高中理科数学必背公式.doc

高中数学必背公式、常用结论
一．二次函数和一元二次方程、一元二次不等式
1．二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。
2.实系数一元二次方程的解：
①若,则;
②若,则;
③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.
3.一元二次不等式解的讨论:

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

二、指数、对数函数
1．运算公式
⑴分数指数幂：；（以上，且）.
⑵.指数计算公式：； ；
⑶对数公式：①； ②；
③； ④.
⑷.对数的换底公式:.对数恒等式:.
2．指数函数的图象和性质

a>1
0<a<1

图

象

性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1
(4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.
（5）在 R上是增函数
（5）在R上是减函数
3．对数函数的图象和性质
（3）当x>1时，y>0，
0< x <1时，y<0；

0
0

)

a >1
0< a < 1
图

象
（2） 当x=1时，y=0；
（3）当x>1时，y＜0，
0< x <1时，y＞0；

（4）在（0，＋ ）上是减函数

（4）在（0，＋ ）上是增函数

三．常见函数的导数公式:
1． ①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧ 。
2．导数的四则运算法则：
3．复合函数的导数：

四．三角函数相关的公式：
1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧长公式：；扇形面积公式：。
2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P,设 则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
5．⑴ 对称轴：令，得 对称中心：；
⑵ 对称轴：令，得；对称中心：；
⑶周期公式:①函数及的周期 (A、ω、为常数，
且A≠0).②函数的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).
6．同角三角函数的基本关系：
7．三角函数的单调区间及对称性：
⑴的单调递增区间为,单调递减区间为
，对称轴为,对称中心为.
⑵的单调递增区间为,单调递减区间为，
对称轴为,对称中心为.
⑶的单调递增区间为，对称中心为.
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①；；
.
②；.
③=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限
决定, ).
9．二倍角公式：①.
②（升幂公式）.
（降幂公式）.
10．正、余弦定理：
⑴正弦定理： （是外接圆直径 ）
注：①；②；③。
⑵余弦定理：等三个； 等三个。
11.几个公式:⑴三角形面积公式：①（分别表示a、b、c边上的高）；②.

五。立体几何
1.表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=（S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V= .
2．空间中平行的判定与性质：
1）、直线和平面平行：
⑴定义：若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行。
⑵判定定理：若a,且a‖,则a‖； 若且则有
⑶性质定理：a‖.且则
2）、平面与平面平行的判定与性质：
⑴定义：如果两个平面没有公共点则称两个平面平行。
⑵判定定理：若则。
若且则。
⑶性质定理：若则有a‖b
3．空间中垂直的判定与性质：
1）、直线与平面垂直：
⑴定义：设为平面内的任意一条直线，，则。
⑵判定定理：若，且，则。
若则
⑶性质定理：若， 则。
2）、平面与平面垂直：
⑴定义：如果两个平面所成的二面角的平面角为，则称这两个平面互相垂直。
⑵判定定理：若，，则有。
⑶性质定理：若且，则。
若则。

六．解析几何：
1．斜率公式：，其中、.
直线的方向向量，则直线的斜率为=.
2.直线方程的五种形式：
(1)点斜式： (直线过点，且斜率为)．
(2)斜截式：(为直线在轴上的截距).
(3)两点式：(、 ，).
(4)截距式：(其中、分别为直线在轴、轴上的截距，且).
(5)一般式：(其中A、B不同时为0).
3．两条直线的位置关系：
（1）若，,则：
① ∥,； ②.
（2）若,,则：
① 且；②.
4．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
5．两个公式:
⑴点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；
⑵两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离
6．圆的方程：
⑴标准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0
⑶参数方程：
7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；
④内切；⑤内含。
9．直线与圆相交所得弦长
10.椭圆、双曲线、抛物线

椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形

方

程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
y2=2px
参数方程

(t为参数)
范围
─a£x£a，─b£y£b
|x| ³ a，yÎR
x³0
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）

顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)

焦距
2c （c=）
2c （c=）

离心率

e=1
准线
x=
x=

渐近线

y=±x

焦半径

通径

2p
焦参数

P

七．等差、等比数列：

等差数列
等比数列
定义

通项公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d

求和公式

中项公式
A= 推广：2=
。推广：
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q，则。
2
若成A.P（其中）则也为A.P。
若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3
． 成等差数列。
成等比数列。
4

，
2．看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①；②2()
③(为常数).
3．看数列是不是等比数列有以下2种方法：
①；②(，)①
4．数列{}的前项和与通项的关系：
5. 常用公式：①1+2+3 …+n = ；② ；
③；④ ； ⑤
八。复数
1.复数的四则运算法则：
(1);(2);
(3);
(4).
2.复平面上的两点间的距离公式 ：
（，）.
3．几个重要的结论：
；⑶；⑷
⑸性质：T=4；；
4．模的性质：⑴；⑵；⑶。

九。向量
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
加
法
1.平行四边形法则
2.三角形法则

减
法
三角形法则

,
数
乘
向
量
1.是一个向量,满足:
2.>0时, 同向;
<0时, 异向;
=0时, .

向
量
的
数
量
积
是一个数
1.时，
.
2.

2.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件：∥=λ；
(3)两个向量垂直的充要条件： ()·=0

九．不等式
1.不等式的基本性质
（1）（对称性）；（2）（传递性）
（3）（加法单调性）
（4）（同向不等式相加）；
（5）（异向不等式相减）
（6）；（7）（乘法单调性）
（8）（同向不等式相乘）；
（异向不等式相除）
（倒数关系）；（11）（平方法则）
（12）（开方法则）
2．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②变形：。
3．极值定理：已知都是正数，则有：
(1)如果积是定值，那么当时和有最小值；
(2)如果和是定值，那么当时积有最大值.

十．概率和统计：
1．概率
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：；
⑶几何概型： ；
2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数；
⑵样本方差 ；
⑶样本标准差=
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：

注：⑴>0时，变量正相关； <0时，变量负相关；⑵当 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当 越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4． 回归直线方程
，其中

十一。理科选修部分
1． 排列、组合和二项式定理：
⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=(m≤ n, m、n∈N*),
当m=n时为全排列=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n!
⑵组合数公式：===(，∈N*，且)
⑶组合数性质：
⑷二项式定理：
①通项：②注意二项式系数与系数的区别
2．随机变量
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥ 0, i=1,2,3，…； p1+p2+…=1;
②离散型随机变量：
X
x1
X2
…
X n
…
P
P1
P2
…
P n
…
均值（又称期望）：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xn pn + … ;
方差：DX＝ ;
注：；
③二项分布（独立重复试验）：若X～B（n , p）,则EX＝n p, DX＝n p（1- p） 注： 。
⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：0P（B|A）1
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）EX与标准差；
⑸正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；
① 当一定时，曲线随值的变化沿x轴平移；
② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。
注：P=0.6826；P=0.9544
P=0.9974

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