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(完整版)椭圆测试题
椭圆测试题
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.已知直线交椭圆于A,B两点，若C,D为椭圆M上的两点，四边形ACBD的对角线CD⊥AB，则四边形ACBD的面积的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
2.已知F1、F2是双曲线M：的焦点，是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同,P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设
|PF1|·｜PF2| = n,则（ )
A．n = 12 B．n = 24 C．n = 36 D．且且
3。已知椭圆（)的右焦点F,短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A,B两点，若，且点M到直线l的距离不小于，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
4.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（　　）
A．＋＝1　 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D． ＋＝1
5.设椭圆的标准方程为若其焦点在x轴上，则k的取值范围是(　　）
A.4<k<5 B。3<k<5 C。 k〉3 D.3〈k〈4
6。设离心率为的椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合,则椭圆方程为 ( ）
（A） （B） （C） （D）
7。已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个焦点,则｜AB|=( )
A．3 B．6 C。 9 D．12
8.已知P是椭圆+y2=1上的动点，则P点到直线l：x+y—2=0的距离的最小值为（　　）
A。     B.    C。    D.
9。已知A,B是椭圆E:（a＞b＞0）的左、右顶点,M是E上不同于A,B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为(　　）
A。    B。    C.     D.
10。已知抛物线焦点是F,椭圆的右焦点是F2,若线段FF2交抛物线于点M，且抛物线在点M处的切线与直线平行，则p=( ）
A. B. C。 D。
11。已知F1，F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（ )
A． B． C． D．
12。已知椭圆左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点,则的最大值为（ )
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13。已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A,B两点．若的周长为，则椭圆C的标准方程为 。
14.已知椭圆的离心率为，则实数m= ．
15.设椭圆的上顶点为B，右顶点为A，右焦点为F，E为椭圆下半部分上一点，若椭圆在E处的切线平行于AB，且椭圆的离心率为，则直线EF的斜率是 ．
16。已知椭圆的右焦点为F,短轴的一个端点为P，直线交椭圆于A，B两点，若，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是 ．
三、解答题（本题共4道小题，第1题15分,第2题15分，第3题15分,第4题15分，共60分）
17.如图所示,直线与椭圆交于A，B两点,记的面积为.
(1)当时,求S的最大值；
（2）当时，求直线AB的方程．

18.设椭圆过点(0,4)，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标．

19.设椭圆的焦点为,且该椭圆过点.
(1）求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C上的点满足，求的值。

20.已知椭圆（）的离心率是,其左、右焦点分别为F1，F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，的面积为1.
（1)求椭圆C的标准方程；
（2)过点且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B点），证明：直线BM和BN的斜率和为定值.

试卷答案
1.B

由题意可得,解得或
不妨设,
则
,直线的方程为
可设直线的方程为
联立,消去，得到
直线与椭圆有两个不同的交点
则
解得
设，
，

当时，取得最大值
四边形ACBD的面积的最大值为
故选
2。A
因为是双曲线的渐进线,故，所以,双曲线方程为，其焦点坐标为．又椭圆的离心率为,故椭圆的半长轴长为．不妨设 ，则由双曲线和椭圆的定义有 ，故，，选A．
3.A
不妨取，到的距离，,设左焦点,由椭圆的对称性, ，，,，故选
4.A

故选：A．

5。A 由题意得k—3>5-k>0, 所以4<k〈5.
6。D
由题意得，双曲线的方程，可知，
又椭圆的离心率为，即，所以，
则，所以，故选D。
7.B
结合抛物线的标准方程可得椭圆中:，
且，故:，
由通径公式可得：。
本题选择B选项.
8。A
设,由点到直线距离公式有
,最小值为。
9.D
由题意方程可知，A(—a,0），B（a,0），
设M（x0,y0)， ， 则，整理得：① 即②联立①②
得
故选D
10。D
设点M（x，y)，抛物线， F ， 由点三点共线得到 解得p= .
11.D
在 中，
设 ,则 ，
又由椭圆定义可知
则离心率 ，
故选D.
12。D
分析：先求出｜AB|的最小值，再求 的最大值.
详解：由题得
所以
当AB⊥x轴时，｜AB|最小，｜A 最大。
当AB⊥x轴时，|AB|=
所以|A 最大值为
故答案为：D
13.
因为离心率为,过的直线交于两点．若的周长为，所以，解得 的方程为，故答案为.

14。 2或8
①若焦点在轴上，则,即,
∴
∴，即.
②若焦点在轴上,则,即,
∴
∴得到，即.
故答案为或。
15。 16。
17。（1）由题意得，此时，
将代入椭圆方程得：，，所以，，

当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为1。 ..。.。。。..。。。。.。7分
（2)由得（＊）,其中,
当时，设， 方程（*）两个不等根为，则有
，

,① 。...。.....。.。.。.。11分
由得，到直线距离为1，则，即, .。。...。...。13分
代入①化简得，，所以，，，经检验，满足，
又因为，所以，直线AB的方程为。 .。。。。..15分
(不考虑或者未检验扣1分）
18。（1）由题意得:,又因为，解得，
椭圆C的方程为。 。.。。。.。。.。.。。。..。6分
（2)过点（3，0)且斜率为的直线方程为，
设直线被椭圆C所截线段的端点为，中点为，
与联立消元得：，恒成立，
方程两个不等根为，，
所以，直线被椭圆所截线段中点坐标为; .。..。.。。。.。..。。.。.10分

,直线被椭圆C所截线段长为. .。.。。..。。.。。.。。。..。15分
（解出再求线段长也可，中点坐标也可以用点差法求解，但如果不解点而又不考虑扣1分，弦长公式不证明扣1分)
19.（1）由题意得,，且，解得
，所以椭圆C的标准方程为. 。。。。.。。。。.。...。6分
（若用定义先解出2a也可，或用通径长解出基本量也可）
(2）点满足，则有且，则
① .。.......。。。。.10分
而点在椭圆C上，则②
联立①②消去，得，所以。 。....。。.。。.。。。.14分
（不考虑，或者用斜率转化垂直关系时不考虑分母不为0扣1分）
20。（1）， ,，又
所以椭圆的标准方程为
(2）证明：设直线的方程为，
联立得
，

=
直线与的斜率之和为定值

10