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等差数列及其变式

一、基本等差数列
1、常规等差数列
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。等差数列的递推公式为an=a1+(n -1)d。
【例】1，4，7，10，l 3，l 6，19，22，25，…

2、二级等差数列
一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差数列。
解题模式：
(1)观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
(2)尝试作差。一般为相邻两项之间作差。注意作差时相减的顺序要保持不变。
(3)猜测规律。
(4)检验。
(5) 重复步骤(2)～(4)直至规律吻合。
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【例1】(2007黑龙江，第8题)11，12，15，20，27，( )
A．32 B．34 C．36 D．38
【答案】C
【解题关键点】

【例2】(2002国家，B类，第3题)32，27，23，20，18，( )
A．14 B．15 C．16 D．1 7
【答案】D
【解题关键点】

【例3】(2002国家，B类，第5题)－2，1，7，16，( )，43
A．25 B．28 C．31 D．35
【答案】B
【解题关键点】

【例】3，6，11，( )，27
A．15 B．18 C．19 D．24
【答案】 B
【解题关键点】二级等差数列。

3、二级等差数列变式
（1）相邻两项之差是等比数列
【例】0，3，9，21，( )，93
A．40 B．45 C. 36 D．38
【答案】B
【解题关键点】二级等差数列变式

（2）相邻两项之差是连续质数

【例】11，13，16，21，28，( )
A．37 B．39 C.41 D.47
【答案】B
【解题关键点】二级等差数列变式

（3）相邻两项之差是平方数列、立方数列
【例】1，2，6，15，（ ）
A．19 B．24 C．31 D．27
【答案】C
【解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。

得到平方数列。如图所示，因此，选C
（4）相邻两项之差是和数列
【例】2,  1,  5,  8,  15,  25,  (  )
A.41 　　　B.42 　C.43 D.44
【答案】Ｂ
【解题关键点】相邻两项之差是和数列

（5）相邻两项之差是循环数列
【例】1,4,8,13,16,20,( )
A. 20 B. 25 C. 27 D. 28
【答案】B
【解题关键点】该数列相邻两数的差成3，4，5一组循环的规律，所以空缺项应为20+5=25，故选B。
【结束】

4、三级等差数列
一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列，然后对该新数列相邻两项作差，得到等差数列，则称原数列为三级等差数列。

解题模式：
(1)观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
(2)尝试作差。一般为相邻两项之间作差。注意作差时相减的顺序要保持不变。
(3)猜测规律。
(4)检验。
(5)重复步骤(2)～(4)直至规律吻合。
【例】（2009年中央机关及其直属机构公务员录用考试行测真题）1，9，35，91，189，( )
A．361 B．341 C．321 D．301
【答案】B
【解题关键点】原数列后项减前项构成数列8，26，56，98，( )，新数列后项减前项构成数列18，30，42，(54)，该数列是公差为12的等差数列，接下来一项为54，反推回去，可得原数列的空缺项为54+98+189=341，故选B。如图所示：

解法二：立方和数列。，，，，，，答案为B。
解法三：因式分解数列，原数列经分解因式后变成：1×1，3×3，5×7，7×13，9×21，(11×31)，将乘式的第一个因数和第二个因数分别排列，前一个因数是公差为2的等差数列，后一个因数是二级等差数列，答案也为B。图示法能把等差(比)数列的结构清晰地表示出来，一般应用于多级等差(比)数列中。
【例2】5，12，21，34，53，80，( )
A .121 B．115 C．119 D．117
【答案】D
【解题关键点】三级等差数列

5、三级等差数列变式
（1）两次作差之后得到等比数列
【例】(2005国家，－类，第35题)0，1，3，8，22，63，( )。
A．163 B．174 C．185 D．196
【答案】C
【解题关键点】

前－个数的两倍，分别减去－1，0，1，2，3，4等于后－项。
【结束】

（2）两次作差之后得到连续质数
【例】1,8,18,33,55,( )
A．86 B．87 C．88 D．89
【答案】C
【解题关键点】
1 8 18 33 55 (88)
求差
7 10 15 22 (33)
求差
3 5 7 (11) 质数列

（3）两次作差之后得到平方数列、立方数列
【例】5,12,20,36,79,( )
A．185 B．186 C．187 D．188
【答案】B
【解题关键点】
5 12 20 36 79 (186)
求差
7 8 16 43 (107)
求差
1 8 27 (64) 立方数列

（4）两次作差之后得到和数列
【例4】-2,  0,  1,  6,  14,  29,  54,  (  )
A.95 　　　B.96 　C.97 D.98
【答案】Ｂ
【解题关键点】三级等差数列变式