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一．圆锥曲线高考大纲
文科
（1） 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）
（2） 了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）
（3） 了解抛物线的的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）
（4） 理解数形结合的思想。
（5） 了解圆锥曲线的简单应用。
理科.（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. （范围、对称性、顶点、离心率）
（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.
（4）了解圆锥曲线的简单应用.
（5）理解数形结合的思想.

圆锥曲线知识网络

二．试题趋势
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察， 主要考察热点有：
（1）圆锥曲线的定义及标准方程；
（2）与圆锥曲线有关的轨迹问题；
（3）与圆锥曲线有关的最值、定值问题；
（4）与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题
（1）圆锥曲线的定义及标准方程；
1.（2010北京文理）（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
答案：()
2.（2010天津文数）（13）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。
【答案】
【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
由渐近线方程可知 ①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②
又 ③
联立①②③，解得，所以双曲线的方程为
【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最大。
3.（2010福建文数）13． 若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于　　　　　　　　。
【答案】1
【解析】由题意知，解得b=1。
【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。
4.（2010江苏卷）6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________
[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。
5.（2010浙江理数）（13）设抛物线的焦点为，点
.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。
解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题
6.（2010安徽文数）(12)抛物线的焦点坐标是
答案：
【解析】抛物线，所以，所以焦点.
【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求，或求出后，误认为焦点，
7. (2010年全国高考宁夏卷12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为
(A) (B) (C) (D)
（2）与圆锥曲线有关的轨迹问题；
1（2010辽宁文数）（20）（本小题满分12分）
设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；
（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离
所以椭圆的焦距为4.
（Ⅱ）设直线的方程为
联立
解得
因为
即
得
故椭圆的方程为
2.（2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
(I) 求椭圆C的离心率；
(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解：
设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为. ……12分

有关解析几何的经典结论
一、椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：
,( , ).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
二、双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.
6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
12. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭 圆
1. 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.
4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
5. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.
8. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10. 已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.
11. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
12. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .
13. 已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.
4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.
8. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
9. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.
11. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
12. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).
(2) .(3) .
13. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

其他常用公式：
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：
2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。
3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)
与直线垂直的直线可表示为。
4、两平行线间的距离为。
5、若直线与直线平行
则 （斜率）且（在轴上截距） （充要条件）
6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。
 7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；
8、为直径端点的圆方程
切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）
9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.
（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,
（8）给出,等于已知是的平分线/
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;
（3） 与圆锥曲线有关的最值、定值问题
1．（2010年高考福建卷理科7）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B

2.（1）（2009辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。
【解析】注意到A点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F '(4,0), 于是由双曲线定义，得
|PF|－|PF’|＝2a＝4, 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
【答案】9
3..（2010福建文）11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
4.（2010北京文科）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。
解：（Ⅰ）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知
由 得
所以圆P的半径为
解得 所以点P的坐标是（0，）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以
设，则
当，即，且，取最大值2.

5.（2009浙江理）（本题满分15分）
已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．
解（I）由题意得所求的椭圆方程为，
（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，
设线段MN的中点的横坐标是，则，
设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．

练习：
1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
(A) (B) (C) (D)
3. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）3
答案：B
解析：由题意知，为双曲线的通径，所以，，
又，故选B.
点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键的值，从而的离心率。
4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】 C
【解析】由恰好将线段AB三等分得，由
又
，故选C
5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线的实轴长是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
【答案】A
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.
【解析】可变形为，则，，.故选C.
6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
8.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是
9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为( )
（A） （B） （C） （D）
10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】：，准线方程为，由
则，由抛物线的定义得
由余弦定理得 故选D