经济数学基础形成性考核册.doc

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《经济数学基础12》形考作业一讲评

一、 填空题
1..
解:
答案: 0
2.设, 在处连续, 则.
解:
答案: 1
3.曲线在的切线方程是 .
解: 切线斜率为, 所求切线方程为
答案:
4.设函数, 则.
解: 令, 则
答案:
5.设, 则.
解:
答案:
二、 单项选择题
1. 当时, 下列变量为无穷小量的是( ) ．
A． B． C． D．
解: , 而, 故
答案: D
2. 下列极限计算正确的是( ) ．
A. B.
C. D.
解: 不存在, , ,
答案: B
3. 设, 则( 　 ) ．
A． B． C． D．
解: ,
答案: B
4. 若函数f (x)在点x0处可导, 则( )是错误的．
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．, 但
C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微
解: 可导等价于可微, 可导必连续, 但( B) 为不连续
答案: B
5.若, 则( ) .
A． B． C． D．
解: 令, 则
答案: B
三、 解答题
1．计算极限
本类题考核的知识点是求简单极限的常见方法。它包括:
⑴利用极限的四则运算法则;
⑵利用两个重要极限;
⑶利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)
⑷利用连续函数的定义。
( 1)
分析: 这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。
具体方法是: 对分子分母进行因式分解, 然后消去零因子, 再利用四则运算法则限进行计算。
解: 原式 ( 约去零因子)
( 2)
分析: 这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。
具体方法是: 对分子分母进行因式分解, 然后消去零因子, 再利用函数的连续性进行计算。
解: 原式 ( 约去零因子)
( 3)
分析: 这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。
具体方法是: 对分子进行有理化, 然后消去零因子, 再利用四则运算法则进行计算。
解: 原式 ( 分子有理化)
( 4)
分析: 这道题考核的知识点主要是齐次有理因式的求极限问题。
具体方法是: 分子分母同除以自变量的最高次幂, 也可直接利用结论, 齐次有理因式的极限就是分子分母最高次幂的系数之比。
解: 原式 ( 抓大头)
( 5)
分析: 这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。
具体方法是: 对分子分母同时除以x, 并乘相应系数使其前后相等, 然后四则运算法则和重要极限进行计算。
解: 原式 ( 等价无穷小)
( 6)
分析: 这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。
具体方法是: 对分子进行因式分解, 然后消去零因子, 再利用四则运算法则和重要极限进行计算。
解: 原式 ( 重要极限)
2．设函数,
问: ( 1) 当为何值时, 在处有极限存在?
( 2) 当为何值时, 在处连续.
分析: 本题考核的知识点有两点, 一是函数极限、 左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。
解: ( 1) , 即当, 任意时, 在处有极限存在;
( 2) 即当时, 在处连续．
3．计算下列函数的导数或微分:
本题考核的知识点主要是求导数或( 全) 微分的方法, 具体有以下三种:
⑴利用导数(或微分)的基本公式;
⑵利用导数(或微分)的四则运算法则;
⑶利用复合函数微分法。
( 1) , 求
分析: 直接利用导数的基本公式计算即可。
解: ( 注意为常数)
( 2) , 求
分析: 利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。
解:
( 3) , 求
分析: 利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。
解:
( 4) , 求
分析: 利用导数的基本公式计算即可。
解:
( 5) , 求
分析: 利用微分的基本公式、 复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。
解:

( 6) , 求
分析: 利用微分的基本公式、 复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。
解: ,
( 7) , 求
分析: 利用微分的基本公式、 复合函数的微分及微分的运算法则计算即可。
解: ,
( 8) , 求
分析: 利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算。
解:
( 9) , 求
分析: 利用复合函数的求导法则计算。
解:
( 10) , 求
分析: 利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算。
解:

4.下列各方程中是的隐函数, 试求或
本题考核的知识点是隐函数求导法则。
( 1) , 求
解: 方程两边对x求导, 得 ,
,
( 2) , 求
解: 方程两边对x求导, 得 ,

5．求下列函数的二阶导数:
本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数。
( 1) , 求
解:
( 2) , 求及
解: , ,
《经济数学基础12》形考作业二讲评

一、 填空题
1.若, 则.
解:
答案:
2. .
解: 因为, 因此
答案:
3. 若, 则 .
解: 令 , ,
则
答案:
4.设函数.
解: 因为为常数, 因此
答案: 0
5. 若, 则.
解:
答案:
二、 单项选择题
1. 下列函数中, ( ) 是xsinx2的原函数．
A．cosx2 B．2cosx2 C．-2cosx2 D．-cosx2
解: 因为, 因此
答案: D
2. 下列等式成立的是( ) ．
A． B．
C． D．
解: , , ,
答案: C
3. 下列不定积分中, 常见分部积分法计算的是( 　 ) ．
A．, B． C． D．
答案: C
4. 下列定积分计算正确的是( ) ．
A． B．
C． D．
答案: D
5. 下列无穷积分中收敛的是( ) ．
A． B． C． D．
解:
答案: B
三、 解答题
1.计算下列不定积分
( 1)
解: 原式
( 2)
解: 原式
( 3)
解: 原式
( 4)
解: 原式
( 5)
解: 原式
( 6)
解: 原式
( 7)
解: 原式
( 8)
解: 原式
2.计算下列定积分
( 1)
解: 原式
( 2)
解: 原式
( 3)
解: 原式
( 4)
解: 原式
( 5)
解: 原式
( 6)
解: 原式

《经济数学基础12》形考作业三讲评

一、 填空题
1.设矩阵, 则的元素.
答案: 3
2.设均为3阶矩阵, 且, 则=.
解:
答案:
3. 设均为阶矩阵, 则等式成立的充分必要条件是 .
解:
答案:
4. 设均为阶矩阵, 可逆, 则矩阵的解.
解:
答案:
5. 设矩阵, 则.
答案:
二、 单项选择题
1. 以下结论或等式正确的是( ) ．
A．若均为零矩阵, 则有
B．若, 且, 则
C．对角矩阵是对称矩阵
D．若, 则
答案: C
2. 设为矩阵, 为矩阵, 且乘积矩阵有意义, 则为( ) 矩阵．
A． B． C． D．
答案: A
3. 设均为阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( 　 ) ．
A．, B．
C． D．
答案: C
4. 下列矩阵可逆的是( ) ．
A． B． C． D．
解: 因为, 因此可逆
答案: A
5. 矩阵的秩是( ) ．
A．0 B．1 C．2 D．3
解: ,
答案: B
三、 解答题
1．计算
( 1) ; ( 2) ; ( 3)
解: ( 1) =
( 2)
( 3) =
2．计算．
解:
=
3．设矩阵, 求．
解: 因为,

因此
4．设矩阵, 确定的值, 使最小．
解: 由于矩阵A的秩至少为2, 令, 得到: 当时, 达到最小值．
5．求矩阵的秩．
解: ,
故．
6．求下列矩阵的逆矩阵:
( 1) ．
解:

,
故 ．
( 2) 设A =, 求．
解: ,

,
故 ．
7．设矩阵, 求解矩阵方程．
解: ．
四、 证明题
1．试证: 若都与可交换, 则, 也与可交换．
证: 因为,
因此 ,
,
即, 也与可交换．
2．试证: 对于任意方阵, , 是对称矩阵．
证: , ．
3．设均为阶对称矩阵, 则对称的充分必要条件是: ．
证: 已知,
充分性: 由于, 故;
必要性: 由于, 故．
4．设为阶对称矩阵, 为阶可逆矩阵, 且, 证明是对称矩阵．
证: 因为, 因此=．

《经济数学基础12》形考作业四讲评
一、 填空题
1.函数的定义域为.
解: 解之得
答案:
2. 函数的驻点是, 极值点是 , 它是极 值点.
解: 令, 得驻点为, 又, 故为极小值点
答案: , 小
3.设某商品的需求函数为, 则需求弹性 .
解:
答案:
4.若线性方程组有非零解, 则.
解: 令, 得
答案:
5. 设线性方程组, 且, 则时, 方程组有唯一解.
解: 当时, 方程组有唯一解, 故
答案:
二、 单项选择题
1. 下列函数在指定区间上单调增加的是( ) ．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x
解: 因为在区间上, , 因此区间上单调增加
答案: B
2. 设, 则( ) ．
A． B． C． D．
解:
答案: C
3. 下列积分计算正确的是( 　) ．
A．　　 　B．
C．　 　　　 D．
解: 因为是奇函数, 因此
答案: A
4. 设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是( ) ．
A． B． C． D．
解: 当时, 线性方程组才有无穷多解, 反之亦然
答案: D
5. 设线性方程组, 则方程组有解的充分必要条件是( ) ．
A． B．
C． D．
解: ,
则方程组有解的充分必要条件是, 即
答案: C
三、 解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程:
(1)
解: 分离变量得 ,
积分得 ,
所求通解为 ．
( 2)
解: 分离变量得 ,
积分得 ,
所求通解为 ．
2. 求解下列一阶线性微分方程:
( 1)
解:

．
( 2)
解:

．
3.求解下列微分方程的初值问题:
(1) ,
解: 分离变量得 ,
积分得通解 ,
代入初始条件得 ,
所求特解为 ．
(2),
解: ,
通解为 ,
代入初始条件得 ,
所求特解为 ．
4.求解下列线性方程组的一般解:
( 1)
解:
因此, 方程的一般解为
( 其中是自由未知量) ．
( 2)
解:

因此, 方程的一般解为
( 其中是自由未知量) ．
5.当为何值时, 线性方程组

有解, 并求一般解．
解:

当时, , 方程组有无穷多解．
因此, 方程的一般解为
( 其中是自由未知量) ．
6．为何值时, 方程组

无解, 有唯一解, 有无穷多解?
解: ,
当且时, 方程组无解;
当时, 方程组有唯一解;
当且时, 方程组无穷多解．
7．求解下列经济应用问题:
( 1) 设生产某种产品个单位时的成本函数为: ( 万元) ,
求: ①当时的总成本、 平均成本和边际成本;
②当产量为多少时, 平均成本最小?
解: ① ( 万元)
( 万元/单位)
, ( 万元/单位)
②令, 得;
故当产量为20个单位时可使平均成本达到最低．
( 2) .某厂生产某种产品件时的总成本函数为( 元) , 单位销售价格为( 元/件) , 问产量为多少时可使利润达到最大? 最大利润是多少．
解: ,
令, 得 ,
故当产量为250个单位时可使利润达到最大, 且最大利润为( 元) ．
( 3) 投产某产品的固定成本为36(万元), 且边际成本为(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量, 及产量为多少时, 可使平均成本达到最低．
解: 总成本函数 ,
,
因此当产量由4百台增至6百台时, 总成本的增量为 100( 万元) ;
, 令, 得 ,
故当( 百台) 时可使平均成本达到最低.
( 4) 已知某产品的边际成本=2( 元/件) , 固定成本为0, 边际收益
, 求:
①产量为多少时利润最大?
②在最大利润产量的基础上再生产50件, 利润将会发生什么变化?
解: ① 总成本函数 ,
总收入函数 ,
总利润函数 ,
令, 得 ,
因此当产量为500件时, 利润最大.
② ( 元) , 即利润将减少25元.