初三二次函数章节要点大全.doc

二次函数的定义
（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）
1、下列函数中，是二次函数的是 .
①y=x2－4x+1； ②y=2x2； ③y=2x2+4x； ④y=－3x；
⑤y=－2x－1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y =错误！未定义书签。； ⑧y=－5x。
2、若函数y=(m－2)xm －2+5x+1是关于的二次函数，则m的值为 。
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
1. 二次函数y=x2的顶点坐标是 ，对称轴是 。
2. 二次函数y=x2的图象开口 ，当x＞0时，y随x的增大而 ；当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＝0时，函数y有最 值是 。
3. 二次函数y=－3x2的图象开口 ，当x＞0时，y随x的增大而 ；当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＝0时，函数y有最 值是 。
4. 已知点A（2，y1），B（4，y2）在二次函数y=－3x2的图象上，则y1 y2.
5. 已知点A（－2，y1），B（4，y2）在二次函数y=ax2(a>0)的图象上，则y1 y2.
6. 抛物线y=－x2不具有的性质是（ ）
A．开口向下；B．对称轴是y轴；C．当x＞0时，y随x的增大而减小；D．函数有最小值

7. 已知抛物线y=ax2经过点A（1，－4），求（1）x＝4时的函数值；（2）y＝－8时的x的值。

8. 已知抛物线y=(m－1)xm －m的开口向下，则m的值为 。
9. 已知抛物线y=4x2与直线y=kx－1有唯一交点，求k的值。

10. 已知P（x，y）是抛物线y=－x2第三象限内的一点，点A的坐标为（4，0），求三角形OPA的面积S与x的函数关系式。

函数y=ax2+c的图象与性质
1．抛物线y=－2x2－3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时， y随x的增大而增大， 当x 时， y随x的增大而减小.
2．将抛物线y=x2向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。
3．二次函数y=ax2+c(a≠0)中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值等于 。
4．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y=x2+k，当k取0，时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点。其中判断正确的是 。
5．将抛物线y=2x2－1向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x＝ 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 。

函数y=a(x－h)2的图象与性质
1．填表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标

2．已知函数y=2x2,y=2(x－4)2，和y=2(x+1)2。
（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x－4)2和y=2(x+1)2？
3．试说明函数y=(x－3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

4．二次函数y=a(x－h)2的图象如图：已知a=，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。

函数y=a(x－h)2+k的图象与性质
1． 已知函数y=－3(x－2)2+9。
（1） 确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 当x＝ 时，抛物线有最 值，是 。
（3） 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。
（4） 求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（5） 求出该抛物线与y轴的交点坐标；
（6） 该函数图象可由y=－3x2的图象经过怎样的平移得到的？

2． 已知函数y=(x+1)2－4。
（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（3） 指出该函数的最值和增减性；
（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线解析式；
（5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点。
（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0。

函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。
2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。
3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=x2－2x+1 ； （2）y=－3x2+8x－2； （3）y=－x2+x－4
5某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；
1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。
4二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数解析式。

5抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式 y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。
6抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝ ，c＝ .
7若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。

8已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。
9若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？

10= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

11.线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － +2上，求函数解析式。

二次函数的对称轴、顶点、最值
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为
A
1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为　　　　。
2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .
3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( )
A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴
C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴
6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是
_ .
7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是　　　　　　。
8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝ 。
9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a 时，该函数y的最小值为0？
12．(易错题)已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则
m＝　　　。
13．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝　　　　　　。
二次函数的增减性
1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。
2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为 。
3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
4.已知二次函数y=－x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，则y1,y2,y3的大小关系为 .
函数的交点
5物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。
6直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。
函数的的对称
7抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。
8抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则
a= b= c=

函数的图象特征与a、b、c的关系
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象1如图所示，则a、b、c的符号为（　　　）
A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b+c> 0 B．b> -2a C．a-b+c> 0 D．c< 0
3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：
①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0
⑥4a>c；其中正确的为（ ）
A．①② B．①④ C．①②⑥ D．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( )

6.如图所示，当b<0时，函数y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系内的图象可能是( )

7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图4所示，则有( )
A.a>0，b>0 B.a>0，c>0 C.b>0，c>0 D.a、b、c都小于0
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b2－4ac，
2a＋b，a＋b＋c 这四个代数式中，值为正数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

9在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= (a<c)图象可能是图所示的( )

10.二次函数y＝ax2＋bx＋c， 图象如图6所示，则反比例函数y= 的图象的两个分支分别在第 象限。

11抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 求四边形ABDE的面积；

二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
1. 如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝
2. 二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 　
3. 抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
4. 如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交
y 轴于点C， 则△ABC的面积为( )
A.6 B.4 C.3 D.1
5. 已知抛物线的对称轴是x＝－1，它与x轴交点间的距离等于4，
它在y轴上的截距是－6，则它的关系式是_____________.
6. 二次函数y＝ax2+bx+c的值永远为负值的条件是( )
A.a>0，b2－4ac<0 B.a<0，b2－4ac>0 C.a>0，b2－4ac>0 D.a<0，b2－4ac<0
7. 若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是
8. 已知抛物线y＝x2-2x-8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

9.二次函数y= x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。

10.物线y=x2-mx+m-2,
　　(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
　　(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4，求m的值
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