双射线性变换视角下一般积分的对称性问题.pdf

收稿日期2 0 2 2-0 9-0 6;修改日期2 0 2 3-0 2-1 5 基金项目国家自然科学基金(1 2 2 0 1 6 3 5);湖南省自然科学基金(2 0 2 2 J J 4 0 5 4 1);国防科技大学校预研项目(Z K 1 9-1 9)作者简介王银坤(1 9 8 8-),男,博士,讲师,从事高等数学课程教学研究.E-m a i l:y i n k u n 5 5 2 21 6 3.c o m 通讯作者倪谷炎(1 9 6 6-),男,博士,教授,从事数学分析、高等数学课程教学研究.E-m a i l:g u y a n-n i 1 6 3.c o m第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3双射线性变换视角下一般积分的对称性问题王银坤,倪谷炎(国防科技大学 理学院 数学系,长沙4 1 0 0 7 2)摘 要针对高等数学课程中对称性问题,从双射变换的视角提出了刻画积分域对称性的新概念,借助新概念,研究了双射线性变换视角下一般积分的对称性,可用于简化积分计算.一般积分对称性的新视角可帮助学生加深对不同类型积分的对称性理解.关键词积分;对称性;偶倍奇零 中图分类号O 1 7 7.5 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 6 8-0 51 引 言积分包括定积分、重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分等,是高等数学课程的核心内容1-2.在各类积分计算中,利用积分域的某种对称性,将积分化繁为简,可以极大简化积分的计算,提高解题效率,深受学生、老师的偏爱3.已有很多文献从不同角度对重积分的对称性进行了介绍,文献4给出了一类广义对称性在积分计算中的应用,文献5 较为全面地总结了各类积分的对称性的结论,文献6-7 讨论对称性在重积分计算中的使用技巧,文献8 从换元法角度出发,给出了几种常用对称性的数学原理.文献9 基于一般积分的定义及区域关于坐标的对称概念,将定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分的偶倍奇零性质统一起来.本文将从代数的角度提出新的区域对称概念,进一步给出双射线性变换下一般积分的对称性.2 基本概念为了方便定义对称,记矩阵Wk=D i a g(1,1,-1,1,1)第k个.定义19 设闭区域n,若x,均有Wkx,则称关于第k坐标对称.基于定义1,下面给出在双射变换视角下闭区域的新对称性定义.定义2 设闭区域n,若双射变换:nn,使得()=(x):x 关于第k坐标对称,则称在变换下关于第k坐标对称.命题1 设闭区域n,则在双射变换下关于第k坐标对称的充要条件为x,-1(Wk(x),其中-1为变换的逆变换.证 充分 性 y(),则x使得y=(x),又-1(Wk(x)=-1(Wky),则Wky=(-1(Wky)().故在变换下关于第k坐标对称.必要性 x,(x)(),则由在变换下关于第k坐标对称知Wk(x)(),从而-1(Wk(x).注 由命题1可知若在双射变换下关于第k坐标对称,则x在双射变换下的对称点为-1(Wk(x),x.例1 当为恒等变换,即(x)=x,xn时,闭区域在变换下关于第k坐标对称即为关于第k坐标对称.例如,当n=2时,闭区域在恒等变换下关于第1坐标对称,则对于任意x=(x1,x2)T,均有W1x=(-x1,x2)T,于是关于x2坐标轴对称;当n=3时,闭区域在恒等变换下关于2坐标对称,则对于任意x=(x1,x2,x3)T,均有W2x=(x1,-x2,x3)T,于是关于x1O x3坐标面对称.图1 在恒等变换下二维区域关于第1坐标对称(左)和三维区域关于第2坐标对称(右)例2 令ek=0,1,0第k个Tn,其中上标T表示转置.对于给定实数b,令(x)=x-b ek,xn.从几何上看,当n=2时,在变换下关于第k坐标对称表示关于直线xk=b对称;当n=3时在变换下关于第k坐标对称表示关于平面xk=b对称.例3 令Pj,k()=1c o s-s i ns i nc o s1 第j行 第k行 第j列 第k列 为旋转矩阵.令(x)=P1,2(/4)x,xn.当n=2时,取k=1,由于-1(W1(x)=2222-2222 -11 22-222222 x1x2 =x2x1 ,则在变换(x)=P1,2(/4)x下关于第1坐标对称,即对于任意(x1,x2)T均有(x2,x1)T,表示关于直线x1=x2对称.因此,在变换下关于第k坐标对称包含了常见一些区域的对称性.为了讨论一般积分的对称性,接下来给出相应函数f的定义.定义3 设闭区域n且存在双射变换:nn和整数kn,使得在变换下关于第k坐标对称,f(x)是定义在上的函数.如果f(-1(Wk(x)=-f(x),则称f(x)在变换下关于第k自变量为奇函数;如果f(-1(Wk(x)=f(x),则称f(x)在变换下关于第k自变量为偶函数.3 一般积分的对称性首先引入文献9 中定义的一般积分概念.定义49 设是n上的一个有界闭区域,是上的一个测度,f(x)是定义在上的一个有界96第3期 王银坤,等:双射线性变换视角下一般积分的对称性问题函数.将任意剖分成m个闭子域i,i=1,m,i表示i的测度,在每个子域i上任取一点Pi,做和式sm=mi=1f(Pi)i.设i是i,i=1,m的直径,记=m a xi=1,mi.若当0时,smI.则称f(x)在上可积,I称为f(x)在上的积分,记为f(x)d=l i mmi=1f(Pi)i.注 定义4中一般积分概念涵盖了定积分、多重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分等的定义.当为区间、曲线时测度为直线段的长度或曲线弧长.当为平面区域、空间曲面时测度为区域或曲面的面积.当为立体区域时,测度为立体的体积.为了讨论一般积分的对称性,我们限定双射变换为线性变换.定理1 设闭区域n且存在双射线性变换:nn和整数kn,使得在变换下关于第k坐标对称,定义在上的函数f(x)可积.令+=x:eTk(x)0.则(i)如果f(x)在变换下关于第k自变量为奇函数,那么f(x)d=0;(i i)如果f(x)在变换下关于第k自变量为偶函数,那么f(x)d=2+f(x)d.证 首先将+任意剖分为m份,分别为+i,i=1,2,m,并记-i=-1(Wk(x):x+i,i=1,2,m,则由在变换下关于第k坐标对称知,-i,+i:i=1,2,m 构成的一个特殊剖分.由 于为 线 性 变 换,此 时+i=-i,其 中+i表 示 子 域+i的 测 度.Pi+i,取Qi=-1(Wk(Pi)-i,i=1,2,m,设为所有子域的最大直径.由函数f(x)可积及定义4知f(x)d=l i mmi=1f(Pi)+i+f(Qi)-i =l i mmi=1f(Pi)+f(-1(Wk(Pi)+i.若在变换下f(x)关于自变量xk为奇函数,即f(-1(Wk(x)=-f(x),则f(x)d=0;若在变换下f(x)关于自变量xk为偶函数,即f(-1(Wk(x)=f(x),则f(x)d=2 l i mmi=1f(Pi)+i=2+f(x)d.特别地,当定理1中取为恒等变换,即(x)=x,xn时,可得到一般积分的偶倍奇零性质,即可获得定积分、多重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的偶倍奇零的统一性质,该部分性质及应用已在文献9 中重点讨论.下一节将讨论在另一类双射线性变换下定理1在积分计算中的应用.4 应用举例本节讨论双射线性变换为(x)=x-b ek,xn时定理1在积分计算中的应用.为了方便使用,针对这种特殊情形,给出与在变换下关于第k坐标对称及f(x)关于第k自变量为奇/偶函数的等价定义.定义5 设闭区域n且存在数b,对(x1,xk-1,xk,xk+1,xn),均有(x1,xk-1,2b-xk,xk+1,xn),则称关于xk=b对称.定义6 设闭区域n且关于xk=b对称,f(x)是定义在上的函数.如果f(x1,xk-1,2b-xk,xk+1,xn)=-f(x1,xk-1,xk,xk+1,xn),则称f(x)关于xk=b为奇函数;如果f(x1,xk-1,2b-xk,xk+1,xn)=f(x1,xk-1,xk,xk+1,xn),则称f(x)关于xk=b为偶函数.因此定理1在变换(x)=x-b ek,xn时的结论可简化为:当闭区域关于xk=b对称且函数f(x)关于xk=b为奇/偶函数时,f(x)在上的积分满足偶倍奇零性质.07大 学 数 学 第3 9卷在实际应用中,给出基于描述的方程来判断对称性的准则:在方程中记t=xk-b,将-t带入方程,看方程是否发生改变,若方程未变化,则关于xk=b对称.对于曲线型闭区域,看曲线方程是否满足判断准则;对于曲面型闭区域,看曲面方程及曲面边界曲线方程是否满足判断准则;对于空间立体闭区域,则看边界曲面方程是否满足判断准则.例4 设为上半球面x2+(y-2)2+z2=4x夹在圆柱面x2+(y-2)2=2x内的部分.记t=y-2,则曲面方程为x2+t2+z2=4x及边界曲线方程为x2+t2+z2=4x,x2+t2=2x,同时将-t分别带入方程x2+t2+z2=4x,x2+t2=2x后方程没有发生改变,则关于y=2对称.另一方面,(x,y,z),容易验证(x,4-y,z),根据定义5知,确实关于y=2对称.因此对称性的判断对几何直观没有要求.例5 计算积分I=z2y+5x(y-2)s i nx2+z2 dV,其中由曲面z=12(x2+(y-2)2),平面z=1,z=4所围成.解I=(y-2)z2+5xs i nx2+z2 dV+2z2dV,由对称性判断准则易知关于y=2对称.同时根据定义6知函数(y-2)z2+5xs i nx2+z2 关于y=2为奇函数.由定理1知(y-2)z2+5xs i nx2+z2 dV=0,从而I=2z2dV=241z2dzx2+(y-2)22zd=441z3dz=2 5 5.例6 计算对弧长曲线积分I=L(1+x+y)2ds,其中L是圆(x-1)2+y2=1.解法1 曲线L的参数方程为r(t)=(c o st+1,s i nt),t0,2,则I=20(1+1+c o st+s i nt)2dt=20(5+4 c o st+4 s i nt+2 s i ntc o st)dt=1 0.解法2 根据对称性判断准则易知曲线L关于x=1及y=0对称.根据定义6知,函数2(x-1)及2(x-1)y关于x=1为奇函数,函数2y关于y=0对称.则由定理1的对称性知L2(x-1)+2(x-1)y+2yds=0.从而I=L2+(x-1)+y2ds=L4+(x-1)2+y2ds=5Lds=1 0.例7 设积分域为上半球面x2+(y-2)2+z2=4x夹在圆柱面x2+(y-2)2=2x内的部分,n=(c o s,c o s,c o s)为该半球面在点P(x,y,z)处指向上侧的单位法向量,计算对面积的曲面积分I=zc o s+(z-x)c o s+(2-x)c o sdS.解 在点P(x,y,z)处指向上侧的单位法向量为n=x-22,y-22,z2,因此所求积分I=zx-22+(z-x)y-22+(2-x)z2 dS=12(z-x)(y-2)dS,根据对称性判断准则易知对y=2对称且根据定义6知函数(z-x)(y-2)关于y=2为奇函数.则由定理1知I=12(z-x)(y-2)dS=0.17第3期 王银坤,等:双射线性变换视角下一般积分的对称性问题5 结 论本文从代数角度引入积分区域在双射变换下关于坐标对称的新概念,基于新概念,给出了双射线性变换视角下一般积分的对称性,该结果进一步推广了已有积分的偶倍奇零性质,扩大了积分对称性在积分计算中的范围,这也为不同类型积分的对称性教学提供新的思路,可加强学生对积分对称性的理解与学习.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 李建平,朱健民.高等数学:上册M.2版.北京:高等教育出版社,2 0 1 5:2 3 7-2 8 5.2 李建平,朱健民.高等数学:下册M.2版.北京:高等教育出版社,2 0 1 5:1 4 3-2 3 1.3 段耀勇.一道曲线积分题目的六种解法J.大学数学,2 0 1 4,3 0(3):9 5-9 7.4 苏化明,禹春福.广义对称性在积分计算中的应用J.大学数学,2 0 1 1,2 7(5):1 3 8-1 4 1.5 朱红宝.积分运算中的对称性J.高等数学研究,2 0 1 7,2 0(1):9 6-1 0 1.6 朱玉.重积分计算中对称性的应用J.高等数学研究,2 0 1 9,2 2(2):1 7-1 8,2 1.7 黄东卫,王雪歌.浅谈对称性在积分计算中的应用J.高等数学研究,2 0 2 1,2 4(2):1 9-2 3.8 王晓东,李义强.重积分对称性的数学原理及应用J.高等数学研究,2 0 2 2,2 5(2):7 4-7 9.9 李颖,倪谷炎.一般积分的偶倍奇零性质J.高等数学研究,2 0 1 9,2 2(2):5 9-6 1,6 4.T h eS y mm e t r yo fG e n e r a l I n t e g r a l s i nt h eV i e wo fB i j e c t i v eL i n e a rT r a n s f o r m a t i o nWANGY i n k u n,N IG u y a n(D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s,C o l l e g eo fS c i e n c e s,N a t i o n a lU n i v e r s i t yo fD e f e n s eT e c h n o l o g y,C h a n g s h a4 1 0 0 7 2,C h i n a)A b s t r a c t:A i m i n ga t t h es y mm e t r yp r o b l e mi nt h ec o u r s eo fA d v a n c e dM a t h e m a t i c s,an e wc o n c e p t t od e s c r i b et h es y mm e t r yo f t h e i n t e g r a l d o m a i ni sp r o p o s e df r o mt h ep e r s p e c t i v eo fb i j e c t i v et r a n s f o r m a t i o n.W i t ht h eh e l po ft h en e wc o n c e p t,t h es y mm e t r yo f t h eg e n e r a l i n t e g r a l i ss t u d i e d i nt h ev i e wo fb i j e c t i v e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n,w h i c hc a nb eu s e dt os i m p l i f yt h ei n t e g r a lc a l c u l a t i o n.A n e w p e r s p e c t i v eo n g e n e r a li n t e g r a ls y mm e t r y h e l p ss t u d e n t sd e e p e nt h e i ru n d e r s t a n d i n go f t h es y mm e t r yo fd i f f e r e n t t y p e so f i n t e g r a l s.K e yw o r d s:i n t e g r a l;s y mm e t r y;e v e nt i m e so d dz e r o27大 学 数 学 第3 9卷