人口结构与经济发展论文1.doc

2010全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是： 人口结构 所属学校（请填写完整的全名）：航空航天工程学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王卓君 2. 周双钱 3. 姜龙亭 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 8 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：人口预测方法的研究及改进摘 要本文以中国人口的实际情况为背景，结合近年来中国人口发展出现的一些新特点，着重分析了老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高以及乡村人口城镇化等因素对中国人口增长的影响，分别建立了我国人口增长的中短期和长期预测模型，较好的反映出我国人口的增长趋势。人口系统是一个复杂的动态系统，人口变化对未来经济，社会发展有着直接的影响。人口年龄结构是人口研究的重要指标之一，人口年龄结构的发展趋势的预报对人口政策的制定有着非常重要的作用。通过查找相关人口数据，针对问题一中的分析影响经济发展的主要因素，首先对问题作出定性分析，得出影响经济发展的所有因素，然后再通过变异系数法计算各个指标影响经济发展的权重，进行定量分析以确定出主要因素，其主要因素为人口文化因素，最后得出人口结构对经济发展的影响占全部因素影响的0.1左右。针对问题二先对历年人口的变化趋势做一个简单分析。基于当前政策，建立人口指数模型（Malthus模型）预测未来30年中国人口数，再采用模型二以灰色GM(1，1)模型，并利用20012010各年的人口总数，对我国人口进行了中短期的总人口数，人口结构的预测，无需对模型进一步修正。相对于模型二来说，模型一误差比较大，不利于结果的预测。针对问题三，在问题二中得知生育率是逐年下降的，为了保证人口素质发展，推行放宽二胎政策，但基于我国国情，何时放宽，怎么放宽，放宽多少需要进行进一步分析。故而我们对二胎放宽政策对人口发展的影响进行研究分析，建立政策调控的递归模型，引入人口政策影响因子R，并结合国家人口发展战略研究报告得出比较理想的人口增长方式。针对问题四，一方面，随着人口的素质提高和社会进步，越来越多的人会去购买养老保险，延长人口退休年龄，人们领取养老保险金的年数会随之减少，国家对养老保险的补贴也自然会减少，对国家政府可以减少社会养老保险基金的统筹，从而对经济发展造成影响。另一方面，推迟退休年限直接影响就业问题，进而对经济的发展也反馈作用。就问题五而言，结合现实背景及上述一些问题的研究结论，我们促进我国经济高速稳定可持续发展的建议并进行简要说明。关键字：变异系数法 灰色GM（1,1）模型 人口指数模型（Malthus模型） 递归模型 人口结构预测 一、 问题的背景及重述1.1 问题的背景中国是一个人口大国，人口问题始终是影响我国发展的关键因素之一。我国自1973年全面推行计划生育以来，生育率迅速下降，取得了举世瞩目的成就，但全面建设小康社会仍面临着人口的形势和严峻挑战。随着我国经济的发展、国家人口政策的实施，未来我国人口高峰期到底有多少人。因此，根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国未来30年人口做出分析和预测具有重要意义。自新中国建立以来，特别是改革开放30年，中国经济持续高速发展，创造了“中国经济奇迹”。2010年2月14日日本共同社发布消息指出，2010年日本名义GDP为54742亿美元，比中国少4044亿美元，中国已成为全球第二大经济体。强大的经济实力和发展潜力使得中国在各个领域取得了举世瞩目的成就：2008年汶川救灾和灾区重建、北京奥运会成功举办，都彰显了中国的自立、自强和自信。神九上天、天河超级计算机、歼系列战机等尖端科技，赢得了全世界的羡慕和赞扬，这些成功不但源于前瞻性的科技政策指导和强大的经济支撑，而且也源于中国高素质的人才资源储备。近年来，“中国制造”引领世界产业潮流，并强力改变着全球产业格局，2012年伦敦奥运会上随处可见“中国制造”，将这一特定称谓发挥至极致。以雄厚的经济实力和丰富的劳动力资源为基础，中国的文化传播和武器出口，无论从质量和数量上都稳步提高中国声音在国际舞台上越来越强有力。1.2 问题的重述近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考相关数据资料，建立中国人口增长的数学模型，定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响；就当前中国人口政策，建立数学模型，并由此对中国人口增长的中短期做出预测，预测未来30年内中国人口结构；如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构；定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响；基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。二、模型假设2.1 由于预测全国人口数，人口当作一个整体，假设近几年我国的迁入迁出人口基本保持平衡；2.2 预测期间出生和死亡水平比较稳定，即使有变化，也比较有规律的；2.3 预测用的基础人口总数、出生率等与实际相近，比较准确；2.4在不出台政策情况下，我国计划生育政策稳定；2.5在未来30年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁灭性灾难）。2.6假设对未来人口的预测能最大可能符合人口发展的未来趋势。三、符号说明 是第项指标的变异系数、也称为标准差系数； 是第项指标的标准差； 是第项指标的平均数； 各项指标的权重；b 人口的出生率；d 死亡率(常数)；N(t) 第t年人口数； 原始非负时间序列； 为累加生成序列； 待辨识参数，亦称发展系数； 为待辨识内生变量，亦称灰作用； 待辨识向量； 表示第i类，第j年，第k岁的人口数。四、问题分析问题要求从中国的实际情况和人口增长的新特点出发，参考相关数据资料，建立数学模型，并由此对中国人口增长的中短期趋势做出预测。为此，我们首先对数据进行人口系统结构分析，并找出数据的特点以及这些数据所反映出的规律，特别是要从数据中分析出对中国人口增长影响的主要因素。对于模型的建立，我们可以结合对数据的分析结果，兼顾近年来中国人口发展中出现的一些新特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高以及乡村人口城镇化等因素，先求出短期内影响我国人口发展的一些常用参数，如总和生育率等。再利用这些常用参数以及相关数据对我国人口中短期发展趋势进行预测。通过查找相关人口数据，针对问题一中的分析影响经济发展的主要因素，首先对问题作出定性分析，得出影响经济发展的所有因素，然后再通过变异系数法计算各个指标影响经济发展的权重进行定量分析以确定出主要因素。针对问题二先对历年人口的变化趋势做一个简单分析。基于当前政策，建立人口指数模型（Malthus模型）预测未来30年中国人口数，再采用模型二以灰色GM(1，1)模型对我国人口进行了中短期的总人口数，人口结构的预测。对于问题三，如果实行放宽一胎化生育政策，引入人口政策影响因子R，进行相关预测分析，并与国家人口发展战略研究报告相结合，得出最优调控系数R值。在讨论推迟退休年限问题上，主要从养老保险金及就业岗位方面进行研究分析，的粗相关结论。综合上述问题的探究，在第五问中自然而然的给出分析建议。五、模型的建立与求解51分析影响经济发展的主要因素发展是人类永恒的主题，而物质财富和服务等使用价值的增长，是经济和社会发展的根本，尤其是在发展中国家，经济增长是全面发展小康社会的主要途径。人类历史发展的进程表明：经济发展曾主要依靠土地、劳动和资本投入的增加。然而，随着新世纪经济时代的到来，资源和资本竞争的时代逐步被以人口素质为前提的科学技术竞争的时代所替代。为了能够准确的研究影响经济发展的主要因素，我们作出以下分析：5.1.1定性分析要想明白和了解影响经济增长的因素,首先就要知道什么是经济增长。查阅相关资料可以得出，一个国家的经济增长，可以定义为给居民提供种类日益繁多的经济产品的能力长期上升，这种不断增长的能力是建立在先进技术以及所需要的制度和思想意识之相应的调整的基础上的。从定义中可以看出经济实力的增长就是商品和劳务总量的增加，即国内生产总值（GDP）的增加，技术进步是经济增长的必要条件，国家制度与意识的相应调整也会影响经济增长。故而在不同时期和不同的国家体制中，影响国家经济增长因素是不同。例如：从二十世纪初到四、五十年代，西方国家经济增长的主要依靠劳动的投入和资本的投入，而其他的要素对它的影响非常小，甚至可以说是忽略不计。 经济增长本身是一个综合性概念，他由诸多因素相互作用、相互补充、相互促进而发展起来的并不是由单独某个要素独立作用的结果。结合经济学内容分析，影响经济增长的因素主要由8个方面组成，分别是政治环境，资本，劳动力素质，教育水平，经济增长方式，资源，外汇储备和科学方展水平。通常情况下，影响国家经济发展的因素比较广泛。首先是资本和劳动力素质。资本包括建立企业，创造财富的物质资本和人力资本。物质资本是指设备、厂房、存货等的存量，人力资本是指体现在劳动者身上的投资。而劳动力素质是指劳动者的文化水平、受教育程度等。有了这两点，才是我们实现经济增长的先决条件。其次是资源和教育水平，过去几年，我国经济增长速度一直领先，很大一部分的原因就是因为我国地大物博，幅员辽阔，资源丰富。有了充足，优质的原材料我们才有可能实现经济增长。而教育水平包括两点，一是劳动者原本自身的受教育程度，二则是企业对劳动者再培训的程度。随着时代的变迁和发展，企业对职工的要求竟从单纯的劳动力转向技术型人才需求。也就是说，经济增长要依托高级人才。最重要的影响经济增长的内部因素，我认为是经济增长方式！随着1978年的改革开放，和2001年加入世贸进行经济全球化，我国的经济增长方式以及快的速度从粗放型向集约型转变，为经济发展奠定了结实的基础。政治环境又包括本国内部政治环境和国际政治经济环境的影响制度是一种涉及社会、政治和经济行为的行为规则。制度决定人们的经济与其他行为，也决定一国的经济增长。制度的建立与完善是经济增长的前提。在国家制度下财政支出对经济发展的影响，利用财政政策可以促进经济水平的提高，减轻经济波动，防止通货膨胀。一项正确的财政政策对促进经济有着举足轻重的作用。同时技术进步在经济增长中的作用，提高生产率，推动经济增长。高科技产业也是经济增长的重要来源。通过分析得出影响经济发展的因素比较多，仅定性分析不能得出哪些因素是影响经济发展的绝对性主导因素。为此，我们要确立一些代表性因素作为定量分析指标。5.1.2定量分析5.1.2.1模型的建立在实际中，为了便于数据搜索，使指标更能全面、典型、准确的反映所要研究的问题，我们采用以下指标的参数：以平均预期寿命、婴儿死亡率、人口粗死亡率组成的人口身体素质，平均预期寿命与身体素质成正比，寿命高，说明人口存活率高，身体素质好；婴儿死亡率高，说明人口的营养差，体质弱，抗病力差，存活率低，从而说明身体素质差；人口粗死亡率同婴儿死亡率一样，它越高，值越高说明人口的素质越差。以文盲率、受文化程度（分为大专及以上、高中及中专、初中、小学）人口所占比重组成的人口文化素质，人口的文化素质是人口的社会属性，与人口的其他素质互相联系、互相促进、互相影响是人口素质的核心，人口文化素质是各民族文明程度的重要标志，一定时期一国或地区人口的文化素质，可以通过该地区各级别教育的普及水平来反映。上述的两个指标对于人口文化素质最具有代表性。以性别比、65岁以上人口所占比重、生育率组成的人口结构中，它们是人口结构的重要组成部分，人口结构的划分类型比较复杂，按照定性分析，人口结构越均衡，越利于经济的发展，对经济的发展作用也就越明显，相反，诸如：男女比例严重失衡、老龄化人口过于严重，生育率太低，将会不同程度的导致社会的不和谐，同时给政府也会造成严重的财政负担，社会劳动力逐年减少等因素不利于经济的发展，但是也并不会严重阻碍经济的正常发展。还有以人均国民生产总值、第三产业所占比重等经济结构组成的产业结构。另外用城市人口比重来表示城乡结构的状况和以每千人拥有医生数目表示的医疗体制。5.1.2.2变异系数法在第一问中，通过对身体素质和文化素质的比较以及权重计算，各个指标因素对经济发展的影响程度不尽相同。变异系数法(Coefficient of variation method)是直接利用各项指标所包含的信息，通过计算得到指标的权重。是一种客观赋权的方法。此方法的基本做法是：在评价指标体系中，指标取值差异越大的指标，也就是越难以实现的指标，这样的指标更能反映被评价单位的差距。例如，在评价各个国家的经济发展状况时，选择人均国民生产总值(人均GNP)作为评价的标准指标之一，是因为人均GNP不仅能反映各个国家的经济发展水平，还能反映一个国家的现代化程度。如果各个国家的人均GNP没有多大的差别，则这个指标用来衡量现代化程度、经济发展水平就失去了意义。由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不宜直接比较其差别程度。为了消除各项评价指标的量纲不同的影响，需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差异程度。各项指标的变异系数公式如下： （141）式中：是第项指标的变异系数、也称为标准差系数；是第项指标的标准差；是第项指标的平均数。各项指标的权重为：人口因素对经济发展的影响影响因素指标平均数标准差变异系数权重身体素质（0.1207）平均预期寿命（岁）69.97540.42520.57770.1011婴儿死亡率（）19.12865.86950.30680.0537人口粗死亡率（）6.7510.26660.03950.0069文化素质（0.5255）文盲率（）16.614912.06130.72590.127小学学历占总人口的（）31.3246.9680.22240.0389初中学历占总人口的比重（）20.1717.8480.38910.0681高中和中专占总人口的比重（）6.9992.8790.41130.072大专及以上学历占总人口比重（）2.39582.28940.95560.1673人口结构（0.1342）性别比106.3100 0.870.00820.001465岁及以上人口所占比率（）5.71331.92460.33690.0589生育率2.9041.39240.47950.0839产业结构（0.0413）第三产业占GDP比重（）54.8612.940.2360.0413城乡结构（0.0855）城市人口比重（）27.467313.41530.48840.0855医疗体制（0.094）每千人拥有医生数目（人）2.4461.3140.5370.094总和5.71431数据来源：曾五一、庄赞：中国现代化进程的统计考察，中国统计2003年第1 期。人口因素对经济发展的影响权重排序影响因素权重排序文化素质0.52551人口结构0.13422身体素质0.12073医疗体制0.0944城乡结构0.08555产业结构（0.0413）6运用matlab软件进行绘图比较：取用相关数据，通过变异分析法，得出上述结果，经分析可得，身体素质对经济发展的影响权重为0.1207，文化素质对经济发展的影响权重为0.5255，人口结构对经济发展的影响权重为0.1342，而产业结构和城乡结构和医疗体制对经济影响的权重分别为0.0413，0.0855，0.094，经过进一步分析得出文化素质所占权重最大，即为0.52550.13420.1207，该模型建立与定性分析时所得人口素质高，经济增长较快相符合，所以该模型建立正确。同时，表中的产业结构即第三产业占GDP比重，城乡结构即城市人口所占比重，医疗体制（每千人拥有医生数量）等一些指标上对经济发展影响的权重比较小，几乎不影响。5.1.3建立柯布-道格拉斯生产函数结合表中数据，建立如下柯布-道格拉斯生产函数：年份全国GDP劳动人口（万人）全社会固定资产投资（亿元）200099214558891033110.42001109655178984937987.02002120332699030245046.92003135822769097658616.32004159878349218474564.92005184937379419794590.820062163144395068118957.020072658103195833150803.620083140454396680182915.3：第t年的国内生产总值 :常数项 ：第t年的固定资产投资 ：第t年的劳动从业人员 ：资本产出弹性 ：劳动产出特性：随机误差项对道格拉斯函数两边同时取对数，得到下式：运用普通最小二乘法对式中的参数进行估计，得到如下结果：=5.6778+0.6369+0.3319拟合优度=0.9985.1.4人口老化对国内生产总值的影响分析历年数据，我们可知，我国人口的老年系数在1982年时为4.91%，1990年时上升为5.57%，到2000年第五次人口普查时则有进一步上升为7.10%。假设第四次和第五次人口普查时，老年系数都稳定在1982年的4.91%，则意味着，第四次人口普查时的老年系数下降了0.66个百分点，第五次人口普查时的老年系数下降2.19个百分点。在其他条件保持不变的情况下，老年系数的下降就意味着劳动年龄人口的增加，根据拟合出道格拉斯函数回归得到的劳动产出弹性，可知老年系数的下降会使1990年的GDP增加0.45个百分点，使2000年的GDP增加1.49个百分点。换句话说，由于人口老化，使我国的GDP在1990年和2000年分别下降了0.45个百分点和1.49 个百分点。这仅仅是就两个个别年份的分析，而人口老化是一个循序渐进的过程，老年系数的增加每年都会对经济产生不同的影响，一直到我国人口年龄结构基本稳定为止。5.2.1历年人口数据分析现行的独生子女政策是一对夫妻只能生一个孩子。而在很多家庭都会出现前所未有的六个人看着一个孩子。在不远的日子里“四二一”家庭将日益增多（即夫妻二人养四个老人一个孩子），国家政策虽是固定只能生一个孩子，但是中国人口基础比较大，近年来仍然是增长趋势的。如下图是：注：横坐标为年份，纵坐标的我国人口总人数（万人）,数据来源于中华人民共和国国家统计局。从图中可以很清楚的看到，就当前计划生育政策，中国人口总数在近几年仍然是上升趋势，斜率较有所降低，人口增加幅度开始呈现缓增趋势，图表中还呈现出近十年乡村人口数量开始减少，而城镇人口数在逐年急剧增加，说明中国的城市化进程步伐比较快。5.2.2.1模型一针对上图的趋势，首先采用Malthus进行未来三十年的人口预测，下面先从机理上分析人口问题数据模型。人口的出生率b和死亡率d可设为常数，第t年人口数为N(t)，那么在一个较小的时间段，内新增人口为：令，的：设，那么：此为人口学Malthus模型。最后利用历史数据来确定参数和.如果只有两个数据，则和是唯一的。问题是有很多数据，而这些数据并不在同一条指数曲线上。事实上由于政策、经济、移民和战争等原因，出生率b和死亡率d并不是常数。所以用其中任何两点都不会安全，要兼顾这些数据。于是这里使用最小二成拟合。由于指数当t很大时可能会溢出，为了减小数据误差，首先将时间域变换至0,41。这样用0代表2000年，1代表2001年，2代表2002年，11代表2010年，12代表2011年， 40代表2039年，41代表2040年，表示年增长率。另外，需要确定和的初始值。初始值自然应取t=0时的值126265 。的初始值取增长率的平均值：Mean(diff(N)./diff(t)./N(1:10)根据Matlab绘制拟合预测图为：Malthus模型对总人口的预测（单位：10万人）年份总人口数年份总人口数年份总人口数20001.265420161.386820321.519820011.272720171.394720331.528620021.2820181.402820341.537320031.287320191.410820351.546220041.294720201.418920361.55520051.302120211.427120371.56420061.309620221.435320381.572920071.317120231.443520391.58220081.327420241.451820401.591120091.332320251.460120101.3420261.468520111.347720271.476920121.355420281.485420131.363220291.493920141.37120301.502520151.378920311.51115.2.2.2模型二：灰色预测（1.1）所谓灰色系统，是指还有已知信息，又还有未知信息的系统，由邓聚龙教授在1986年提出的。灰色理论自诞生以来发展很快。由于他所需的因素少，模型简单，特别是对于因素空间难以穷尽，运行机制尚不明确，又缺乏建立确定关系的系统来说，灰色系统理论及方法为解决此类问题提供了新的思路和有益的尝试。灰色预测方法是根据过去及现在已知和非确知的信息，建立了一个从过去引申到将来的GM模型，从而确定系统在未来发展变化的趋势，随机性被弱化了，确定性增强了。此时在生成层次上求解得到生成函数，据此建立被求序列的数列预测，其预测模型为一阶微分方程，即只是一个变量的灰色模型，记为GM（1,1）模型。灰色GM（1,1）预测模型在计算过程主要是以矩阵为主，它和Matlab的结合可以有效的解决灰色理论系统在矩阵计算中的问题，为灰色系统理论的应用提供了一种新的方法。（1.2）预测模型的基本原理GM（1,1）模型是灰色的核心，它是一个单个变量预测的一阶微分方程模型，其离散时间影响函数近似成指数规律。建立GM（1,1）模型的基本方法是：设为原始非负时间序列， 为累加生成序列，即： （1）GM（1,1）模型的白化微分方程为： （2）式（2）中， 是待辨识参数，亦称发展系数；为待辨识内生变量，亦称灰作用。设待辨识向量，按最小二成法求的，式中：于是可得到灰色预测的离散时间响应函数为：为所得的累加预测值，将预测值还原即为：带入本题目中先进行集比检验：建立总人口时间序列如下：=(126265,127185,128040,128840,129608,130372,131102,131789,132466,133138,133787)（2.1），求级比=(0.9930,0,9931,0.9940,0.9940,0.9941,0.9944,0.9947,0.9948,0.9949,0.9951)(2.2)级比判断由于所有的，故可以用来进行GM（1,1）建模。2.GM（1,1）建模（1）对原始数据作一次累加，即：=(126265,253450,381490，510330,639938,770310,901412,1033201,1165667,1298805,1432592)（2）构造数据矩阵B及数据向量Y。，（3）计算求解得：运用灰色模型对人口年龄结构进行预测，得出以下数据：灰色预测模型对总人口的预测（万人）年份总人口数年份总人口数年份总人口数20001262652015133949.12030141653.62001127136.92016134449.52031142182.72002127611.82017134951.72032142713.82003128088.42018135455.72033143246.82004128566.92019135961.72034143781.92005129047.12020136469.620351443192006129529.12021136979.320361448582007130012.920221374912037145399.12008130498.62023138004.52038145942.2200913098620241385202039146487.32010131475.32025139037.42040147034.52011131966.42026139556.72012132459.320271400782013132954.12028140601.22014133450.72029141126.44.1运用灰色模型对人口年龄结构进行预测，得出以下图示：图中横坐标1代表2005年，步长为1，一直预测到2040年左右，纵坐标为人口数目（单位：万人）。从图中可以看出，人口年龄结构趋势为：60岁以上人口老龄化越来越多，15岁以下人口数呈现减少趋势。4.2运用灰色模型对人口分布结构进行预测，得出以下图示:图中的横坐标1代表2000年开始预测，一直预测到2040年，（纵坐标单位：万人）从图中可以看出城市人口仍在增加，农村人口呈逐年减少趋势，中国的城市化程度有所提高。4.3运用灰色模型对人口性别结构进行预测，得出以下图示:图中的横坐标1代表2000年开始预测，一直预测到2040年，（纵坐标单位：每100名女性）从图中分析人口性别比有所下降，人口结构趋于平衡。4.4运用灰色模型对人口生育率进行预测，得出以下图示:图中的横坐标1代表2000年开始预测，一直预测到2040年，（纵坐标单位：万人）从图中分析可以得出，人口的生育率呈逐年下降趋势，生育率变低。5.3.1递归模型建立由于国家政策的宏观调控，从而影响生育率，死亡率等在地区上有较大不同故将我国人口分为六类，1,2,3,4,5,6类依次为城市男性，城市女性，镇县男性，镇县女性，乡村男性，乡村女性（i=1,2,3,4,5,6），进而建立递归模型。5.3.2模型求解该模型中：平均出生率：我们利用递归模型，我们只考虑了根据国家的人口计划生育政策，一个孕妇只生一个小孩的情况。其实在人口问题中，国家的人口政策对人口数量影响是很大的，这也是我们考虑问题时不可忽略的一个重要因素。所以做出以下模型，第i年的城市人口年龄为0，即第i年新出生的城市人口数为：第i类，第j年，年龄为k的城市人口数是由第（j-1）年，年龄为（k-1）的人数，乘以（）后剩余的总人数，符号表示如下：建立模型后，利用matlab软件进行曲线拟合。5.3.3与国家人口发展战略的比较及模型优化由国家人口发展战略可得我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年将达到16亿人。根据本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，20世纪90年代中后期，总和生育率已降到1.8左右，并稳定至今。实现全面建设小康社会人均GDP达到3000美元的目标，要求把总和生育率继续稳定在1.8左右。按此预测，总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右（见图1）。劳动年龄人口规模庞大。我国15-64岁的劳动年龄人口2000年为8.6亿人，2016年将达到高峰10.1亿人，比发达国家劳动年龄人口的总和还要多。图1 未来我国总人口、劳动年龄人口及人口抚养比预测 资料来源：国家人口发展战略研究人口发展预测课题由建立的递归模型和官方数据比对并进行拟合可得，对R值在1.25至1.4之间进行调整，当R=1.36时与政府所要达到的战略要求最吻合，即为最优系数。5.4.1定性分析鉴于我国平均初次就业年龄的推迟，职工缴费年限要保持一个相对应的尺度，其刚性的统一的可操作的手段就是在科学测算的基础上对退休年龄的适当延迟，在所有改善养老保险基金收支平衡的可行措施中，推迟法定退休年龄是最简单，最有效的方法，因为退休年龄的调整与否同养老保险基金的平衡有着相当重要的关系。5.4.1.1、人均寿命提高，退休年龄不变从劳动者个人来看：退休人员继续生活时间延长了，领取退休金时间也延长了，同时减少了个人交纳社会保险费的时间从整个社会来看：缩短了劳动人口对社会贡献的时间，减少了社会财富的数量，而养老保险基金支出加大，使国家负担加重。5.4.1.2、人均寿命提高，相应提高退休年龄从劳动者个体来看：延长了个人交纳社会保险费的时间，减少了领取的时间从国家来看：减少了养老保险基金支出的时间，将有效降低养老保险金的运营缺口，为养老保险基金的长期平衡运营提供了基础，从长远看将产生实现利国利民的社会效应。5.4.1.3、延长退休年龄的理论模型分析（1）、关于建立养老金支付曲线的假设养老金不受物价影响，且名义养老金一直约等于实际养老金不考虑通货影响）基本养老金的支付完全按基础养老金加个人账户计算，即统账结合制度中新人的养老保险支付办法（基本养老金=基础养老金+个人账户/120，养老保险基金筹资方式）基础养老金增值、升值上升幅度暂时忽略。（2）、建立个人养老保险金曲线由于劳动者的养老保险金是从其工作开始交纳，所以其养老保险金函数是一复合函数（下图3.1是其函数图形）图形横轴表示劳动者的年龄，纵轴表示劳动者的养老金。图形中OA为劳动者未参加工作的时间段，A点表示劳动者参加工作并交纳养老保险金的年龄，T点表示劳动者的退休年龄，M表示该劳动者的生命极限即死亡年龄线段BC上各点表示随着劳动者工作年限的增加，其基本养老金发放标准起点递增的趋势当劳动者达到法定退休年龄T时，其基本养老金发放标准为W0，并且以后按此标准执行（因为假设条件养老金不受物价影响，且名义养老金一直约等于实际养老金）D点为该劳动者退休时个人账户上的全部养老金数额Wt，曲线DD为个人养老金发放曲线。（3）、个人养老金发放的三种情况：（即生命曲线的三种情况，如下图3.2所示）（3.1）情况一：退休后劳动者个人账户金额未发放完全，劳动者死亡即生命极限点为M1，此时TM1E该情况下国家在劳动者生前支付的养老金总额为，余下的作为遗产留给劳动者遗产继承人。（3.2）情况二：个人账户金额发放完全，劳动者死亡即生命极限点为，此时与点E重合，该情况下国家在劳动者生前将其全部个人账户金额支付完全，支付的养老金总额为。（3.3）情况三：个人账户金额发放完全，劳动者仍未死亡即生命极限点为，此时E该情况下国家发放的养老金总额为，其中为个人账户的全部金额，为国家统筹部分（该情况为重点分析对象）。5.4.1.4.延长退休年龄对养老保险金的影响假使延长退休年龄，劳动者个人养老金发放的第三种情况（即）1.当退休年龄由T延长到时：此时由于个人账户的金额增加，由D增加到了D1，所以个人养老金发放曲线由向上移动到了，又由于发放养老金的年龄由T延长到了，所以个人养老金曲线又向右平移到，。由于退休年龄由T延长到了，此时个人基本养老金发放标准由向上移动到了，则表示劳动者退休后享受到的新的养老金标准,此时个人养老金发放曲线，与相交于D2此时根据假设条件，国家给劳动者发放的养老金为，其中为劳动者个人养老保险金账户总额，为国家统筹部分.