矩阵分析试卷05(答案).doc

命题人：吴明芬__审批人：__________ 试卷分类（A卷或B卷）_______

五邑大学 试卷

课程：_矩阵分析_专业：_电子、交通、机械研究生 学号：_________
学期：05 至06 学年度第_一_学期 姓名：________ 得分：____ _
一． 设三阶方阵，，求W的维数与基。（8分）
解：W的维数是5，一组基为

四．设方程组如下 （8分）

用系数矩阵的LU分解求解方程组，要写出矩阵L，U。

五．证明对任意的矩阵，若定义，则|| ||是一种矩阵范数，但不是算子范数（从属于向量范数的矩阵范数）。 （10分）
证明：由定义显然知
（1）；
（2）
（3）设 则

（4）设 则

所以||。||是矩阵范数
下面说明它不是算子范数。如果它是算子范数，则存在某个向量范数，使得
，但是对单位矩阵而言，左边||E||=n，右边=1，矛盾。
六． 设V为数域P上的二维线性空间，为V的一组基，线性变换T在基下的矩阵是 。
（1）计算T在基下的矩阵。
（2）求 。 （12分）
解：设V为数域P上的二维线性空间，为V的一组基，线性变换T在基下的矩阵是 。
（1）计算T在基下的矩阵。
（2）求 。

八．求矩阵的Jordan标准形。 （8分）
解：
九． 求微分方程组 满足初始条件的解。，
，设，
得，，，
，
十。求到自身的一个线性变换及其在某个基下的矩阵，使得的像Im包含向量,而的核Ker由向量生成. 又, 这样的线性变换是否唯一?为什么?
解 设题中给出的三个向量依次为a1，a2，a3。取的一组基为。构造到自身的一个映射为：，再将线性拓展到整个上。则是满足题意的一个线性变换。
上述线性变换显然不是唯一的（实际上有无穷多个）：比如，将上面的线性变换第一个基元素的像与第二个基元素的像对调，即可得一个新的满足题意的线性变换。原因在于除去k（k是任意复数）的像（＝0）确定外，其与相邻的像不是完全确定的。
十一。 复数域C是实数域R上的2维线性空间. 试定义C上的一个内积,使得1与 成为C的一个标准正交基；并求的长度.
解 对任意xj+yjiÎC，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)·1+yj·(1+i)。为使1与成为C的一个标准正交基，必要且只要<1,1+i>=0，<1+i,1+i>=1，<1,1>=1, 必要且只要
< x1+y1i, x2+y2i>=(x1-y1) (x2-y2)+ y1y2 .
上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。
在上述内积下，向量x+yi的长度等于[(x-y)2+y2]1/2;因此1－i的长度为51/2.

十二。设，求。
解I A的Jordan标准形与过渡矩阵分别为
。因此

解2 利用A的最小多项式(x-1)2. 可知必有一次多项式f(x)=ax+b,使得f(A)即为所求。
由a+b= f(1)= 与a=f’(1)=可知b=
.于是

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