第二章：平行线与相交线概念整理修订版.doc

第二章：平行线与相交线基本知识整理
第一部分：定义部分
1．如果两角__________________________，其中一个角叫做另一个角的补角或称作两角_________；
互补两角只和两角的____________有关，而和两角的_________无关．
符号语言：∵∠1+∠2=180°（已知），∴∠1和∠2________（________________）；
或∵∠1和∠2互补（已知），∴∠1+∠2=_______°（________________）；
2．如果两角__________________________，其中一个角叫做另一个角的余角或称作两角_________；
图1
互余两角只和两角的____________有关，而和两角的_________无关．
符号语言：如图1：
∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠1和∠2________（________________）；
或∵∠1和∠2互余（已知），∴∠1+∠2=_______°（________________）；
图2
3．如果两角__________________________，则两角是邻补角；它们不仅和两角的________有关，而且和两角的_________有关．
符号语言：如图2：
∵∠1和∠2 ________（_______________），∴∠1+∠2=_______°（_________________）
4．如果两角__________________________，则两角是对顶角；其中一个重要性质就是__________________；
图3
该性质实际是对顶角性质定理．
符号语言：如图3：
∵∠1和∠2是________角（已知），∴∠1=∠2（_________________）．
5．在平面内，如果两条直线__________________________，则两条直线叫做平行线，若直线AB和直线CD平行，用符号语言表述为______________．
6．如果两条直线有且只有一个_____________，则两条直线叫做相交线．平面内两条直线位置关系仅有两种，即_________和_____，不存在第三种位置关系．
7．两条直线相交构成的四个角中，如果有一个角为_______角，
则这两条直线称作互相垂直，用符号_______表示垂直．
图4
符号语言：如图4：
∵∠1=90°（已知），∴AB_____CD（_________________）.
图5
或∵AB_____CD（已知），∴∠1=90°（_________________）.
8．两条直线被第三条直线所截，一般可以构成_____角，其中存在______对同位角，
______对内错角，______对同旁内角．（其形状分别归结为____形，_____形, _____形）
如图5，这三类角的存在和平行_______关系（填“有”、 “无”）．
第二部分：公理或定理部分
公理1：直线公理：过两点_______________一条直线；
公理2：线段公理：两点之间，_______________最短；
公理3：平行公理：平面内，过直线外一点有____________________________和已知直线平行；
公理4：垂线公理：平面内，过一点有____________________________和已知直线垂直；
公理5：垂线段公理：直线外一点和直线上各点所有的连线中，_______________最短；为什么直角三角形中斜边最长？答：_________________________________________________．
图6
公理6：平行线判定公理：_________________________________________；
符号语言：如图6：
∵∠1=∠2（已知），∴AB//CD（________________________________）.
公理7：平行线性质公理：_________________________________________；
∵AB//CD（已知），∴∠1=∠2（________________________________）.
公理9：三角形全等（两个三角形能够完全重合，称之为两三角形________________）公理：
_________________________________________；利用该公理可以为尺规作图提供理论依据．
定理
平行线判定定理
1．内错角________，两直线__________．
符号语言：如图6：∵∠1=∠______（已知），∴AB//CD（________________________________）.
2．同旁内角________，两直线__________．
图7
符号语言：如图6：∵∠3+∠______（已知），∴AB//CD（________________________________）.
3．平行于第三条直线的两直线互相______．
符号语言：如图7：∵AB//CD，AB//EF，（已知），
∴___________（________________________________）.
图8
4．平面内，垂直于第三条直线的两直线互相______．
符号语言：如图8：∵____⊥____，____⊥____，（已知），
∴___________（________________________________）.
平行线性质定理
1．两直线__________，内错角________．
符号语言：如图6：∵AB//CD（已知），∴∠1=∠______（________________________________）.
2．两直线__________，同旁内角________．
符号语言：如图6：∵AB//CD（已知），∴∠3+∠______（________________________________）.
图9
其他定理
同角（等角）的补角相等（来源于等式性质）
符号语言：如图9，∵∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°（__________），
∴∠____=∠________（________________________________）；
图10
如图10，∵∠1+∠3=180°，
∠2+∠3=180°（__________），
且∠1=∠2（已知）
∴∠____=∠________（________________________________）；
同角（等角）的余角相等
图11
符号语言：如图11，∵∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°（已知），
∴∠____=∠________（________________________________）；
如图11，∵∠2+∠B=90°，∠1+∠2=90°（已知），
∴∠____=∠________（________________________________）；

图12
符号语言：如图12，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°（已知），
∴∠____=∠________（________________________________）；
符号语言：如图12，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠2=90°（已知），
∴∠____=∠________（________________________________）；
图13
三、常见应用
（1）如图13，∵∠B=90°（已知）
∴∠1+∠________=90°（直角三角形中两锐角________），
同理∠2+∠________=90°．
∵∠AED=90°（已知）
∴∠1+∠________=180°-90°=90°．
图14
∴∠A=∠2（________________________________）．
同理∠1=∠____________．
（2）如图14，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠2=90°（已知），
∴∠____=∠________（________________________________）；
图15
（3）如图15，∵∠C=90°（已知）
∴∠A+∠________=90°（直角三角形中_______________），
同理∠1+∠________=90°．
∴∠____=∠________（________________________________）；
图16
（4）如图16，∵∠A=90°（已知），
∴∠B+∠________=90°（直角三角形中_______________），
同理∠2+∠________=90°．
又∵∠____=∠________（___________________）；
∴∠____=∠________（________________________________）；
图17
（5）如图17，∵∠ACB=90°（已知），
∴∠A+∠________=90°（直角三角形中_______________），
又∵∠1=∠D（已知），
∴∠A+∠_____=90°（ ），
∴∠AFD=180°-90°=________°，
∴AF_____DE（ ）．
即AB⊥DE．
（6）如图17，∵∠ACB=90°（已知） ∴∠A+∠________=90°（直角三角形中_______________），
同理∠E+∠________=90°．
又∵∠1=∠D（已知），∠1=_______（对顶角相等）
∴∠2=∠D（ ） ∴∠E+∠2=_________°（ ）．
∴∠EFB=180°-90°=________°（ ），∴BF_____EF（ ）．
即AB⊥DE．
图18
三角形内角和定理：________________________________
利用三角形内角和定理可以得到另一个定理：
直角三角形中两锐角之和等于___________
符号语言：如图18，∵△______为直角三角形，
∴∠____+∠________=_____（________________________________）；
三角形外角定理：________________________________
图19
符号语言：如图19，∵∠2是△ABC的一个外角，（已知），
∴∠2=_______+_______（________________________________）.
三角形三边关系定理：
定理1：三角形任意两边之和_________________．
该定理是由哪一个公理推出来的？答：_________________．
定理2：三角形任意两边之差_______________．（该定理实际上是利用定理1，结合_______性质推出的）
.特别地，若要判断给出的三条线段能否组成三角形，其实不需要要任意两边全部计算其和与第三边相比，仅需计算__________________和第三边比较大小即可．或计算最长边和最短边两边之差和___________比较大小即可．
第三部分 实战演练
1.一个角的补角等于这个角的2倍，请利用方程求这个角的余角．

2．尺规作图（指明结果，保留作图，痕迹不写画法，要求画在矩形框范围内）：
（1）基本作图一：作一条线段AB等于已知线段a
_______________即为所求。

（2）基本作图二：作一个∠AOB等于已知角

_______________即为所求。

（3）基本作图三：作一个角的平分线 （4）基本作图四：过一点作已知直线的垂线

_______________即为所求。
_______________即为所求。

（5）基本作图五：作已知线段的垂直平分线

_______________即为所求。

3．如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．判断∠AGD和∠ABC的数量关系？并说明你的理由．（请重点关注下列说理格式的规范性）
解：∠______ =∠______，理由如下：
∵______⊥_______，______⊥_______,（__________）
∴______//______（__________________________________________________________）.
∴∠_____=∠_____（__________________________________________）.
又∵∠_____=∠_____（__________________），
∴∠_____=∠_____（___________________________________）.
∴______//______（__________________________________________）.
∴∠_____=∠_____（__________________________________________）.
3．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50○，
求∠2的度数并说明你的理由．
解：∠2=_______，理由如下：
∵_______∥_______（________），
∴∠_______+∠_______＝_______（__________________________________），
∵∠_____=______○（________），∴∠_____=180°-______=______.
∵_______∥_______（________），
∴∠_____=______（________________________），
又∵________平分________（________），
∴∠________=∠________=______°（____________________），
∴∠________=________°（____________________）．
4．如下图，AB∥CD，分别写出图中∠P与∠B，∠ D的关系，并写出你的推理过程．
要求：请用五种方法说明你的结论是正确的，写出你的推理过程．

4．本题方法很多，过程略，使用三角形外角定理直接证明之外还有其他方法，辅助线如图所示：