食饵具有恐惧效应与群体防御的捕食者—食饵模型的定性分析.pdf

年月南宁师范大学学报(自然科学版)J u n 第 卷 第期J o u r n a l o fN a n n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l N o D O I:/j c n k i i s s n 文章编号:()食饵具有恐惧效应与群体防御的捕食者食饵模型的定性分析唐城林,李自尊(南宁师范大学 数学与统计学院,广西 南宁 )摘要:该文研究食饵具有恐惧效应和群体防御的捕食者食饵模型证明了非负平衡点的存在性,然后用线性化方法分析了平衡点的稳定性,并给出了系统发生H o p f分岔的条件最后给出了数值例子结论表明,增强恐惧效应会使捕食者种群数量有所减少,使得捕食者和食饵都可以稳定生存关键词:恐惧效应;群体防御;H o p f分岔;稳定性中图分类号:O 文献标志码:A分析捕食者与食饵之间的相互作用,研究它们的动力学行为,对于了解生态系统有重要意义在对捕食者食饵系统的研究中,通常假设捕食者通过捕食影响食饵的种群密度然而食饵在遇到捕食风险时会产生各种反捕食行为,如选择栖息地、生殖变化、觅食行为等 W a n g等提出一个具有恐惧效应的捕食模型,模型中引入了恐惧因子k y,其中y表示捕食者种群,k表示食饵对捕食者的恐惧程度近年来一些学者的研究也证实了恐惧效应对食饵的影响远大于捕食的影响,并说明适当的恐惧效应会避免捕食者数量的暴发 年A j r a l d i等考虑了食饵具有群体防御的捕食系统dXdTr X(Xk)XYTh X,X(),dYdTs Yc XYTh X,Y(),()其中X(T)和Y(T)分别表示T时刻食饵种群的密度和T时刻捕食者种群的密度,Th表示捕食者对食饵的平均处理时间,参数是Y对X的搜索效率,s是捕食者的死亡率,c是生物量转换或消耗率所有参数均为正值B r a z a在上述研究基础上,使用一个修正的L o t k a V o l t e r r a交互作用项作为功能反应函数dxdtx(x)x y,x(),dydts yc x y,y()()受以上研究的启发,我们在系统()的基础上引入恐惧因子,且考虑捕食者对食饵的平均处理时间Th,对其进行简化,得到系统dxdtx(x)k yx y,x(),dydts yc x y,y()为了便于后续分析,将其化为等价形式dxdtx(x)x y(k y)H x f(x),x(),dydts y(k y)c x y(k y)y g(y),y()()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金();南宁师范大学博士科研启动项目()第一作者简介:唐城林(),男,重庆云阳人,硕士研究生,研究方向:微分方程与动力系统 E m a i l:t c l c o m通信作者简介:李自尊(),男,山东济宁人,副教授,博士,硕士生导师,研究方向:微分方程与动力系统E m a i l:z z l q f n u c o m 南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷系统解的一致有界性定理系统()的解一致有界证明由()可得dxdtx(x)x y(k y)x(x),因此l i mts u px(t)令Wxyc,则有dWdts Wx(x)s xs kcy(s)xx(s),进而由G r o n w a l l不等式(见,定理),得W(t)W()es t(s)es t(s),故l i mtW(t)(s)系统平衡点的稳定性分析系统()的平衡点E(,)和E(,)总是存在的当cs时,系统()有内部平衡点E(x,y),其中xsc,ymk,这里mkcssc系统()的线性化矩阵为J(x,y)xy(k y)xx(k y)c y(k y)x(sc x)(k y),它在E(,)处的J a c o b i矩阵是非奇异的考虑在原点附近(x,y)对系统()进行局部非线性分析此时x,k y,x yy,即dxdtxx y,dydts y我们发现系统()在原点附近与系统()有相同的动力学行为对于边界平衡点E(,),有J(,)sc显然,E(,)在sc时稳定,在sc时不稳定,在sc时发生跨临界分岔对于内部平衡点E(x,y),有J(x,y)scx(k y)c y(k y)x(sc x)(k y),从而有d e t(J(E)a a a a c y(k y)(k y),t r(J(E)a a(sc)第期唐城林,等:食饵具有恐惧效应与群体防御的捕食者食饵模型的定性分析 因此,E(x,y)在sc时稳定,在sc时 不稳定H o p f分岔定理当sc时,系统()在E处发生H o p f分岔,产生一个稳定的极限环证明令(s)t r(J(E),(s)d e t(J(E),(s)(s),(s)(s)(s)我们有(s)(s)(sc)于是当sc时(s),此时(s)(s)(s)c y(k y)(k y),其中y kk由(s)c可知,系统()满足在内部平衡点E处发生H o p f分岔的条件为便于后续分析,我们将平衡点移到坐标原点,即作平移变换x,yy,于是系统()变为(k y)(k y)kk(k y)(|,|),c(k y)k(k y)(|,|),我们将其表示为AB(,)C(,),其中AJ(E(s),B,C均为向量函数令(,)T,(,)T,(,)T,则B(,)(k y)()k(k y)(),()C(,)k()(k y)()c k()(k y)(),()南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷Akc,()其中(s)ck,我们可以得到对应于特征值A qi q,ATp i p的复特征向量p ii,qi,且 p,q由()、()、()可得B(q,q)ia k c(ia),B(q,q)k c,C(q,q,q)ia k c(ia k),其中a k由上面三式可得g p,B(q,q)ia k a c ic,g p,B(q,q)k ic,g p,C(q,q,q)ia k a c ic ik c,通过计算得到,在参数ssc时的平衡点E(x,y)的第一L y a p u n o v系数为l(s)R e(ig g g)c a c a a k k a c l(s),发生超临界分岔定理证毕数值例子由前面的讨论可以得到系统出现极限环时的参数范围,下面我们选取适当的参数值来进行验证取参数kc,而参数s分别取为 和,我们得到系统()的相图分别如图和图所示图系统()在k,s,c时的图系统()在k,s,c时的稳定极限环相图不稳定焦点相图第期唐城林,等:食饵具有恐惧效应与群体防御的捕食者食饵模型的定性分析 从图和图可见,当s 时E为一个不稳定的焦点且系统存在一个稳定极限环,而当s 时,极限环消失,E由不稳定焦点变成稳定焦点结论本文考虑了猎物被捕食风险对猎物的增长率的影响我们的模型在生物学上是有效的,因为在第一象限开始的任何正解都保持非负和有界我们分析了模型的的持久性条件,给出了系统的正平衡点存在的条件研究了不同平衡点的局部稳定性,推导出了正平衡点的稳定条件我们确定了引起H o p f分岔的参数s并讨论了极限环的稳定性,并通过数值例子验证了理论结果参考文献:C r e s s w e l lW P r e d a t i o n i nb i r dp o p u l a t i o n sJ J o u r n a l o fO r n i t h o l o g y,():B e r aSP,M a i t iA,S a m a n t aG D e t e r m i n i s t i c a n ds t o c h a s t i c a n a l y s i s o f ap r e y p r e d a t o rm o d e lw i t hh e r db e h a v i o u r i nb o t hJ S y s t e m sS c i e n c e&C o n t r o lE n g i n e e r i n g,():Z a n e t t eLY,Wh i t eAF,A l l e nMC,e t a l P e r c e i v e dp r e d a t i o nr i s kr e d u c e s t h en u m b e r o f o f f s p r i n gs o n g b i r d sp r o d u c ep e ry e a rJ S c i e n c e,():C r e e lS,C h r i s t i a n s o nD,W i n n i eJ,e t a l P r e d a t i o nr i s ka f f e c t sr e p r o d u c t i v ep h y s i o l o g ya n dd e m o g r a p h yo f e l kJS c i e n c e,():W a n gXY,Z a n e t t eL,Z o uX M o d e l l i n gt h e f e a re f f f f e c t i np r e d a t o r p r e y i n t e r a c t i o n sJ J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lB i o l o g y,():C l i n c h y M,S h e r i f fMJ,Z a n e t t eL Y P r e d a t o r i n d u c e ds t r e s sa n dt h ee c o l o g yo ff e a rJ F u n c t i o n a lE c o l o g y,():A j r a l d iV,P i t t a v i n oM,V e n t u r i n oE M o d e l i n gh e r db e h a v i o r i np o p u l a t i o ns y s t e m sJ N o n l i n e a rA n a l y s i s:R e a lW o r l d,():B r a z aP P r e d a t o r p r e yd y n a m i c sw i t hs q u a r er o o t f u n c t i o n a l r e s p o n s e sJ N o n l i n e a rA n a l y s i s:R e a lW o r l dA p p l i c a t i o n s,():张伟年,杜正东,徐冰常微分方程M北京:高等教育出版社,AQ u a l i t a t i v eA n a l y s i so faP r e d a t o r P r e yM o d e lw i t hF e a rE f f e c t a n dG r o u pD e f e n s eTAN GC h e n g l i n,L IZ i z u n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N a n n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y,N a n n i n g ,C h i n a)A b s t r a c t:I nt h i sp a p e rw es t u d yap r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hf e a re f f e c ta n dg r o u pd e f e n s e W ep r o v e t h ee x i s t e n c eo fn o n n e g a t i v ee q u i l i b r i u m p o i n t s,t h e na n a l y z et h es t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n t sb y l i n e a r i z a t i o n,a n dg i v e c o n d i t i o n s f o r t h eo c c u r e n c eo fH o p f b i f u r c a t i o n N u m e r i c a l e x a m p l e sa r eg i v e n i nt h ee n d T h ec o n c l u s i o ns h o w st h a t,e n h a n c i n gt h ef e a re f f e c tw i l lr e d u c et h ep r e d a t o rp o p u l a t i o n,a sar e s u l t,b o t ht h ep r e d a t o r sa n dt h ep r e y sc a ns u r v i v es t a b l y K e yw o r d s:p r e d a t o r p r e ys y s t e m;f e a re f f e c t;g r o u pd e f e n s e 责任编辑:班秀和 见习编辑:彭喻振