高三数学数列单元二自主学习.doc

如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主学习（数列）
一. 知识
1.由求, 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要
单独列出.如：数列满足，求(答：).
2.等差数列(为常数)
；
3.等差数列的性质： ①,；
②(反之不一定成立)；特别地,当时,有；
③若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列；
⑤等差数列,当项数为时,,；项数为时,
,,且；.
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
(或).也可用的二次函数关系来分析.
⑦若,则；若,则；
若,则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；.
4.等比数列.
5.等比数列的性质
①,；②若、是等比数列，则、等也是等比数列；
③；④(反之不一定成
立)；. ⑤等比数列中(注：各项均不为0)
仍是等比数列. ⑥等比数列当项数为时,；项数为时,.
6.①如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列,
则数列是等差数列；
②若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列；
③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差
是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的
公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；
④三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：；
三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(为什么？)
7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
⑵已知(即)求用作差法：.
⑶已知求用作商法：.
⑷若求用迭加法. ⑸已知,求用迭乘法.
⑹已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如,,
(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,
再求.②形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.
8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位
相减；⑤分裂通项法.公式：；；
；；常见裂项公式；
；；
常见放缩公式：.
9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算
“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利
率为,则期后本利和为：(等差数列问
题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等
额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利
率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：
(等比数列问题).
二. 及时巩固
一、填空题：
１.等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3＝ ．
２.已知数列对于任意，有，若，则 。
３. 是等差数列，是其前n项和， 则在中最小的是
４. 在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
……
５. 已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为____
６. 将正w ww.k s5u.c om奇数排列如下表其中第行第个数表示，例如，若，
则 ．
７. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为＝ ．
ICME－7
图甲
O
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
图乙

８. 函数由下表定义：
x
1
2
3
4
5
f (x)
3
4
5
2
1
若，,则的值
９. 在数列中，若对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”．下面几个对“等差比数列”的判断正确的是 ．
①不可能是；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为（、均不为或者）的数列一定是等差比数列．
１０. 已知是首项为a,公差为1的等差数列,，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是 .
１. 　　２. b＜c＜a　　３. 9　　４. 　　５. 2008　　６.
７. 　　８.－1　　　９.　０.２　　１０. ，，
二、解答题：
11. 设数列的前项和为，且，为等差数列，且，．（1）求数列和通项公式；（2）设，求数列的前项和．
. .解：（1）当时，．
当时，，此式对也成立．
．从而，．
又因为为等差数列，公差，．
（2）由（1）可知，
所以． ①
①2得． ②
①-②得：

．

12.已知数列的前n项和为，且．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）若，，求证数列是等比数列，并求数列的前项和．
解：（Ⅰ）n≥2时，．n＝1时，，适合上式，
∴．
（Ⅱ），． 即．
∴数列是首项为4、公比为2的等比数列．
，∴．
Tn＝＝．
13.设垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数，设的通项公式，并求其前
解：由题意得：，

，

当；

.
14.数列满足
（1） 求的值；
（2） 是否存在一个实数t，使得且数列为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由。
（3） 求数列的前n项和.
解：（1）由得
∴　　∵ ∴
（2）假设存在实数t，使得为等差数列。则
，

即存在实数t=1，使得为等差数列。
（3）由（1），（2）得

（1）
（2）
由（1）—（2）得

如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主练习A（数列）
一.填空题
1设等比数列的公比，前项和为，则 ．
答案：15
2.. 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．
答案：
3. 设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= .
【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。
有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9
4. 在等差数列中,,则.
【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以.
等差数列的前项和为，且则
【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d .
∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d
∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4
【答案】
5. 等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______
解析：由+-=0得到。
6. 若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则= 依题意有
7．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有
正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有，k最大为6，剩4
8. 设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为
认识信息，理解理想数的意义有，
9.已知数列对任意的满足，且，那么等于
由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30
10. 数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 （n≥1），则该数列的通项an= .
由，即=2，所以数列｛＋3｝是以（+3）为首项，以2为公比的等比数列，故＋3=（+3），=－3.
11.
由，整体求和所求值为5
12. 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某
商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正
三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，
就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第
一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一
层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，
第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则
； （答案用n表示）.

的规律由，所以

所以

13.已知整数对排列如下，
则第60个整数对是_______________.
观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的
n－1个，于是，借助估算，取n=10，则第55个整数对为，注意横
坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为
14.设，则等于
f（n）=
三. 解答题：
15.数列{an}的前n项和记为Sn，
（1）求{an}的通项公式;
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn
（1）由可得，两式相减得
又 ∴ 故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ∴.
（2）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得，
故可设
又由题意可得解得
∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴ ∴
16.设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，，成等比数列。（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式.
证明：因，，成等比数列，故，而是等差数列，有，,于是 ，即，化简得
（2）解：由条件和，得到，由（1），，代入上式得，故 ，，
17.已知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足，y4=17, y7=11
(1)证明：为等差数列；（2）问数列的前多少项的和最大，最大值为多少？
（1）
y ∴
(2)y ∴3d=－6 d=－2 y

当n=12时，S有最大值144. ∴前12项和最大为144.
18. 已知数列是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列前n项和的公式.
(Ⅰ）解：设数列公差为，则 又所以
（Ⅱ）解：令则由得
① ②
当时，①式减去②式，得
所以 当时,
综上可得当时,；当时，
19.假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：
（Ⅰ）每年年末加1000元； （Ⅱ）每半年结束时加300元。请你选择。
（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？
设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n； 设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n； (1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元。 方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋=63000元；
(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为： Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n＋=500n2＋500n
T2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n×300＋=600n2＋300n 令T2n≥Sn即：600n2＋300n>500n2＋500n，解得：n≥2，当n=2时等号成立。 ∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。
20.已知数列，且, , 其中k=1,2,3,…….
（Ⅰ）求，（II）求通项公式.
（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……a3－a1=3+(－1). 所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)], 由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1
{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an= 当n为偶数时，

如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主练习B（数列）

一、填空题
1、（2009江宁高级中学3月联考）已知等差数列{an}中，a4=3,a6=9，则该数列的前9项的和S9= ．54
2、（2009金陵中学三模）.已知等差数列满足：．若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 △ ． －1
3、（2009南京一模）已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，
则 。168
4、（2009南通一模）已知数列{an}中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(n>m)满足，则a119= ▲ ．－1
5、（2009苏、锡、常、镇四市调研）已知数列满足，且，其中，若，则实数的最小值为 4
6、（2009通州第四次调研）等差数列中，若，则 .40
7.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。
8. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
9.已知函数,等差数列的公差为.若,则 .－6
设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .-72
10．将正整数如右表排列：
若数100是第n行的第m个数（从
左到右），则n+m= 23 .
11. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= . -72
12、由正数构成的等比数列{an}，若，则 ．7
13．已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 ．
14、给定（n∈N*），定义乘积为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ．2026
.二、解答题
15.已知数列中，且点在直线上。
(1)求数列的通项公式;
(2)若函数求函数的最小值；
(3)设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得
对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
解：（1）由点P在直线上，
即，-------------------------------2分
且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
，同样满足，所以---------------4分
（2）
---------------------6分

所以是单调递增，故的最小值是-----------------------10分
（3），可得，-------12分
，

……

，n≥2------------------14分

故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立----16分
16. 数列{an}的前n项和记为Sn，
（I）求{an}的通项公式;
（II）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn
（I）由可得，两式相减得
又 ∴，故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ∴.
（II）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得，
故可设 又由题意可得
解得
∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴ ∴
17、已知函数是一次函数，且成等比数列，设，()
（1）求；（2）设，求数列的前n项和。
解：（1）设，（）由成等比数列得
，----------------①, 得
∵ ∴---------------②　　由①②得， ∴
∴，显然数列是首项公差的等差数列
∴＝
（2）∵
∴＝
2＝
－＝＝
∴＝。
18.假设某市2004年新建住房400万，其中有250万是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万。那么，到哪一年底，
（1） 该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万？
（2） 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？
解（1）到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750
（2）到2009年底，当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例将首次大于

19.已知数列中，，，其前项和满足（，）．（1）求数列的通项公式；
（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．

解：（1）由已知，（，），
即（，），且．
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴．
（2）∵，∴，要使恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立．
（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，
当且仅当时，有最小值为1，
∴．
（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，
当且仅当时，有最大值，
∴．
即，又为非零整数，则．
综上所述，存在，使得对任意，都有
20.在数列中，已知，且，
（1） 若数列为等差数列，求的值。
（2） 求数列的前项和
（3） 当时，求证：
解：（1）设数列的公差为，则，，
依题得：，对恒成立。
即：，对恒成立。
所以，即：或
，故的值为2。
（2）

所以，
① 当为奇数，且时，。
相乘得所以 当也符合。
② 当为偶数，且时，，
相乘得所以
，所以 。因此 ，当时也符合。
所以数列的通项公式为。
当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，

所以

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m