苏州高级中学2014届高三12月月考数学试题.doc

苏州高级中学2014届高三12月月考数学试题
2013.12. 13
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，6，8，10}，则M∩N＝ ▲ ．
2．若,为虚数单位), 则= ▲ ．
3. 函数的定义域为 ▲ ．
4．不等式的解集是 ▲ ．
5．函数，单调增区间是 ▲ ．
6. 在△ABC中，，则= ▲ ．
7. 等差数列中，已知，，则的取值范围是 ▲ ．
8. 已知向量 是第二象限角，，则= ▲ ．
9. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，则．
上面命题中，真命题的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）．
10. 已知数列中，，对于任意，，若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，求＝　　▲　　　　。
11.已知，若实数满足则的最小值为 ▲ .
12. 过圆x2＋y2＝1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，
则的最小值是 ▲ ．

13.已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为 ▲ ．
14. 各项都为正数的数列，其前项的和为，且 ，若，且数列的前项的和为，则= ▲ ．

二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在三角形ABC中，已知，设∠CAB＝α，
（1）求角α的值；
（2）若，其中，求的值.

B
A
E
D
C
F
16．(本小题满分14分)
如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.

⒘（本小题满分14分）如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设∠，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。
⑴写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；
⑵问中转点D距离A处多远时，S最小？

⒙（本小题满分16分）如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。
⑴求椭圆T与圆O的方程；
⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；
②若，求与的方程。

⒚（本小题满分16分）设函数（，）。
⑴若，求在上的最大值和最小值；
⑵若对任意，都有，求的取值范围；
⑶若在上的最大值为，求的值。

⒛（本小题满分16分）设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题上：
命题：是等差数列；命题：等式对任意（）恒成立，其中是常数。
⑴若是的充分条件，求的值；
⑵对于⑴中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；
⑶若为真命题，对于给定的正整数（）和正数M，数列满足条件，试求的最大值。

数学试题答案
一．填空题：
1．{2，4} 2. 2 3. 4． 5． 6. 7. 8. 9. ② 10. 9 11． 12. 3
13. 14. ；
二．解答题
15．解：（1）由，得
所以，又因为为三角形的内角，所以， …6分
（2）由（1）知：，且，所以…8分
故
＝. 　　　　　…………………14分
B
A
E
D
C
F
G
16．（1）证明：取的中点，连结．
∵为的中点，∴且．
∵平面，平面，
∴，∴． 又，∴．
∴四边形为平行四边形，则．
∵平面，平面， ∴平面．…………7分
（2）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴
∵平面，，∴．
∵，∴又，
∴平面．
∵平面， ∴平面平面．………………14分
17．解: (1)由题在中，．
由正弦定理知，得……………3分

……………………………………………………………………7分
(2)，令，得………………………………10分
当时，；当时，，当时取得最小值………………12分
此时，
中转站距处千米时，运输成本最小…………………………14分
18．解: (1)由题意知: 解得可知:
椭圆的方程为与圆的方程……………………………4分
(2)设因为⊥,则因为
所以,……………………………7分
因为 所以当时取得最大值为，此时点…………9分
(3)设的方程为,由解得；
由解得…………………………11分
把中的置换成可得，………………12分
所以，
，
由得解得……………………15分
所以的方程为，的方程为
或的方程为，的方程为………………………16分
19．解(1) ………………………………… 2分
∴在内, ，在
∴在内, 为增函数，在内为减函数
∴函数的最大值为，最小值为………………………………4分
（2）∵对任意有，∴
从而有∴……………………………6分
又∴在内为减函数，在内为增函数,只需，则
∴的取值范围是…………………………10分
（3）由知①②，
①加②得又∵∴∴…………………14分
将代入①②得∴………………………………………16分
20．解：（1）设的公差为，则原等式可化为
所以，
即对于恒成立，所以…………………………………………………4分
（2）当时，假设是否为的必要条件，即“若①对于任意的恒成立，则为等差数列”.
当时，显然成立.……………………………………………6分
当时，②，由①-②得，
，即③.
当时，，即、、成等差数列，
当时，④，即.所以为等差数列，即是否为的必要条件. ………………………………………………………………………10分
(3)由，可设，所以.
设的公差为，则，所以，
所以，
，所以的最大值为……………16分

8