解析几何.doc

2012年一模卷分类汇编：解析几何
（普陀）已知直线的方程为，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ．
（闸北）设直线与的方程分别为与，则“”是“”的 （ B ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（杨浦)若直线与圆有两个不同的交点， 则点与圆的位置关系是 在圆外 ．
（奉贤过点且一个法向量为的直线的点法向式方程为___________
（闵行）已知直线与两点，若直线与线段相交，则的取值范围是 ．
（闵行）设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（ D ）
（A）相离. （B） 相切. （C）相交. （D）随m的变化而变化.
（虹口）过圆内的点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积等于 ．40
（嘉定）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（ C ）
A． B． C． D．需根据，的取值来确定
（浦东新区）椭圆的焦点坐标为__，__________.
浦东新区）方向向量为，且过点的直线的方程是 .
（闵行）抛物线的准线方程是 （ D ）
（A）． (B) ． (C) ． （D）．
普陀）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为 ．

（杨浦)若椭圆内有圆，该圆的切线与椭圆交于两点，且满足（其中为坐标原点），则的最小值是 ．49
（杨浦)若分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，点的坐标为(2，0)，为的平分线．则的值为 ( B )．
3 . 6. 9. 27.
（闵行）椭圆上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则 2．
（虹口）过抛物线的焦点作弦，点，，且，则 ．14
（虹口）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在双曲线上，
且，则点到轴的距离等于 ．3
（嘉定）若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值为_________8__．
A
B
C
D
O
y
x

（嘉定）如图，在平面直角坐标系中，椭圆
（）被围于由条直线，所围成的
矩形内，任取椭圆上一点，若
（、），则、满足的一个等式是_______________．

（宝山）过抛物线的焦点，倾斜角为的直线交抛物线于（），则的值
（崇明）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的标准方程是　　　　　　．
（奉贤设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是__
（奉贤设双曲线的渐近线方程为，则正数的值为_2____
（奉贤将两个顶点在抛物线上，另一个顶点，这样的正三角形有（ C ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．1个
(青浦）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是 ．
1(青浦）已知椭圆及以下３个函数：①；②；
③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ C ）．
.０个 １个　 .２个 .３个
（闸北）在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为 ．
（奉贤已知直角坐标平面内点，一曲线经过点，且
（1）求曲线的方程；（2）设，若，求点的横坐标的取值范围．

根据定义知曲线C的轨迹是焦点在轴上的椭圆
设椭圆方程为 ，
椭圆方程为
设点,
建立不等式，解出
因为点在椭圆上，
所以点的横坐标的取值范围
（虹口）已知椭圆的焦点坐标为，长轴等于焦距的2倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）矩形的边在轴上，点、落在椭圆上，求矩形绕轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值．
（1）椭圆的方程为
（2）记，
由，得，．
当，即，时取到．
（闸北）椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．
（1）求证：；（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程．
解：（1）由题设，得，
由椭圆定义，
所以，．
设，，，：，代入椭圆的方程，整理得
，（*）
则
，
于是有， 化简，得，故，．
（2）由（1）有，方程（*）可化为
设中点为，则，
又，于是．
由知为的中垂线，，
由，得，解得，，
故，椭圆的方程为
（虹口）（1）求以为渐近线，且过点的双曲线的方程；
（2）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的方程；
（3）椭圆上有两点，，为坐标原点，若直线，斜率之积为，求证： 为定值．
（1）设双曲线方程为将代入，得，
得双曲线A：
（2） 椭圆的顶点为，焦点为，，椭圆B：
（3） （3）设，，由，得，
同理可得，
（嘉定）已知双曲线的方程为，点和点（其中和均为正数）是双曲线的两条渐近线上的的两个动点，双曲线上的点满足（其中）．
（1）用的解析式表示；（2）求△（为坐标原点）面积的取值范围．
（1）由已知，，（，），设
由，得，故点的坐标为，…（3分）
将点的坐标代入，化简得，．
（2）解：设，则，所以．
又，，所以
，
记，，则在上是减函数，在上是增函数．
所以，当时，取最小值，当时，取最大值．
所以△面积的取值范围是
（闵行）设双曲线，是它实轴的两个端点，是其虚轴的一个端点.已知其一条渐近线的一个方向向量是，的面积是，为坐标原点，直线与双曲线C相交于、两点，且．
（1）求双曲线的方程；（2）求点的轨迹方程,并指明是何种曲线.
解：（1） 由题意，双曲线的渐近线方程为，则有
又的面积是，故 ，得（3分）
所以双曲线的方程为. （6分）
（2）设，直线：与双曲线联立消去，
得由题意， （2分）
且 （4分）
又由知
而
所以
化简得①
由可得②
由①②可得 （6分）
故点P的轨迹方程是 （8分）
（杨浦)已知的三个顶点在抛物线:上运动，
1. 求的焦点坐标；
2. 若点在坐标原点， 且 ，点在上，且 ，
求点的轨迹方程；
3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由.
(1) 【解】. 由得 所以,焦点坐标为 　　　　　
(2) 【解1】设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的),与抛物线交于
则得,
又点在抛物线上,故有,
或(舍)
-------①
又的斜率为,则有 ,既代入①
故点轨迹为 (注:没写扣1分)
另解:由上式①过定点, ,
所以, , 既
(3) 【解1】若存在边所在直线的斜率为的正三角形,设,
(其中不妨设), 则 , ------①
令,则,即
将①代入得,,
-----------------②
线段的中点为,由①, ②得的横坐标为,
的纵坐标为
又设 由得
点在抛物线上,则,即,
又因为 ,

(青浦）我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线．
（1）试求平面内到两个定点的距离之商为定值的点的轨迹；
提示：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
设的坐标分别为其中
（2）若中，满足，求三角形的面积的最大值.
解：（1）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设的坐标分别为． 设动点坐标
根据题意可得
，
即 整理得 所以平面内到两个定点的距离之商为定值的点的轨迹是圆．
（用，最后整理得
（2）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设
的坐标分别为．
设顶点，根据题意可得
，
即整理得
即点落在除去两点的圆上．
又，

崇明）如图，已知椭圆：过点，上、下焦点分别为、，向量．直线与椭圆交于两点，线段中点为．
（1）求椭圆的方程；（2）求直线的方程；
（3）记椭圆在直线下方的部分与线段所围成的平面区域（含边界）为，若曲线
与区域有公共点，试求的最小值．
[解]（1）
解得：，椭圆方程为
（2）①当斜率不存在时，由于点不是线段的中点，所以不符合要求；

②设直线方程为，代入椭圆方程整理得

解得 所以直线 （3）化简曲线方程得：，是以为圆心，为半径的圆。当圆与直线相切时，，此时为，圆心。由于直线与椭圆交于，故圆过时，最小。此时，。
（普陀）设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点
（1） 当时，试写出抛物线上三点、、的坐标，时期满足；
（2） 当时，若，求证：；
（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：“若，则”开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
① 试构造一个说明该命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；
② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；
如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）
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