秩序为r
　　我们不加证明地给出以下结论：
　　定理1：对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩。
　　推论 设A为m×n矩阵，P和Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则
　　r（PA）＝r（A），r（AQ）＝r（A）。
　　证：因为可逆矩阵P和Q都是若干初等方阵的乘积，用初等方阵乘矩阵就是对矩阵施行初等变换，而初等变换不会改变矩阵的秩，所以乘可逆矩阵以后，矩阵的秩一定保持不变。
　　例3.设求r阶上三角矩阵

　　的秩。
　　解：由假设
　　即T的行列式本身就是它的最高阶非零子式，所以r（T）＝r。
　　例4.设矩阵

　　求矩阵AB的秩。
　　解：由于

　　所以A是可逆矩阵，取矩阵B的全部三行和第一、二、三列，得到的三阶子式

　　这显然是B的一个最高阶非零子式，所以r（B）＝3，由定理2.6.1的推论知r（B）＝3。
　　　　定义2.6.2　满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵
　　（1）如果存在全零行（元素全为零的行），则全零行都位于矩阵中非零行（元素不全为零的行）的下方；
　　（2）各非零行中从左边数起的第一个非零元素（称为主元）的列指标j随着行指标的递增而严格增大，（即各非零行从左边数起第一个非零数下方各数全为零）
　　m×n阶梯形矩阵的一般形式是

　　其中
　　从直观上看，第i个非零行从左边数起的第一个非零元素（即主元）为aiji,位于aiji,，下面的元素必须全为零，显然，T有最高阶非零子式。

　　于是r（T）＝r=“T中非零行的个数”。
　　　定理2.6.2　对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等行变换把它化成阶梯形矩阵。
　　例5.把
　　化成阶梯形矩阵与简化行阶梯形矩阵

　　例6.分别求出矩阵
　　的秩。
　　解：用矩阵的初等行变换将矩阵化成阶梯形矩阵。

　　阶梯形矩阵

　　有两个非零行，可见矩阵A的秩r（A）＝2，同理

　　它有三个非零行，所以r（B）＝3
　　关于矩阵的秩，有以下结论。
　　（1）设A＝（aij）m×n,则r（A）≤min{m,n}。
　　（2）r（AT）= r（A）,实际上，A与AT中的最高阶非零子式的阶数必相同。
　　（3）n阶方阵A为可逆矩阵所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵。秩为m的m×n矩阵称为行满秩矩阵，秩为n的m×n矩阵称为列满秩矩阵。
2.7 矩阵与线性方程组
例1：解线性方程组

　　解：先用对线性方程组施行线性方程组的初等变换方法来求解。

　　　例2：解线性方程组：

　　解：化线性方程组的增广矩阵为行最简形矩阵：

　　由增广矩阵的简化行阶梯形矩阵B。对应的同解方程为

　　所以方程组有唯一解x1=－2，x2＝2，x3＝－1
　　　　例3：解线性方程组：

　　解：把线性方程组的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵：

　　由简化行阶梯形矩阵可得等价的方程组：
　　即
　　取x3为自由未知量，可知方程组有无穷多个解，上式就是所给方程组的一般解。
　　下面利用矩阵的秩给出齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。
　　定理2.7.1　n元齐次线方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A=（aij）m×n的秩r（A）<n。
　　　　推论1　含有n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是且当它有非零解时，必有无穷多个非零解。
　　推论2　若方程组Ax=0中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解。
　　事实上，